专题01 利用导函数研究函数的切线问题(典型题型归类训练) 解析版

专题01利用导函数研究函数的切线问题(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 3题型一：在型求切线方程 3题型二：过型求切线方程 4题型三：已知切线斜率求参数 7题型四：确定过一点可以做切线条数 8题型五：已知切线条数求参数 10题型六：距离问题转化为相切问题 13题型七：公切线问题 16三、专项训练 18一、必备秘籍1、切线的斜率：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.2、曲线的切线问题（基础题）（1）在型求切线方程已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.第二步：计算切线斜率.第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。根据直线的点斜式方程得到切线方程：.（2）过型求切线方程已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.步骤：第一步：设切点第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.3、已知，过点，可作曲线的（）条切线问题第一步：设切点第二步：计算切线斜率；第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解；4、已知和存在（）条公切线问题第一步设的切点设的切点求公切线的斜率写出并整理切线整理得：整理得：联立已知条件消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；二、典型题型题型一：在型求切线方程1．（2024·全国·模拟预测）已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为．【答案】．【分析】由导数的几何意义先求出切线的斜率，再求出切点坐标，有点斜式求出切线方程即可.【详解】由题意设切点，因为，令，得，由导数几何意义知：，又，所以，故曲线在处的切线方程为：，整理得：.故答案为：.2．（2024·陕西西安·模拟预测）曲线在处的切线的斜率为.【答案】【分析】根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果.【详解】因为，可得，故答案为：.3．（2024·全国·模拟预测）曲线在处的切线方程为．【答案】【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案.【详解】由题意得，且，时，，所以曲线在处的切线方程为，即，故答案为：4．（2024·上海闵行·二模）函数在处的切线方程为.【答案】【分析】切线的斜率是在处的导数，切线过，由直线的点斜式方程可以求出切线方程.【详解】，，所以，所以在处的切线方程为，即，故答案为：.题型二：过型求切线方程1．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）过点作曲线的切线，则切线的条数为．【答案】2【分析】设切点为，再根据切线方程得到，化简得，再构造新函数，利用导数求出其零点个数即可.【详解】由已知可得，，定义域为，，所以点不在曲线上.当切线斜率不存在时，即直线方程为，此时相交，不合题意，舍去，设切点为，根据导数的几何意义可知，曲线在点处切线的斜率.所以有，则，则，则有，化简得，即，其中，令，，则，令，解得，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，故当，取得最小值，，又因为，且函数连续不间断，则存在满足，又因为,且函数连续不间断，所以存在满足，综上，，共有两个零点，即切线的条数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：本题的关键是将切线条数转化为的零点个数，再利用导数和零点存在定理求出其零点个数即可.2．（2024·云南·模拟预测）曲线过坐标原点的切线方程为.【答案】【分析】利用导数的几何意义可求出结果.【详解】设切点为，则，，切线的斜率为，所以切线方程为，又切线过原点，所以，即，解得，所以切线方程为.故答案为：3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）过点作曲线的切线，写出一条切线方程：.【答案】或（写出一条即可）【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入求得切点坐标，即可得切线方程.【详解】由可得，设过点作曲线的切线的切点为，则，则该切线方程为，将代入得，解得或，故切点坐标为或，故切线方程为或，故答案为：或4．（23-24高三下·山东德州·开学考试）过点与曲线相切的直线与轴的交点坐标为.【答案】【分析】设切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点求出，即可求出直线与轴的交点坐标.【详解】设切点坐标为，由，得，则过切点的切线方程为，把点代入切线方程得，，即，因为，而在上单调递增，在上单调递减，所以只有一个解，所以，所以切线方程的斜率为，所以切线方程为，令，解得.故过点与曲线相切的直线与轴的交点坐标为.故答案为：.题型三：已知切线斜率求参数1．（2024·全国·模拟预测）若直线与曲线相切，则的最小值为（

）A． B．－2 C．－1 D．0【答案】C【详解】根据直线与函数相切，可得以及，即可换元构造函数，利用导数求解函数的最值求解.【分析】设切点坐标为．由已知，得，则，解得．又切点在切线与曲线上，所以，所以．令，则．令，解得．当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减．所以，即，所以，则的最小值为－1．故选：C．2．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）直线与曲线相切，则实数（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据导数的几何意义得出切线斜率，再由切点在直线与曲线上列方程即可得解.【详解】设切点为，则，且，解得，，故选：D3．（2024·湖南娄底·一模）若直线是指数函数且图象的一条切线，则底数（

）A．2或 B． C． D．或【答案】D【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义，列式运算求得的值.【详解】设切点坐标为，对函数，求导得，切线方程化成斜截式为，由题设知，显然，即，由，得，即，即，即，化简得，令，即，利用指数函数与一次函数的性质，可知或，即或，解得或.故选：D.4．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若直线是曲线的一条切线，则实数．（…为自然对数的底数．）【答案】【分析】根据切线的斜率为1，利用导数列方程，求得切点的坐标，代入切线方程，求得的值.【详解】设切点为，又，切线的斜率，解得，所以切点为，代入切线方程，得.故答案为：.题型四：确定过一点可以做切线条数1．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】A【分析】利用导数求出斜率，结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解.【详解】设切点为，由可得，则过坐标原点的切线的斜率，故，即，解得，故过坐标原点的切线共有1条．故选：A．2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，过点可作曲线的切线条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求出的导函数，设切点坐标为，写出切线方程，把代入，得到关于的方程，根据方程解的个数即可得出切线的条数．【详解】解法一

由，得．设切点坐标为，则切线方程为，把代入可得，即，因为，所以该方程有2个不同的实数解，故切线有2条．解法二

由，得，令，得．当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，且，则点在曲线的下方，数形结合可知，过点可作曲线的2条切线．故选：B3（多选）（23-24高三上·湖北·期末）设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【答案】BC【分析】设为直线上任意一点，切点为求出切线方程，将代入切线方程，转化为根的个数求解即可.【详解】设为直线上任意一点，过点作的切线，切点为，则函数图象在点B处的切线方程为，即，

整理得，，解得1或当时，，方程仅有一个实根，切线仅可以作1条；当时，，方程有两个不同实根，切线可以作2条.故选：.题型五：已知切线条数求参数1．（23-24高二下·福建福州·期中）若曲线有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设切点，利用导数的几何意义求得切线方程，将原点坐标代入，整理得，结合计算即可求解.【详解】设，则，设切点为，则，所以切线方程为，又该切线过原点，所以，整理得①，因为曲线只有一条过原点的切线，所以方程①只有一个解，故，解得.故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的几何意义，切点未知，设切点坐标，由导数的几何意义求出切线方程，确定方程的解与根的判别式之间的关系是解决本题的关键.2．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出切点，表示出切线方程，将点代入，则关于切点横坐标的方程有三个实根，通过分离参数，将问题转化为两个函数图象有三个不同交点的问题求解即可．【详解】由，得，设切点为,，过切点的切线方程为，代入点坐标化简为，即这个方程有三个不等式实根，令，求导得到，由，得，由，得，或，故函数上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故得,结合，，当时，，时，，得，故选：D．

3．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）过点可作曲线的三条不同的切线，实数的取值范围为.【答案】或或.【分析】求导，根据点斜式求解切线方程，将代入切线方程得即可将问题转化为有两个不相等的实数根，且利用判别式即可求.【详解】由.设切点为则曲线在点的切线方程为.又因为切线过点代入切线方程得即所以即方程有两个不相等的实数根，且所以解得或或故答案为：或或.4．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）若曲线有且仅有两条过点的切线，则实数a的值为.【答案】/【分析】构造新函数，利用导数求得其单调性和极值，进而求得实数的取值.【详解】设点为曲线上一点，则又，则，则曲线在点处的切线方程为，又切线过点，则，即令，则，则时，单调递减；时，单调递增；时，单调递减，则时取得极小值，时取得极大值，又，当时，恒成立，时，，又由题意得方程有2个根，则与图像有2个交点，则.

故答案为：.题型六：距离问题转化为相切问题1．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】问题转化为过点的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，利用导数的几何意义求得点的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案.【详解】因为点是曲线上任意一点，所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小．因为直线的斜率等于1，曲线的导数，令，可得或(舍去)，所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为，所以点P到直线的最小距离为.故选：D.2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）函数图象上的点到直线的距离的最小值是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为：，利用导数的几何意义求得切点，再求出切点到直线的距离，即得答案.【详解】解：设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为：，设切点为，又因为，所以，解得，所以切点，又因为点到直线的距离为，所以函数图象上的点到直线的距离的最小值是.故选：B.3．（23-24高二下·四川达州·阶段练习）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】求出平行于的直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．【详解】设，函数的定义域为，求导得，当曲线在点处的切线平行于直线时，，则，而，解得，于是，平行于的直线与曲线相切的切点坐标为，所以点到直线的最小距离即点到直线的距离．故选：D4．（2024·山东·一模）已知A，B分别为直线和曲线上的点，则的最小值为．【答案】/【分析】由题意的最小值为到直线上距离的最小值，再设，则当处的切线与平行时取得最小值.【详解】由题意的最小值为曲线上点到直线距离的最小值，设，则为增函数，令则，故当时，单调递减；当时，单调递增.故，即在曲线下方.则当处的切线与平行时取得最小值.设，对求导有，由可得.故当时取最小值.故答案为：题型七：公切线问题1．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知直线是曲线与曲线的公切线，则（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】设是图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线上的切点，继而求出t的值，结合切线方程，即可求得答案.【详解】由题意知直线是曲线与曲线的公切线，设是图象上的切点，，所以在点处的切线方程为，即①令，解得，即直线与曲线的切点为，所以，即，解得或，当时，①为，不符合题意，舍去，所以，此时①可化为，所以，故选：A2．（23-24高二下·河南·阶段练习）过原点的直线与曲线都相切，则实数（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出切点，利用导数的几何意义结合两点式斜率公式列式，即可求解.【详解】由得，由得，设过原点的直线分别与曲线相切于点，则由导数的几何意义得，且，故，所以直线的斜率为，所以，所以，所以，即，代入得.故选：D3．（2024·辽宁·二模）已知函数的图象与函数且的图象在公共点处有相同的切线，则，切线方程为.【答案】【分析】设公共点为，即可得到，再由导数的几何意义得到，从而求出，即可求出切点坐标，从而求出，再求出切线方程.【详解】设公共点为，则，即，所以，所以，由，，所以，，又在公共点处有相同的切线，所以，即，所以，则，，则，则，所以切线方程为，即.故答案为：；4．（23-24高二下·四川广安·阶段练习）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则.【答案】/【分析】利用导数的几何意义计算即可.【详解】设曲线与的切点分别为，易知两曲线的导函数分别为，，所以，则.故答案为：.三、专项训练1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（

）A．3 B． C．7 D．【答案】C【分析】利用导数求出切线斜率，再结合垂直关系列式计算即得.【详解】由，求导得，当时，，由曲线在处的切线与直线垂直，得，所以.故选：C2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则a的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】运用导数几何意义及导数公式求得切线的斜率，结合两直线垂直进而求得a的值.【详解】由题设，知曲线在点处的切线的斜率为，由，则，所以.故选：A3．（23-24高二下·黑龙江大兴安岭地·阶段练习）曲线，在点处的切线斜率为（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】根据导数的运算求解导函数，再根据导数的几何意义求切线斜率即可.【详解】因为，所以，则曲线在点处的切线斜率为.故选：A.4．（2024·河北邯郸·二模）设函数的图像与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令可计算出切点坐标，结合导数的几何意义可得切线斜率，即可得解.【详解】令，即，即，解得，故，，则，则其切线方程为：，即.故选：C.5．（23-24高二下·浙江·期中）函数在点处的切线方程（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据导数的几何意义求解即可.【详解】因为,所以，所以，所以在点处的切线方程为，即，故选：B.6．（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）已知直线与曲线相切于点，则（

）A．-3 B．-1 C．5 D．6【答案】B【分析】由题意知在曲线上，可求出a，利用导数的几何意义即可求得切线斜率，结合切点坐标，即可求得答案.【详解】由题意知在曲线上，故，即，则，则，则切线方程为，将代入，得，故选：B7．（2024·江苏泰州·模拟预测）曲线上的点到直线距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设切点，根据导数的几何意义计算即可求解.【详解】令，则，设该曲线在点处的切线为，需求曲线到直线的距离最小，必有该切线的斜率为2，所以，解得，则切点为，故切线的方程为，即，所以直线到直线的距离为，即该曲线上的点到直线的最小距离为.故选：C8．（2024高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线方程为（

）A．y＝x＋3 B．y＝4x－3 C．y＝2x＋1 D．y＝x－3【答案】B【分析】对在某点处的切线方程该点为切点，根据导数几何意义该点处的导数为切线的斜率，求出切线斜率，再利用点斜式即可得出所求切线方程.【详解】由，得，所以曲线在点处的切线斜率为，所以所求切线方程为，即.故选：B.9．（2024·河南信阳·模拟预测）若直线与曲线相切，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助导数的几何意义计算可得，借助导数得到函数的值域即可得解.【详解】对于，有，令切点为，则切线方程为，即，即有，令，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故，又当趋向于正无穷大时，趋向于负无穷，故，即.故选：A.10．（多选）（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）若点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点，下列选项中，的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】借助导数的几何意义计算出与相切且平行于的直线方程，结合两直线间的距离公式即可得曲线上任意一点与直线上任意一点的距离的最小值，即可得解.【详解】令，则，因为的斜率为，令，，即，解得或（舍），因为，则过点且与直线平行的切线为，即，该直线与直线的距离为，所以曲线上任意一点到直线上任一点的距离最小