2024年中考数学压轴题突破：解三角形的四大模型（原卷版+解析）

压轴热点考点10解三角形的四大模型

火线100天压轴突破—2024年【中考冲刺】数学高频热点考点好题精编

一、单选题

1.如图，三角形。12的顶点0（0,0）、4（6,0）、B（6,8）,C是边的中点，过点。作8，。8交x轴

于点。，将,。CD沿尤轴向右平移，当点C的对应点恰好落在边上时，此时点。对应点的坐标为（）

2.如图，在，ABC中，/48=90。,/3=30。,£）为2（；边上一点，以点C为圆心，8长为半径画圆，C

与射线C4相交于点E.下列说法正确的有（）

①若。为BC的中点，则。与相切；

②若点E与点A重合，则C经过AB的中点；

③若BD=AE,则DE平分A3；

④若被48平分，则BD=2AE.

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

【答案】B

【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，含30。的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰三

角形的判定与性质，切线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键；设AC=1,求解BC=g,AB=2,

如图，过C作b_LAB于/，可得当。为3C的中点时，半径为走，则①正确.当点E与点A重合时，

2

如图，可得CH=C4=C£>=；AB,②正确.当点E在线段AC上时，CD=CE,不存在BD=AE；当点E

在射线C4上时，过点A作A〃_LEC,证明==证明VAFMMBFD,可得③正确.若DE被

AB平分，即DG=EG,此时点E必在射线C4上，过点。作DN〃AE,如图2,同理可得ZXAEG丝△NDG,

可得④错误.

3.以ABC的顶点A为圆心，大于二分之一AC为半径画弧与AC,分别交于两点，分别以这两点为圆

心，以大于二分之一两点间距离为半径（半径不变）画弧，ZC=90°,NB=30。，AB=4,那么AO的长

4百5石

D.

3亍

4.如图，在一。中有两条互相垂直的直径AB,CD,「是AC的中点，连接尸。，分别交筋，AC于点

连接尸3,分别交COAC于点尸,G,下列四个结论：①/BED=675。；②BE=AC；®CF2=FGFP；

其中正确的结论有（）

B.3个C.2个D.1个

()

6.如图，在中，04=03=13,AB=24,以。为圆心，4为半径作0,P为线段AB上动点（从A

运动到8）,过尸作：。的切线PC,切点为C,则尸C的取值范围是（）

A.3<PC<3V17B.5<PC<13C.4<PC<3V17D.1<PC<13

7.如图，已知点AB,C,。均在。上，AB为，。的直径，弦AD的延长线与弦BC的延长线交于点E,

连接OC,OD,AC,CD,BD.则下列命题为假命题的是（）

A.若点。是的中点，则4。=班>

B.若OD_LAC,则NAOr>=NABC

C.若=则CB=CE

D.若半径。。平分弦AC,则四边形AOCD是平行四边形

二、填空题

8.如图，平行四边形A3CD的对角线AC8。相交于点O,4OC的平分线与边A8相交于点P,E是PD

中点，若A£>=4,CD=6,则E。的长为—cm.

9.定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”.例如，图①

中正方形ABCD即为线段AC的“对角线正方形”.如图②，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,

点P在边48上，如果线段PC的“对角线正方形”有两边同时落在ABC的边上，那么AP的长是—.

B

图①图②

10.如图，已知。为等腰Rt^ABC的腰AB上一点，CO绕点。逆时针旋转90。至ED,连接BE,CE,M

为距的中点，则当tanNED4=g时，器=_______.

2BC

11.如图，E、F、G、反分别是四边形A5CD边AB,BC,CD,ZM中点，BH与AG、CE分别交于点

M和点M。/与AG、CE分别交于点。和点P,下列结论：

①,ABH与3CE的面积和可能等于四边形ABCZ）面积的一半；

②四边形AECG与四边形跳I汨的面积和一定不等于四边形ABCD面积；

③△ADG与，BCE的面积和不一定等于与CDF的面积和；

④AAHM、BEN、CFP、DG。的面积和一定等于四边形MNP。的面积.

其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

12.如图，线段AC与线段交于点E,ZAEB=45°,ZA+ZD=180°,若AB=3亚,2。=40，0)=1,

则AC的长为

13.在等腰直角三角形ABC中，？390?,AB=2,。为BC的中点，作△ADC关于AC的对称图形ADC,

并连接£>□'.

(1)的长为；；(2)sinZDAiy=

14.如图，点。为的外心，过点。分别作A8、AC的垂线乙、&，交BC于D、E两点.

A

(1)若/ZME=50°,则一区4c的度数为;

(2)过点。作。尸，BC于点孔BF=5cm,则VA£>E的周长为.

三、解答题

15.(1)如图1,ABC中，点。是边BC的中点，若AB=6,AC=4,求中线4。的取值范围.

解：：点。是边BC的中点，BD=CD,

将ACO绕点D旋转180°得到AEBD,

即得△ACD丝△£»£>,且A,D,E三点共线,

在，ABE中，可得AE的取值范围是：

6—4<AE<6+4；

AD的取值范围是：

(2)如图2,在ABC中，/54C=90。，点。是BC边的中点，NMDN=96°,的两边分别交AB

于点E,交AC于点凡连接断.探究线段BE、CF、所之间的数量关系，并说明理由.

图2

16.如图1,E是正方形A5co的边BC上一个动点，连接的平分线石加交OC于点直线

MN1DE于点、N,交于点G,交BC的延长线于点尸，连接EG,CN.

⑴求证：FN=AB.

（2汝口图2,若NC〃GE,连接8N并延长，交CD于点P.

①求证：BE=CE；

②求wCP的值.

17.如图1,将RtABC（/A=90。）纸片按照下列图示方式折叠：①将△海沿80折叠，使得点A落在BC

边上的点M处，折痕为8D；②将谶及沿历折叠，使得点3与点O重合，折痕为所；③将DEF沿DF

折叠，点E落在点E'处，展开后如图2,BD、PF、DF、OP为图1折叠过程中产生的折痕.

田|

⑵若落在DM的右侧，求NC的范围;

（3）是否存在—C使得DE与NMDC的角平分线重合，如存在，请求NC的大小；若不存在，请说明理由.

18.如图①，已知线段°、b和NMON.如图②，小明在射线。”上顺次截取0A=2a,AB^3a,在射线

0N上顺次截取OC=2》，CD=3b.连接AC、8c和AC=4,BC=6.

图①图②图③

（1）求BD的长；

（2）小明继续作图，如图③，分别以点8、。为圆心，以大于;劭的长为半径作弧，两弧分别相交于点尸、

Q,连接尸Q,分别交30、0。于点E、F.如果8C_LO£»,求取的长.

19.【基础巩固】（1）如图1,四边形ABCD中，NBAC=ZACD,ZB=ZD,求证：四边形ABCD是平行

四边形.

【灵活运用】（2）如图2,YABCD中，点E,F分别在边AB,BC上，NEDF=/BAC,EF〃AC,EF

的延长线交。C的延长线于点G,若EF=3,DE=4,求AC的长.

【拓展提高】（3）如图3,矩形ABC。中，AB=2,3C=4,点E,F分别在边AB,BC上，tan/£Z*=2,

EF〃AC,求AE的长度.

图1图2图3

20.小张家住在一栋总高22层的单元楼的3层，他们家对面有栋不知高度的商业写字楼，在两楼之间还

有一间室内体育馆.小张站在自己家阳台刚好只能看见写字楼的顶端，他又上到楼顶发现又刚好只能看见

写字楼与自己家同高度以上的部分，此时他测得俯视角为45。.己知小张所住单元楼层高3米，他想要知

道前面写字楼的高度，于是他又去1楼测得单元楼距体育馆的距离为20米，请你帮小张计算一下写字楼

的高度.（结果保留01米，地面为1层）

思维方向：

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标准呈现:

压轴热点考点10解三角形的四大模型

火线100天压轴突破——2024年【中考冲刺】数学高频热点考点好题精编

一、单选题

1.如图，三角形OA8的顶点。(0,0)、4(6,0)、8(6,8),C是。8边的中点，过点C作CD交x轴

于点，将.QCD沿尤轴向右平移，当点C的对应点恰好落在AB边上时，此时点。对应点的坐标为()

【答案】A

【分析】根据勾股定理可得，OB=^O^+AB2=10，由C是的中点可得，OC=；OB=5,由题意可

得：△OC4AOAJB,可得型=/，即可求得OD,即可求解.

OBOA

【详解】解：•••0(0,。)、4(6,0)、5(6,8)

二OA=6,AB=8,AB^OA

''OB^yJo^+AB2=10

：C是。3的中点

OC=5,C(3,4)

,?CDVOB,

ZC>CD=Z(MS=90°

又：ZCOD=ZAOB

：.AOCD^AOAB,

.ODOCOD5

••=,艮mI」~

OBOA106

解得OD=年25

VC(3,4),3(6,8),A(6,0)

将，OCD沿x轴向右平移，当点C的对应点恰好落在AB边上时，可知是将OCD沿x轴向右平移了3个

单位长度

此时点O对应的坐标为（^+3,0,即

故选：A

【点睛】此题考查了坐标与图形变化-平移，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握

相关基本性质，正确求得OD的长.

2.如图，在.ABC中，/ACB=90。,N3=30。,。为3C边上一点，以点C为圆心，CO长为半径画圆，C

与射线C4相交于点E.下列说法正确的有（）

①若。为BC的中点，则C与AB相切；

②若点E与点A重合，贝!|C经过A3的中点；

③若BD=AE,则DE平分AB；

④若DE被A3平分，则=

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

【答案】B

【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，含30。的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰三

角形的判定与性质，切线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键；设AC=1,求解BC=«,A8=2,

如图，过C作CPLAS于F，可得当。为3C的中点时，半径为石，则①正确.当点E与点A重合时，

2

如图，可得C〃=CA=CO=；AB,②正确.当点E在线段AC上时，CD=CE,不存在BD=AE；当点E

在射线C4上时，过点A作A"_LEC,证明4"=的=丽，证明VA/加二VBRD,可得③正确.若DE被

平分，即£>0=欣?，此时点E必在射线C4上，过点。作。V〃AE,如图2,同理可得△AEG0&VDG,

可得④错误.

【详解】解：设AC=1,ZACB=90°,ZB=30°,

/.BC=+,AB=2,

如图，过C作CPLAB于尸,

・••点。到A5的距离。尸=吆8=且,

22

当。为的中点时，半径为立，

2

\0。与48相切，①正确.

当点E与点A重合时，如图，

2

二£经过的中点，②正确.

当点E在线段AC上时，CD=CE,

BC=-J3AC,

二不存在8D=AE；

当点E在射线C4上时，过点A作A",EC,

如图1,•：CD=CE,ZACB=90°,

：.«ECD,为等腰直角三角形，

：.AM=AE=BD.

ZAMF=ZBDF,ZMAF=ZDBF,

NAFM^BFD,

AF=BF,

即DE平分AB,③正确.

若DE被AB平分，即DG=EG,此时点E必在射线C4上，过点。作DN〃AE,

如图2,同理可得△AEG04NDG,

DN=AE,

,BD=也DN,

即8O=gAE,④错误.

故选：B.

3.以ABC的顶点A为圆心，大于二分之一AC为半径画弧与ACAB分别交于两点，分别以这两点为圆

心，以大于二分之一两点间距离为半径（半径不变）画弧，ZC=90°,NB=30。，AB=4,那么AO的长

是（）

A6R26046n573

3333

【答案】C

【分析】本题考查的是角平分线的作图，勾股定理的应用，二次根式的化简，根据角平分线的作图可得

ZC4D=30%利用勾股定理和30。角的直角三角形的性质求出。C的长，再根据含30度角的直角三角形

的性质可得答案.

【详解】解：在Rt^ACB中，48=30。,48=4

AAC=2,ABAC=60°

：.ZCAD=-ABAC=1x60°=30°

22

...在Rt^ACD中，AD=2CD

AC2+CD2=4CD2

/.3CD2=22

：.CD=正,

3

4J3

，AD=2CD=-^；

3

故选：C.

4.如图，在O中有两条互相垂直的直径AB,CD,尸是AC的中点，连接PO,分别交AB，AC于点瓦”,

连接PB,分别交CD,AC于点RG,下列四个结论：®ZB£D=67.5°；②BE=AC；③CF?=FGFP;

@DEEH=2OEAE.其中正确的结论有（）

【答案】A

【分析】本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识：由直径

ABLCD得NA=NC=NP=45。，由尸是AC的中点得N8=ND=22.5。，可得/BED=67.5。,可判断①；

连接。,3C,证明”所注得3E=3C=AC可判断②；证明,PFES_CFG,可判断③；在上截

取OK=OE,连接DK.证明一A£"s_£）£K可判断④.

【详解】解：•••直径

ZAOC=ZBOD=ZDOE=90°.

OA=OC,

:.ZA=ZC=ZP=45°.

尸是4c的中点,

.•.々="=22.5°,

:./BED=675。,①正确.

连接班,3C.

根据对称性易知。石=。尸，

/.ZBEF=ZOFE=NBCF=45°.

/EBF=/CBF,BF=BF,

/.BEF^BCF,

:.BE=BC=AC,②正确.

ZP=ZACD9

•.・OE=OF,/EOF=90。,

ZEFO=45。,

・・.ZCFE=135°,

(BEFABCF,

：./CFB=NEFB,

：.ZCFG=ZEFG=67.5°,

・.・4=45。，

.・.ZPEF=67.5°=ZPFE,

：./PFE=NCFG,

:…PFEsCFG,

.EF_PF

*FG-CF5

EF=CF

:.CF2=FGFP,③正确.

在。5上截取OK=OE,连接。K.

R

DOLEK,

:.DE=DK,

NDKE=ABED=ZAEH=67.5°,

/.ZEDK=45°=ZA,

.•心AEHS-DEK,

.AEEH

…丽―沃’

二DE-EH=EK•AE=2OE-AE,④正确.

综上分析可知，正确的共有4个.

故选：A.

【答案】C

【分析】利用平行线的性质，等腰三角形的性质可判断嘉嘉的作法；利用三角形全等可判定淇淇的作法.

【详解】9：CD//OB,

・.・CP=OC,

：./CPO=/COP,

：.NBOP=/COP,

故射线。尸平分/AOB,

故嘉嘉的作法正确;

OM=0N

ZDOM=/CON,

OD=OC

:・、DOMWCON(SAS),

ZMCP=ZNDPf

VOM=ON,OC=OD；

：.MC=ND,

/MCP=NNDP

•：\ZMPC=ZNPD,

MC=ND

:・MCM"PDN(AAS),

・•・CP=DP,

OC=OD

・.・］。尸二o尸，

PC=PD

I._PCO空PDO(SSS),

・•・NCOP=NDOP,

故射线0尸平分/AOB,

故淇淇的作法正确；

故选C.

【点睛】本题考查了角的平分线的基本作图，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性

质，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键.

6.如图，在Q4B中，OA=OB=13,AB=24,以。为圆心，4为半径作O,。为线段AB上动点(从A

运动到3),过尸作。的切线PC,切点为C,则PC的取值范围是()

A.3<PC<3V17B.5<PC<13C.4<PC<3V17D.1<PC<13

【答案】A

【分析】连接OP、OC,根据当时，线段PC最短，当P在A或B点时，线段PC最长，进而分别

求得PC的长，即可求解.

【详解】解：连接。尸、OC.

尸。是。的切线，

OQVPQ.,

根据勾股定理知PC?=OP2-OC2，

.・.当POLAS时，线段PC最短，当尸在A或8点时，线段PC最长，

①当PO_LAB时，在RtAO3中，Q4=O3=13,AB=24,

，AP=12,

:.OP=5,

PC=y]OP2-OC2=752-42=3-

②当P在A点时，在M.AOC中，OC=4,04=13,

PC=AC=7OA2-OC2=A/132-42=3后，

PC的取值范围是3VPC<3厉,

故选：A.

【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

7.如图，已知点AB,C,。均在。上，为，。的直径，弦AD的延长线与弦8C的延长线交于点E,

连接OC,OD,AC,CD,BD.则下列命题为假命题的是（）

A.若点。是AB的中点，则=

B.若OD_LAC,则NAOr>=NABC

C.若=则CB=CE

D.若半径0。平分弦AC,则四边形AOCD是平行四边形

【答案】D

【分析】由圆的性质逐项判断即可得到答案.

【详解】解：点。是AB的中点，

AD=BD'

:.AD=BD,故选项A是真命题，不符合题意；

AB为。的直径，

:.ZACB=90°,即AC_Z_3C,

若0D_LAC,则3C〃0D,

:.ZAOD=ZABC,故选项B是真命题，不符合题意；

若AS=A£,贝（ABE是等腰三角形，

QAC1BC,

:.BC=CE,故选项C是真命题，不符合题意；

由半径0。平分弦AC,不能证明四边形A0CD是平行四边形，故选项D是假命题，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了判断命题的真假、圆的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的性质、等腰三角形的

性质是解题的关键.

二、填空题

8.如图，平行四边形ABCD的对角线ACBD相交于点0,一AOC的平分线与边A3相交于点P,E是尸。

中点，若AD=4,CD=6,则E。的长为cm.

D

【答案】1

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、三角形中位线的判定与性质等知识点，根

据题意求得PB的长是解题的关键.

由平行四边形ASCD可得AB//CD,03=,则ZCDP=ZAPD,根据。尸平分NADC可得ZCDP=ZADP,

从而可得NADP=NAPD,可得AP=AD=4,进一步可得尸3的长，再根据三角形中位线定理可得即可解

答.

【详解】解：在平行四边形ABC。中，

ABDC,AB=CD-6,。是的中点，

ZCDP=ZAPD,

OP平分/ADC,

NCDP=ZADP,

二ZADP=ZAPD,

•**AP=AD=4,

PB=AB-AP=6-4=2,

是尸£＞的中点，。是8。的中点，

是oOPB的中位线，

/.EO=-PB=1.

2

故答案为L

9.定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”.例如，图①

中正方形ABC。即为线段AC的“对角线正方形”.如图②，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,

点尸在边A3上，如果线段PC的“对角线正方形”有两边同时落在ASC的边上，那么AP的长是.

B

图①图②

【答案吟号

【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是

解题的关键.根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【详解】解：当线段PC的“对角线正方形”有两边同时落在二ABC的边上时，设正方形的边长为X,则

PE=CE=PD=CD=x,BE=4—x,

丁PE//AC,

:,BPEs^BAC,

.PEBE

**AC-BC?

.x_4-x

••一=,

34

12

解得：x若,

12129

:,PD=——，AD=AC-CD=3——=—,

777

/.AP=VAD2+PD2=—,

7

故答案为：—■

10.如图，已知。为等腰RtA43C的腰43上一点，CO绕点。逆时针旋转90。至££),连接CE,M

为班的中点，则当tan/ED4=:时，器=_______.

2BC

c

【答案】1/0.25

【分析】连接人石，过点石作于点R根据旋转的性质可得CD=£Z),/CDE=90。,推出

4F)AF)11

ZEDA=ZACD,贝iJtanNA8=K=F=7,根据三角形的中位线定理可得。M二套人石，通过证明

ACAB22

ACD^.FDE,可推出，ABCs庄4,得出AE=；BC,即可求解.

【详解】解：连接AE,过点E作于点八

CO绕点。逆时针旋转90。至ED,

:,CD=ED,/CDE=90°,则NOM+NEDA=90。，

・・・为等腰直角三角形，

JAC=AB,ZBAC=90°,

：.NOM+ZACD=90。，

：.ZEDA=ZACD,

tan/EDA=—,

2

“八ADAD1

••tan^ACD-----------——,

ACAB2

.,.点。为48中点，

为BE的中点，

/.DM=-AE,

2

'：ZEDA=ZACD,NF=NCAD,CD=ED,

:.iACD=ttFDE,

EF=AD=-AB,DF=CA

2f

DF=AB,

：.DF-AD=AB-AD,^AF=BD,

则A尸=1A5=』AC,

22

VEF=-AB,ZF=ZBAC，AF=-AC,

22

IABSaFEA,

：.AE=-BC,

2

DM=-AE=~BC,即3^」，

24BC4

故答案为：—.

4

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性

质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，相似三角性质对应边成比例.

11.如图，E、F、G、5分别是四边形边AB,BC,CD,中点，与AG、CE分别交于点

/和点M与AG、CE分别交于点。和点P,下列结论：

①，ABH与5CE的面积和可能等于四边形A3CD面积的一半；

②四边形AECG与四边形跳7汨的面积和一定不等于四边形ABC。面积；

③△APG与，BCE的面积和不一定等于，A5”与.8尸的面积和；

@AAHM,BEN、CFP、DG。的面积和一定等于四边形MNP。的面积.

其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

【分析】①当四边形ABCD是矩形时，分别一与的面积和与四边形A5CD面积，可作判断；②

连接AC,根据三角形的中线平分三角形的面积进行判断即可；③根据②中的结论可计算SaG+SMC£=g><

四边形ABCD面积，从而可作判断；④根据四边形的面积和与差可作判断.

【详解】解：①当四边形ABC。是矩形时，如图1,设AZ)=2a,AB=2b,

ABH与3cE的面积和=；分26+；＞2。=。6+"=2岫，

四边形A5CD面积=2a-2b=4ab,

此时班/与,BCE的面积和等于四边形ABC。面积的一半；故①正确;

②如图2,连接AC,

是AB的中点，G是CD的中点,

^△ACE=S^BCE=2SAABC，^/\ADG=^AACG=/^AACD，

...四边形AECG的面积=S3c+SAACG《SBC+京,。=1(^+5^)=^四边形ABCD面积,

同理可得：四边形班的面积=gx四边形ABC。面积，

.,.四边形AECG与四边形BFDH的面积和=四边形ABCD面积；故②不正确；

③由②知：SBCE=3SABC，^/\ADG=TS/\ACD，

^/\ADG+S^BCE=]SAACD+四边形ABCD面积,

同理可得：一AB"与二CDP的面积和=gx四边形ABC。面积,

.••△AOG与，BCE的面积和等于aAB"与C"的面积和；故③不正确;

④**S四边形AECG-S四边形MNPQ=S四边形AENM+S四边形CPQG，

-

2S四边形钙CD一S四边形MVP0=S/\ABH+SADCF1AHM+^ABEV+^ACFP+^ADGQ)，

^AABH+S&DCF=-S四边形4gcD，

:.AAHM、BEN、CFP、DG。的面积和一定等于四边形MNP。的面积.故④正确

故答案为：①④.

【点睛】此题考查了四边形和三角形的面积，有难度，掌握三角形中线平分线三角形的面积是解此题的关

键.

12.如图，线段AC与线段3D交于点E,ZAEB=45°,ZA+ZD=180°,若AB=3亚,BD=4亚,0)=1,

【分析】分别过点4。作4欣，8。。z，4（?,垂足分别为河,",则/AMB=/4JWE=/CM）=NEVO=90。,

可得一AME,—DEN均为等腰直角三角形，再由二ABAfsCDN,可得AM=3叵CN,BM=3垃DN,设

DN=EN=x,CN=y,则EM=AM=3五、8M=3岳，DE=42x，AE=&AM=6y,再由勾股定理

可求出x,y的值，即可求解.

【详解】解：如图，分别过点4。作AM，8£>,DV_LAC,垂足分别为M,N,则

ZAMB=ZAME=NCND=NEND=90°,

：.ZBAM+ZB=90°,

ZAEB=NCED=45°,ZBAC+ZCDB=180°,

,.NB+NC=90。，AME,。石N均为等腰直角三角形,

•・/BAM=/C,AE=®AM,DE=®DN,

・・ABMs«DN,

.BMAMAB38_36

DNCNCD1

\AM=3也CN,BM=36DN,

设DN=£N=x,CN=y,则EM=AM==3后，DE=Cx，

\AE=yflAM=6y,

：DN?+CN?=CD?,BD=4形,

.fx2+y2=l

3A/2X+3后y+42x=4A/2

7

x=——

25x=l

解得：(舍去),

24，y=o

y——

25

AC=AE+EN+CN=6y+x+y=7.

故答案为：7

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，根据题意得到，ABMS'SV是解

题的关键.

13.在等腰直角三角形A2C中，？B90?,AB=2,。为BC的中点，作△ADC关于AC的对称图形▲A/J'C,

并连接

(1)DD'的长为；；(2)sin/ZMD=.

【答案】A/2-/0.6

【分析】(1)由轴对称的性质得到NDC4=NOC4=45。，D'C=DC,ZD'CD=90°,推出再利用勾股定

理即可求解;

(2)过点D作DFYAD'于点F.利用勾股定理求得AD=AD'=下,利用面积法得到DD-AE=AU-DF,

再根据正弦定义求解即可.

【详解】解：(1)•••在等腰直角三角形ABC中，?B90?,

：.ZBCA=45°.

AADC与aADC关于AC对称,

ZD,C4=ZDC4=45°,D'C=DC,：.ZD'CD=90°.

：£>为3C中点，AB=BC,

：.CD=1.

DD'=VCD,2+CD23=V2；

故答案为：

(2)过点。作。尸JLAO'于点?

AADC与.ADC关于AC对称,

/.AC垂直平分DD'.

'：ZDCA=45°,

CE=DE=—.

2

由勾股定理求得AD=AD'=yjBD2+AB2=Vl2+22=BAC=理=2-J2，

,.'AE=2也与浮.

根据三角形面积公式得9•AE=A/y•。户,

DFDFDD'AE

sin/DAD'=——2

AD而一AO。5-5

3

故答案为：—.

【点睛】本题考查了折叠有性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用

所学知识解决问题.

14.如图，点。为么5。的外心，过点。分别作A3、AC的垂线/1、，2，交8。于。、E两点.

(2)过点。作OF_LBC于点孔BF=5cm,则VADE的周长为.

【答案】115°10cm

【分析】(1)由线段垂直平分线的性质得/54D=NABC,ZCAE=ZACB,从而有NAOE=2NABC,

ZAED=2ZACB,由三角形内角和定理NADE+NAEDMIBO。，从而由/54。=/54。+/6石+/八4£1可

求得结果；

(2)连接。4、OB、OC,由已知可得点。在线段BC的垂直平分线上，则可得BC=10cm；再利用线段

垂直平分线的性质得的=血，EA=EC,最后可求得周长的值.

【详解】(1):点。为_AfiC中的外心，《LAB,/21AC,

乙、4是AB、AC的垂直平分线,

/.AD=BD,EA=EC,

：.ZBAD=ZABC,ZCAE=ZACB,

：.ZADE=ZBAD+ZABC=2ZABC,ZAED^ZCAE+ZACB^2ZACB,

NDAE+ZADE+ZAED=180°,

二ZADE+ZAED=180°-50°=130°,

/.ZBAD+ZCAE=•|(ZADE+ZA£r>)=65°,

ABAC=ABAD+NCAE+NDAE=65°+50°=115°；

故答案为：115。；

(2)连接。4、OB、OC,

••F是A3边的垂直平分线，4是AC边的垂直平分线,

AOA=OB,OA=OC,

：.OB=OC,

点O在线段BC的垂直平分线上,

OF±BC,

BC=2BF=10cm,

*.*AD=BD,EA=EC,

・・・丫5£的周长=>10+4£+。石=5。+。旧+后。=3。=10011.

A

故答案为：10cm.

【点睛】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，掌握线段

垂直平分线的性质与判定是关键.

三、解答题

15.(1)如图1,ABC中，点。是边BC的中点，若AB=6,AC=4,求中线AO的取值范围.

解：：点。是边BC的中点，，即=8,

将ACD绕点D旋转180°得到AEBD，

即得丝△£%>,且A,D,E三点共线，

在，ABE中，可得AE的取值范围是：

6—4<AE<6+4；

AD的取值范围是：

(2)如图2,在ABC中，/54C=90。，点。是BC边的中点，ZMDN=90°,的两边分别交

于点E,交AC于点孔连接EF.探究线段BE、CF、E尸之间的数量关系，并说明理由.

图2

【答案】(1)1<AD<5；(2)见解析

【分析】(1)结合解题步骤及求得不等式组的解集，确定的取值范围；

2

(2)将■绕点D旋转180。得到「.CDG,连接尸G,即得BDE/oCDG,从而得出BE=CG,ZB=ZDCG,

ED=DG,然后结合线段中垂线和直角三角形的性质分析推理.

［详解】解：(1)V2CDSEBD,

：.AD=DE

：.AE=2.AD,

又：6-4<钻<6+4；

2<2AD<10,即1<AD<5,

故答案为：1<AT><5；

(2):点。是边3C的中点，

Z.BD=CD,

将，BDE绕点、D旋转180。得到.CDG,连接FG,即得，BDE冬CDG,

：.BE=CG,ZB=NDCG,ED=DG,且E、D、G三点共线,

•.•在ABC中，ZBAC=90°,

：.ZB+ZACB^90°,

：.ZDCG+ZACB=90°,即ZFCG=90°,

,:ED=DG,且ED上DF,

O尸垂直平分EG,

EF=GF

'：在RtCGF中,ZFCG=90°,

/.CF1+CG1=GF-,

：.CF2+BE2=EF2.

【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的

性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键.

16.如图1,E是正方形A5CD的边上一个动点，连接。瓦/DEC的平分线交OC于点M,直线

MN1DE于点、N,交于点G,交8C的延长线于点尸，连接EG,CN.

⑴求证：FN=AB.

(2)如图2,若NC〃GE,连接BN并延长，交CD于点、P.

①求证：BE=CE；

②求黑的值.

【答案】(1)见解析

(2)①见解析；②且二1

2

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三

角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键，(1)根据正方形的性质和角平分线的性质可

得△EMN四△EMC和△DEC四△FEN即可求证=(2)①利用(1)的结论和NC〃GE,可证明

△GEN丝△GEB进而得证；②延长CN交于点Q.利用①的结论和NP3C+/3PC=90。可得

/必。=//。丫=/仍因进而证明43叱也△。。2,LECNsADQN和gNPsWCN,从而得出

DN2=CDDP,设8=1,CP=X,根据等量关系建立方程即可求解.

【详解】(1)(1)如图1,,四边形ABCD是正方形.

MNLDE,

:"ENF=NDCE=90。.

EM平分/DEC,

:"DEM=NCEM,

EM=EM,

AEMN^AEMC,

:.EN=CE,

又,ZDEC=ZFEN,

:./\DEC^AFEN,

:.CD=FN,

:.FN=AB.

(2)解：由(1)知EN=CE,

:./ENC=/ECN.

NC//GE,

AGEN=NENC,/GEB=ZECN,

/GEN=Z.GEB.

ZABE=ZGNE=90°,GE=GE,

:.△GEN"AGEB,

:.BE=EN,

BE=CE.

②延长CN交AT）于点Q,

由①知5£=£/V=CE,

/./EBN=/BNE,ZENC=ZECN,

/.ABNC=NBNE+/ENC=90°,

:./PCN+ZBPC=900.

NPBC+NBPC=9伊,

ZPBC=ZPCN=NBNE.

又ZBCD=ZCDA=90°,BC=CD,

:.△BCP2ACDQ,

：.CP=DQ.

AD//BC,

AECNs丛DQN,

DNEN।

,---=...-1

DQEC

DN=DQ=CP.

ZPCN=/BNE/DNP=/BNE,

/DNP=NPCN,

:./\DNP^/\DCN,

DNCD

一丽一而’

:.DN2=CDDP.

设CD=l,CP=x,即f=i—%,

解得士=正二1,尤,=一昌1(舍去)，

.CPV5-1

/.------=------------.

CD2

17.如图1,将RtABC(/A=90。)纸片按照下列图示方式折叠：①将△曲沿80折叠，使得点A落在BC

边上的点M处，折痕为8D；②将△BEP沿EP折叠,使得点3与点O重合，折痕为所；③将DEF沿DF

折叠，点E落在点E'处，展开后如图2,BD、PF、DF、OP为图1折叠过程中产生的折痕.

(1)求证：DP//BC；

⑵若落在DM的右侧，求NC的范围；

(3)是否存在—C使得OE与NMOC的角平分线重合，如存在，请求NC的大小；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)见解析；

⑵0。<“<30。；

(3)不存在，理由见解析.

【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握折

叠的性质是解题的关键.

(1)由第二次翻折可得石/垂直平分80,由第一次翻折可得EF=£P,证出四边形尸fiFD是菱形，则可得

出结论；

(2)设/AB£)=e,求出N8D/ZADP=ZFDM=ZC=90-2a,当DE7落在。M的右侧时，a>90-2a,

求出。>30。，则可得出答案；

(3)设ZAB£)=(z,ZADP=ZFDM=ZC=90-2a,NMDC=2(z,得出90-2"+e=<z,求出a=45°,ZC=0°,

则可得出结论.

【详解】(1)证明：由第二次翻折可得E尸垂直平分3。，由第一次翻折可得跖=砂，

PF与垂直且互相平分，

.•・四边形尸版是菱形，

DP//BC；

(2)解：设/ASD=a,

・四边形尸3中是菱形，

PB//DF,

ZBDF=a,ZADP=ZFDM=ZC=90-2a,

当DE,落在小/的右侧时，a>90-2a,

a>30°,

二90°-2a<30°,

.•.00<ZC<30°；

(3)解：不存在.

若存在NC使得。E与NMOC的角平分线重合，

设ZAS£>=c,ZADP=ZFDM=ZC=90-2a,ZMDC=2a,

:.90-2a+a=a,

.5=45°,

ZC=0°,

不存在NC使得DE与ZMDC的角平分线重合.

18.如图①，已知线段°、6和/MON.如图②，小明在射线OM上顺次截取。4=2"，AB=3a,在射线

ON上顺次截取OC=28,CD=3b.连接AC、BC^BD,AC=4,BC=6.

图①图②图③

⑴求的长；

(2)小明继续作图，如图③，分别以点8、。为圆心，以大于；劭的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、

Q,连接PQ,分别交80、OD于点E、F