2024年中考数学压轴题突破训练：代数证明与因式分解（原卷版+解析）

压轴热点考点02代数证明与因式分解

一、单选题

i.下列计算正确的是（）

B.x2-x3=x6

C.（-m2^3）3=-m6n9D.（―2女）2—4（2左一1）=左2—2左+1

2.设S（〃）表示非负整数的各个数位上的数字之和，例如：5（0）=0,5（1）=1,5（2017）=10.则

S⑴+S⑵+S（3）++5（2018）的值为（）

A.28127B.28128C.28107D.28117

3.现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片各4块（边长如图，a>b）.嘉嘉准备从中挑选一些纸片紧密拼接

成一个正方形，下列无法实现的方案是（）

A.2块甲、1块乙、4块丙B.1块甲、4块乙、4块丙

C.4块甲、1块乙、4块丙D.1块甲、1块乙、2块丙

4.已知二次函数y=or2+6x+c的图象经过点M（-2,c）.若自变量无取-4,-：，1,3时，对应的函数值分

别为〃，”，”，y4,则下列说法一定正确的是（）

A.若为%+1>%+/4,则“必+1>%+%

B.若为弘+1>%+%，则为为+1>丫2+%

c.若+%，则y3y4+1<%+%

D.若x%+l<x+%，则y2y4+1<%+乂

5.某校数学兴趣小组探究出一种新的计算两位数的平方运算的方法,具体做法如图1,2,3所示.按照

这种方法，如图4所示结果是一个两位数的平方，则这个两位数是（）

0409253681644981

+・12口+口60口+144M+126□

□□□

232=529562=3136982=9604

图1图2图3图4

A.69B.79C.91D.93

6.如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的

底面边长为x,原正方形铁皮的面积为尤2+24元，则无盖箱子的外表面积为（）

A.1B.4C.6D.9

7.已知关于x的两个多项式4=/—融一2,B=%2-2X-3.其中a为常数，下列说法:

①若A-3的值始终与x无关，则。=-2；

②关于x的方程A+3=0始终有两个不相等的实数根；

③若A3的结果不含无2的项，则。=g；

④当。=1时，若占的值为整数，则X的整数值只有2个.

以上结论正确的个数有（）

A.4B.3C.2D.1

8.下列命题中，假命题的个数是（）

①（2/丫=6/66；②分解因式：-炉+1=（一%+1）（一%-1）；③囱的算术平方根是3；④如果方程

ax2+2x+l=0有两个不相等的实数根，则实数a<l；⑤在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个

数分别为7,5,3,5,10,则这组数据的中位数是5.

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.某市2020年的扶贫资金为a万元，比2019年增长了x%,计划2021年的增幅调整为上一年的2倍，

则这3年的扶贫资金总额将达到（）

A.〃（3+3x%）万元B.〃（——-——+2+2x%）万元

1-x%

C.”（3+x%）万元D.〃（——---F2+2X%）万元

1+x%

二、填空题

10.如图，RSOMN是等腰直角三角形，OM=3f在.3W内构造第一个正方形ABC。，使点A、。在

直角边上，B、C在斜边上；在Rt内构造第二个正方形，使点4、2在直角边上，耳、G在

斜边AM上；在内构造第三个正方形，使点为、&在直角边上，层、C?在斜边上；…依

次下去，则第2022个正方形的边长为

11.已知实数a»。，b>0,S.a+b-4,记代数式.二/+奶+炉，记吗,叫分别为代数式卬的最大值与

最小值，则吗-叫的值为.

12.若一个各位数字均不为0的四位数加=嬴5(l<c<a<9,\<b,d<9,a,b,c,d为整数)满

足：把M的千位数字作为十位数字，M的十位数字作为个位数字组成的两位数五与5的和记作X,M的

千位数字与个位数字的2倍的和记作y,如果X的各位数字之和与(y-1)的和是一个正整数K的平方，则

称这个四位数为“震续数”，正整数K称“震续元素"；当c=l,d=9时，最小“震续数”为；若“廉

续数”/满足前两位数字之和。+人与后两位数字之和c+d相等，且或土以为整数，则满足条件的最大知

9

为.

13.［输入田-［平方］一［减去2缶］T［输出知

(1)把多项式A分解因式为=;

(2)当x=〃+应时，多项式A的值为.

14.我国南宋著名数学家杨辉精研数学，著有《详解九章算法》，对数的运算进行了深入研究与总结.类

比其中的思想方法，可以解决很多数与式的计算问题.现已知。，6为实数，且a+%=3,ab=l,计算可

得：a2+b2=l,a3+b3=lS,/+〃=47,…，由此求得疗+加=.

15.下列四个代数式①47〃〃，②加+4？，③4l+"2,@m2+n2,若机>〃>0,则代数式的值最大的

是.(填序号).

16.添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式/-1可以用如下方法分解因式：

(1)a~_1=u__a+q_］=a(a_l)+(a_l)=(a—；

又比如多项式d-l可以这样分解：

(2)q3_1=_ci~+ci~_a+a_1=ci~(a-］)+6f(a-l)+(q-l)=(a_l)(a?+o+l)；

仿照以上方法，分解多项式/T的结果是.

三、解答题

17.学校准备在植物园周围增设由大小相同的等边三角形组成的栅栏，当栅栏顶部是1个灰色等边三角形

时，其余部分共7个镂空的等边三角形(如图1)；当栅栏顶部是2个灰色等边三角形时，其余部分共13个

镂空的等边三角形(如图2)；当栅栏顶部是3个灰色等边三角形时，其余部分共19个镂空的等边三角形(如

根据以上规律，解答下列问题：

(1)当栅栏顶部是4个灰色等边三角形时，其余部分镂空的等边三角形的个数为.

(2)当栅栏顶部是〃个灰色等边三角形时，其余部分镂空的等边三角形的个数为.(用含”的代数式

表示)

(3)已知每个等边三角形的面积均为［n?,如果学校植物园周围栅栏的总面积要达到2000m?,那么至少需

要灰色等边三角形多少个？

18.如图，研究平面内若干条直线的交点情况，记直线条数为〃，交点个数的最大值为S.如图1,当〃=2

时，5=1；如图2,当w=3时，S=3；如图3,当〃=4时，5=6.

二X

图1

三木*X

三丰*舛林外

(1)当〃=5时，S=；

(2)试写出S关于”的表达式.当“=100时，求S的值.

19.已知4=4，〃(2〃/-1)+4加，B=8m.

(1)化简整式A,并求根=-1时A的值；

(2)若C=A-3.

①将C因式分解；

②若机为整数，直接写出整式C能否被16整除.

20.嘉淇上小学时得知“一个数的各个数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除“，她后来做了如下

分析：

嘉淇的分析：

258=2x100+5x10+8=2x(99+1)+5x(9+1)+8

=2x99+2+5x9+5+8=(2x99+5x9)+(2+5+8)

=3(2x33+5x3)+3x5

：2x33+5x3为整数，5为整数，

.•.3(2x33+5x3)能被3整除，3x5能被3整除，.二258能被3整除.

(1)通过计算验证258能否被3整除；

⑵用嘉淇的方法证明4374能被3整除；

(3)设丽是一个四位数.a,b,c,d分别为对应数位上的数字，请论证“若a+b+c+d能被3整除,

则这个数可以被3整除”.

压轴热点考点02代数证明与因式分解

一、单选题

i.下列计算正确的是()

C.(一7〃2〃3)3%6〃9D.(—2左)2—4(2左一1)=左2一2左+1

【答案】C

【分析】根据绝对值、二次根式的性质化简、负指数嘉、去括号合并同类项计算即可.

【详解】当。>0时，、口不成立;当a<0时，a口=4区"日,

\a\a\a~\a\

―-4~a=-4-a=~4~a,故该选项错误；

|a\-a

B、x2?x3x5，故该选项错误；

C、(~m2n3)3=-m6n9,故该选项正确；

D、(-2人)2-4(2左-1)=4/-8k+4,故该选项错误；

故选：C.

【点睛】本题考查绝对值、二次根式的性质化简、负指数幕、去括号合并同类项，熟记运算法则是关键.

2.设5(")表示非负整数的各个数位上的数字之和，例如：5(0)=0,5(1)=1,5(2017)=10.则

S⑴+S⑵+S(3)++5(2018)的值为()

A.28127B.28128C.28107D.28117

【答案】B

【分析】根据题意可得：S⑴+S(2)+S(3)++5(99)=(1+2++9)xl0x2从而得到

5(100)+5(101)++S(999)=5(100)+S(101)++S(199)+S(200)+S(201)++5(299)++5(900)+S(901)++1

=100x(1+2++9)+900x9=12600,再求出

5(1000)+5(1001)++5(1999)=1000x1+12600+900=14500；

5(2000)+5(2001)++5(2009)=2x10+(1+2++9)=65,

5(2010)+5(2011)++5(2018)=3+4++H=^1^x9=63,即可求解.

【详解】解：根据题意得：S⑴+S（2）+S（3）++5（99）=（1+2++9）xl0x2,

5(100)+5(101)++5(999)=5(100)+5(101)++5(199)+5(200)+5(201)++5(299)++5(900)+5(901)++：

=100x(1+2++9)+900x9=12600；

5(1000)+5(1001)++5(1999)=1000x1+12600+900=14500；

5(2000)+5(2001)++5(2009)=2x10+(1+2++9)=65,

5(2010)+5(2011)++5(2018)=3+4++ll=^-x9=63,

S⑴+S(2)+S(3)++S(2018)=900+12600+14500+65+63=28128.

故选：B

【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键.

3.现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片各4块（边长如图，a>b）.嘉嘉准备从中挑选一些纸片紧密拼接

A.2块甲、1块乙、4块丙B.1块甲、4块乙、4块丙

C.4块甲、1块乙、4块丙D.1块甲、1块乙、2块丙

【答案】A

【分析】根据拼接前后面积相等，分别表示出每个选项的面积和，观察能否写出完全平方式即可得

【详解】解.A、24+廿+4而无法配方，故A无法实现，符合题意；

B、片+46。+4。6=（。+26）2,故B可以实现，不符合题意；

C、4a2+b2+4ab=（2a+b）2,故C可以实现，不符合题意；

D、a2+b2+lab=（a+/?）2,故D可以实现，不符合题意；

故选:A.

【点睛】考查因式分解的应用、完全平方公式、图形拼接前后的面积不变性，考查逻辑推理和数学运算.

4.已知二次函数y=ar2+bx+c的图象经过点M（-2,c）.若自变量无取-4,-1-,1,3时，对应的函数值分

别为"，券，”，y4,则下列说法一定正确的是（）

A.若%%+1>%+为，则%%+1>M+%

B.若％X+l>”+%，贝1J%%+1>%+为

c.若％%+i<%+%，则y3y4+1<%+乂

D.若％为+i<%+%，贝1%%+1<%+乂

【答案】D

h

【分析】先求得该图象的对称轴为x=-9=-l,不妨设a>0,根据各点横坐标与对称轴的距离大小得到y>yi>

2a

”>”，再对条件分解因式，即可判断.

【详解】解：•・•二次函数尸/+法+0的图象经过点A/（-2,c）,

4a-2b+c=c,BPb=2a,

二次函数的解析式为y=ax2+2ax+c,

•••该图象的对称轴为k==b-l,

2a

不妨设«>0,

,.13一（一1）|>卜4一（一1）|>"（一1）|>-j-（-l）,

••y4>yi>ys>,2,

A、若%%+l>%+>4，

即y3y4+1-丫3-%=%（%-1）-（%T）=（%-i）（y3-i）>o,

贝U%%+i-%-D-（%-1）=（%-D（x-i）不一定大于o，

故该选项不符合题意；

B、若"％+1>”+%，

同理得：（乂一1）（“-1）>。，

则（以一1）（%T）不一定大于0,

故该选项不符合题意；

C、若+

同理得：（％-i）（M-i）<o，

则（%T）（%-D不一定小于0,

故该选项不符合题意;

D、若%%+1<%+%，

同理得：(y3T)(%-1)<0,

贝h%T）（%T）一定小于0,

故该选项符合题意;

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，因式分解的应用，利用二次函数图象上点的坐标特征,

求出y4>yi>ys>y2是解题的关键.

5.某校数学兴趣小组探究出一种新的计算两位数的平方运算的方法，具体做法如图1,2,3所示.按照

这种方法，如图4所示结果是一个两位数的平方，则这个两位数是（）

0409253681644981

+112口+□60口+144□+126□

-052931369604□□□□

232=529562=3136982=9604

图1图2图3图4

A.69B.79C.91D.93

【答案】B

【分析】观察发现表格中倒数第二行的数字是十位数字的2倍与个位数字的乘积，即可得到答案.

【详解】解：观察发现表格中倒数第二行的数字是十位数字的2倍与个位数字的乘积，

故个位数为9,

设所求的数字的十位数为。，

则2ox9=126,

解得。=7,

故答案为79,

故选B.

【点睛】本题主要考查根据观察找到规律，找到正确的规律是解题关键.

6.如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的

底面边长为x,原正方形铁皮的面积为尤2+24尤，则无盖箱子的外表面积为（）

X

A.1B.4C.6D.9

【答案】D

【分析】根据题意，得出原正方形铁皮的边长为x+4,从而得到原正方形铁皮的面积为"+4)2,即

必+24尤=(彳+4)2,解得x=l,从而得到无盖箱子的外表面积为l+4x2x=l+8=9,即可得到答案.

【详解】解：正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底

面边长为x,

二原正方形铁皮的边长为x+4,

•••原正方形铁皮的面积为(*+4)2,

又•.正方形铁皮的面积为V+24x,

尤2+24x=(x+4)~,

解得x=l,

无盖箱子的外表面积为l+4x2x=l+8=9,

故选：D.

【点睛】本题考查方程的实际应用，读懂题意，准确表示出各个边长，根据等量关系列出方程求解是解决

问题的关键.

2

7.己知关于x的两个多项式A=/一⑪-2,B=X-2X-3.其中a为常数，下列说法：

①若A-8的值始终与x无关，则。=-2；

②关于尤的方程4+3=0始终有两个不相等的实数根；

③若A-3的结果不含/的项，则。=生；

④当。=1时，若。的值为整数，则x的整数值只有2个.

以上结论正确的个数有()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根据A—3=(2—a)x+l,A—3的值始终与x无关，可得。=2；根据A+BU2%2—(a+2)x—5=。，

利用判别式A〉。，可得关于x的方程A+B=O始终有两个不相等的实数根；根据

4B=x4-（2+a）x3+（2a—5）Y+（3a+4）x+6,当2«-5=0时，的结果不含尤?的项；④根据

A1A

£=1+—^,由£的值为整数，可得x—3=±l,求出尤的值.

Bx-3B

【详解】角军：®***A=x2—ax—2,5=2]一3,

A—B=（九2_ox_2）—（炉—2x_3）=（2—a）x+],

・・•A-5的值始终与x无关，

6Z=2,故①不符合题意；

（2）A+B=%2—ax—2+九2—2x—3=2x2—（a+2）x—5=0,

VA=（<7+2）2+40>0,

・・・关于x的方程A+3=0始终有两个不相等的实数根,

故②符合题意；

（3）A,B=（%?—ax—2）•（无2—2x—3）=x4—（2+a）龙+（2a—5）x?+（3a+4）x+6,

・・•的结果不含f的项，

2a-5=0,

解得a=g;故③符合题意；

④当〃=1时，A=x2-x-2^

.A___%_2_（%_2乂0+1）__2_]।1

B—2x—3（%—3）（犬+1）x~3%—3

A

V£的值为整数，

x—3—il,

解得x=4或无=2,故④符合题意；

综上，②③④符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的加减乘除运算法则，一元二次方程判别式与根的关系是解

题的关键.

8.下列命题中，假命题的个数是（）

①（2/丫=643"；②分解因式：-r+1=（一%+1）（一无一1）；③石的算术平方根是3；④如果方程

奴?+2x+l=0有两个不相等的实数根，则实数a<l；⑤在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个

数分别为7,5,3,5,10,则这组数据的中位数是5.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】①(242)3=8.3丸②分解因式：f2+]=(T+])(x+i),③石的算术平方根是，星

④如果方程加+2x+l=0有两个不相等的实数根，那么A=4-4a>0,a<\,且存0,⑤把7,5,3,5,10,

从小到大排列：3,5,5,7,10,中位数为5.

【详解】①(2解2)3=6虑6,

•.•(2加丫=8/"，

故此命题是假命题；

②分解因式：—+1=(―X+1)(—X—1),

-X?+1—(-X+l)(x+1),

故此命题是假命题；

③囱的算术平方根是3,

**,小眄=A/3,

故此命题是假命题；

④如果方程加+2尤+1=0有两个不相等的实数根，则实数a<1,

V方程加+2x+1=0有两个不相等的实数根，

A=4-4a>0,a<\,且存0,

故此命题是假命题；

⑤在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7,5,3,5,10,则这组数据的中位数是5,

•.•五个数从小到大排列为:3,5,5,7,10,

二中位数为：5.

故此命题是真命题.

故假命题有4个.

故选D.

【点睛】本题考查了积的乘方，分解因式，算术平方根，一元二次方程根的判定，中位数，熟练掌握积乘

方的法则，用平方差公式分解因式，算术平方根的定义，一元二次方程的定义与根的判别式，中位数的定

义及求法，是解决此题的关键.

9.某市2020年的扶贫资金为。万元，比2019年增长了x%,计划2021年的增幅调整为上一年的2倍，

则这3年的扶贫资金总额将达到()

A.a(3+3x%)万元B.a(--——+2+2x%)万元

1-x%

C.a(3+x%)万元D.«(——-----F2+2X%)万元

l+.x%

【答案】D

【分析】根据题意分别表示出2019年的扶贫资金和2021年的扶贫基金，再求得三年的扶贫基金总额即可.

【详解】..即。2。年的扶贫资金为。万元，比2019年增长了x%,

•••2019年的扶贫资金为产厂万元,

1+x%

V2021年的增幅调整为上一年的2倍，

；.2021年的扶贫资金为"+2ax%万元，

/.这3年的扶贫资金总额将达到+«+«+2ax%=+2+2x%］万元，

故选：D.

【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是根据题意表示出2019年和2021年的扶贫基金.

二、填空题

10.如图，Rt^OMN是等腰直角三角形，OM=3,在内构造第一个正方形ABCD,使点A、。在

直角边上，B、C在斜边上；在RtABM内构造第二个正方形，使点A、2在直角边上，耳、G在

斜边AM上；在内构造第三个正方形，使点4、2在直角边上，鸟、C?在斜边2M上；…依

次下去，则第2022个正方形的边长为

^1011

【答案】籍

【分析】设正方形ABC。的边长为无，△AO。，OCN都是等腰直角三角形，得出

OD=—AD^—x,ND=&D=瓜,根据OD+DN=ON列出方程,得出第1个正方形的边长为变ON,

223

同理得出前几个正方形的边长，进而得出第"个正方形的边长，即可求解.

【详解】解:设正方形A3CD的边长为x,

VZXAOD,DCN都是等腰直角三角形，

OD=—AD=—x,ND=y[2CD=yJlx

22

-\—x+y/2x=ON

2

解得：尤=也0可，即第1个正方形的边长为走ON,

33

设第二个正方形的边长为y,

V，\BD{,AAA瓦都是等腰直角三角形，

•*.AXB=^-\DX=^y,AAi=0Ag=夜y

y+ON

23

（5丫

解得：>=手ON,

I3J

同理可得第3个正方形的边长为ON,

9：ON=3

...,

（万丫（万丫

第〃个正方形的边长为与ON=咚x3

33

\7\7

/广、2022

.•.第2022个正方形的边长为卜="，

2021

320212

^1011

故答案为：

【点睛】本题考查了图形类规律题，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，找到规律是解题

的关键.

11.已知实数&>0,且〃+人=4,记代数式卬=解+/+炉，记“，分别为代数式w的最大值与

最小值，则嵋-叫的值为.

【答案】4

【分析】由〃+/?=4得至！]6=4—匹贝I」卬=々2+1^+/=（〃+与2一〃匕=不一。（4一々）=（〃一2）2+12.根据

^>0,可求〃的取值范围为0<，<4,由此可得代数式卬的最大值与最小值，从而解决问题.

【详解】a+b=^,

b=4—a,

w=a1-\-ab-\-b1

=(a+Z?)2—ab

=42-a(4-6i)

—〃—4a+16

二(Q-2y+12.

a>0,Z?>0,

产，

[4-a>0

/.04a44

二当a=0或a=4时，iv=伍一2『+12有最大值，为“=16,

当a=2时，w=(a-2)2+12有最小值，为明=12,

/.W]-叫=16-12=4.

故答案为：4

【点睛】本题考查二次函数的最值，将代数式转化为关于。的二次函数，通过二次函数的性质求出最值是

解题的关键.

12.若一个各位数字均不为。的四位数M=嬴万(l<c<a<9,\<b,d<9,a,b,c,d为整数)满

足：把M的千位数字作为十位数字，M的十位数字作为个位数字组成的两位数五与5的和记作X,M的

千位数字与个位数字的2倍的和记作y,如果X的各位数字之和与(y-1)的和是一个正整数K的平方，则

称这个四位数为“震续数”，正整数K称“震续元素"；当c=l,d=9时，最小“震续数”为；若“康

续数”又满足前两位数字之和a+b与后两位数字之和c+d相等，且或土以为整数，则满足条件的最大知

9

为.

【答案】1H98127

【分析】当c=l,d=9时，可知X=al+5=a6,Y=a+18,贝!!K?=a+6+a+18-l=2a+23,当K=5时，a

可以取得最小值1,且14匕<9,据此即可求得答案.根据和数坦为整数，可求得2(“+”)为整

99

数，可得a+6=18或“+8=9,分情况逐一讨论即可求得答案.

【详解】：c=l,d=9,

二四位数"=痂.

AX=a\+5=a6,F=a+18.

••K~-67+6+67+18-1=2a+23.

.•.当K=5时，a可以取得最小值1.

y.l<b<9,

••・%=1119•

,,,a+b—c+d,

.ab+cd_10a+b+10c+d_9（a+c）+a+Z?+c+d_2（a+Z?）

9999

•••约士㈣为整数，

9

••・也必为整数.

9

Xl<c<a<9,1<Z?<9,

a+b=18或a+6=9.

①当a+b=18时.

根据题意可知

a-9,b-9,c-9,d=9.

X=%+5=99+5=104,¥=“+24=9+18=27.

K?=1+0+4+27-1=31.

a+b=18不符合题意.

②当a+方=9,且a=8,b=l,4<cW9时.

根据题意，得

a+b=c+d=9,X=i+5工+5=9（c+5-10）=9（c-5）,Y=a+2d=8+2d.

：.K2=9+c-5+8+2d-l=ll+c+2d=20+d.

,/K为正整数，

••d=5.

c—4.

a=8,b=l,d-5,c=4不符合题意.

③当a+6=9,且a=8,b=l,14c44时.

根据题意，得

a+b=c+d=9,X=ac+5=8c+5=8（c+5）,Y=a+2d=8+2d.

：.K2=8+c+5+8+2d-l=20+c+2d=29+d.

为正整数，

d=1.

c=2.

AM=8127.

综上所述，符合条件的M的最大值为8127.

故答案为：1119,8127.

【点睛】本题主要考查实数，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键.

13.［输入幻T平方］一［减去2板;JT输出A］

（1）把多项式A分解因式为=;

（2）当了=m+0时，多项式A的值为.

【答案】x（x-2⑹4

【分析】（1）先根据运算程序写出多项式4再利用提公因式法分解因式即可得到答案；

（2）把工=痛+0代入多项式A中，利用平方差公式即可得到答案.

【详解】解：（1）根据题意得4=f-2缶=x（x-2夜）；

故答案为：后）；

（2）当苫="+0时，

4=（遥+后）（而+&-2闾=（迷+何（#-闾=（网2-（四）2=6-2=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，因式分解，注意二次根式要先化简再代入求值.

14.我国南宋著名数学家杨辉精研数学，著有《详解九章算法》，对数的运算进行了深入研究与总结.类

比其中的思想方法，可以解决很多数与式的计算问题.现已知a,b为实数，且。+>=3,ab=\,计算可

得：/+力2=7,/+63=18,/+/=47,…，由此求得d+65=.

【答案】123

【分析】先根据题意求出（/+/）（。+为141,进而推出.5+65=141一制/+幻，由此代值计算即可.

【详解】解：：/+64=47,a+b=3,

：.（a4+Z?4）（a+/7）=47x3=141,

a5+ab4+ba*+b5=141,

a5+b5=141——ba4

=141-他(/+。3)

=141-1x18

=123,

故答案为：123.

【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，正确推出^+户=141-仍(^+户)是解题

的关键.

15.下列四个代数式①而加，②*+4/,③41+/,④疗+后若机>〃>0,则代数式的值最大的

是.(填序号).

【答案】③

【分析】利用作差法比较大小即可.

【详解】解：m>n>0,

令②-①得：加之+4几2—4的1=(加-2〃)2>0,.,.②>①，

令③-②得：4m2+n2-m2-4H2=3m2-3n2>0,，③〉②，

令③-④得：4m2+n2—m2-n2=3m2>0,•二③〉④，

・•・代数式的值最大的是③，

故答案为：③

【点睛】本题考查不等式的性质，利用不等式性质比较代数式的大小，解题的关键是掌握作差法比较大小.

16.添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式“2—1可以用如下方法分解因式：

(T)a2_1—/_a+a_1—ci^ci—1)+(a—1)—(a_1)(〃+1)；

又比如多项式“3—1可以这样分解：

(2).3_1=々3_々2_|_々2_(2~\~ci-1—a2(a_l)+a(a—l)+(a_1)—(a—1乂Q2+a+1)•

仿照以上方法，分解多项式MT的结果是.

(](a-1)(〃4+/+/+〃+])

【分析】直接根据添项、拆项的方法进行因式分解即可.

【详解】解：a5-l

=4—a4+/———。+Q—1

=〃4(a_1)+/(a—1)+a2(a—l)+a(a_l)+a_1

=(a-1)(a4+/+〃+]),

故答案为：+。3+4~+4+1)

【点睛】本题考查添项与拆项法对多项式进行因式分解，解题的关键是熟练运用提公因式法，也考查了学

生的观察能力和整体思想.

三、解答题

17.学校准备在植物园周围增设由大小相同的等边三角形组成的栅栏，当栅栏顶部是1个灰色等边三角形

时，其余部分共7个镂空的等边三角形(如图1)；当栅栏顶部是2个灰色等边三角形时，其余部分共13个

镂空的等边三角形(如图2)；当栅栏顶部是3个灰色等边三角形时，其余部分共19个镂空的等边三角形(如

(1)当栅栏顶部是4个灰色等边三角形时，其余部分镂空的等边三角形的个数为.

(2)当栅栏顶部是“个灰色等边三角形时，其余部分镂空的等边三角形的个数为.(用含"的代数式

表示)

(3)已知每个等边三角形的面积均为［m?,如果学校植物园周围栅栏的总面积要达到2000m?,那么至少需

要灰色等边三角形多少个？

【答案】(1)25

(2)6"+1

(3)至少需要灰色等边三角形1143个

【分析】本题考查了图形规律及一元一次方程的应用，以镂空的等边三角形和灰色镂空的等边三角形的拼

图为背景，关键是掌握规律性问题的解决方法，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问

题.

(1)观察第1个图案可知：中间的一个灰色镂空的等边三角形对应7个镂空的等边三角形，第2个图案可

知增加一个灰色镂空的等边三角形，变成了13个镂空的等边三角形，增加了6个镂空的等边三角形，从而

据此规律即可得解；

(2)观察第1个图案，有7个镂空的等边三角形；第2个图案，有1+2x6=13个镂空的等边三角形；…，

依次计算可解答；

(3)由(2)中的规律可知：2000--=6»+1+»,解方程即可解答.

【详解】(1)解：当栅栏顶部是1个灰色等边三角形时，其余部分共1+6=7个镂空的等边三角形;

当栅栏顶部是2个灰色等边三角形时，其余部分共1+2x6=13个镂空的等边三角形;

当栅栏顶部是3个灰色等边三角形时，其余部分共1+3x6=19个镂空的等边三角形;

当栅栏顶部是4个灰色等边三角形时，其余部分共1+4x6=25个镂空的等边三角形;

故答案为：25；

（2）解：第1个图案：镂空的等边三角形有：1+6=7（个），

第2个图案：镂空的等边三角形有：1+2x6=13（个），

第3个图案：镂空的等边三角形有：1+3x6=19（个），

第4个图案：镂空的等边三角形有：1+4x6=25（个），

第〃个图案：镂空的等边三角形有：1+6〃=6〃+1个，

故答案为：6〃+1；

（3）解：2000^--=6n+l+/z,

4

«=11425,

按此规律镶嵌图案，需要灰色镂空的等边三角形1143个.

18.如图，研究平面内若干条直线的交点情况，记直线条数为〃，交点个数的最大值为S.如图1,当〃=2

时，S=l；如图2,当〃=3时，S=3；如图3,