2024年中考数学提高复习讲义：图形的认识与三角形

中考专题复习之图形的认识与三角形

知识梳理

1.角

⑴角的概念.

①定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点叫作角的顶点，两条射线分别叫作角的

边.

②定义二：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫作角.射线旋转时经过的平面部分是

角的内部，射线的端点是角的顶点，射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边.

(2)角的表示方法.

①用三个大写字母来表示，注意将顶点字母写在中间，如/AOB.

②用一个大写字母来表示，注意顶点处只有一个角用此法，如/A.

③用一个数字或希腊字母来表示.

⑶角的分类

①小于直角的角叫作锐角；平角的一半或90。的角叫作直角；大于直角而小于平角的角叫作钝角.

②平角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置与起始位置成一条直线时，所成的角叫作平角，平角等于180。.

③周角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置又回到起始位置时，所成的角叫作周角，周角等于360。.

④互为余角：如果两个角的和是一个直角(90。),那么这两个角叫作互为余角.

⑤互为补角：如果两个角的和是一个平角(180。),那么这两个角叫作互为补角.

(4)角的度量.

①度量单位：度、分、秒.

②角度单位间的换算：1°=60；r=60〃(即:1度=60分,1分=60秒).

③1平角=180。1.周角=360。/直角=90。.

(5)角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.

(6)角的平分线：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫作这个角的平分线.

2相交线

(1)对顶角.

①定义：如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两个角叫

作对顶角.

②性质：对顶角相等.

(2)邻补角.

①定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫作邻补角.

②性质：邻补角互补.

⑶垂线.

①两条直线互相垂直的定义：当两条直线相交所得的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相

垂直的，它们的交点叫作垂足.垂直用符号“，”来表示

②垂线的定义：互相垂直的两条直线中，其中的一条叫作另一条的垂线，如直线a垂直于直线b,垂足为

O,则记为a±b,垂足为O.其中a是b的垂线，b也是a的垂线.

③垂线的性质：⑶过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(b)连接直线外一点与直线上各点的所有线段

中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.

④点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.

(4)同位角、内错角、同旁内角.

①基本概念：两条直线(如a,b)被第三条直线(如c)所截，构成八个角,简称三线八角，如右图所示:21和/8,/

2和/7,/3和/6,/4和/5是同位角1和/6,/2和/5是内错角;/1和/5,/2和/6是同旁内角.

②特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)

上，另一条边分别在两条直线(被截线)上.

3.平行线

(1)平行线的定义.在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.平行用符号“〃”来表示，如直线a与b平行，

记作a〃b.在几何证明中，“〃”的左、右两边也可能是射线或线段.

⑵平行公理及推论.

①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

②平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即：如果b〃a,c〃&那么b

//C.

(3)性质.

①平行线永远不相交.

②两直线平行，同位角相等.

③两直线平行，内错角相等.

④两直线平行，同旁内角互补.

⑤如果两条平行线中的一条垂直于某直线，那么另一条也垂直于这条直线，可用符号表示为:若b〃c,b，aJ0U

c±a.

(4)判定方法.

①定义

②平行公理的推论.

③同位角相等，两直线平行.

④内错角相等，两直线平行.

⑤同旁内角互补，两直线平行.

⑥垂直于同一条直线的两条直线平行.

4.三角形

(1)三角形的概念.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.组成三角形的线段叫

作三角形的边；相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的

角.

(2)三角形中的主要线段.

①三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫作三角形的角平分线.

②在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫作三角形的中线.

③从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线(简称三角形的高).

(3)三角形的稳定性.三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性.三角形的这个性质在生产

生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状.

(4)三角形的特性与表示.三角形有如下三个特性：

①三角形有三条线段

②三条线段不在同一直线上一三角形是封闭图形.

③首尾顺次相接

三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C的三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABC”.

(5)三角形的分类.

三角形按边的关系分类如下：

.不等边三角形

三角形J(底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

［等边三角形

三角形按角的关系分类如下：

,直角三角形(有一个角为直角的三角形)

三角形斜三角形产角三角形(三个角都是锐角的三角形)

.一I钝角三角形(有一个角为钝角的三角形)

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形，它是两条直角边相等的直角三角形.

(6)三角形的三边关系定理及推论.

①三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.

推论：三角形的两边之差小于第三边.

②三角形三边关系定理及推论的作用：

(a)判断三条已知线段能否组成三角形；

(b)当已知两边时，可确定第三边的范围；

(c)证明线段不等关系.

(7)三角形的角关系.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180。.

推论：

①直角三角形的两个锐角互余；

②三角形的一个外角等于和它不相邻的另两个内角的和；

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

注：在同一个三角形中，等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角.等角的补角相等，等角的余角

相等.

(8)三角形的面积.

三角形的面积=Ix底义高

应用：经常利用两个三角形面积关系求底、高的比例关系或相应的值.

5.全等三角形

⑴三角形全等的判定定理

①边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”).

②角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成角边角”或“ASA”).

③边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”).

(2)直角三角形全等的判定.对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理(斜

边、直角边定理)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”).

(3)全等变换.只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫作全等变换.

全等变换包括以下三种.

①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫作平移变换.

②对称变换：将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫作对称变换.

③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫作旋转变换.

典型例题

例1

已知平面内不重合的两点确定一条直线，则平面上不同的4个点最多可以确定一条直线，n个点可以最多确

定一直线.

解析设不重合的点的个数为n,可以确定的直线数为Sn.

当n=2时,5“=1=空拜

当n=3时,Sn=3=g3

当n=4时,Sn=6=蛉”

当n个点时，

例2

如图所示，在△ABC中,BD=^BC.AE=\AD,SABC=8。62,则S.E为().

A.1cm2B.2cm2

C.3cm2DAcm2

解析本题从表面上无法求解，但可以根据“三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分”.

因为BD=^BCtAE=^AD,

所以S/BO=2^ABCABE=2^ABD，

所以BE~^ABC~2

S/=q2cm.

例3例2图

如图所示，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且.OF=BE

(1)求证:CE=CF.

(2)若点G在AD上，且NGCE=45。,贝！JGE=BE+GD成立吗?为什么？

解析(1)证明:在正方形ABCD中，因为BC二CD,NB二NCDF,BE=DF,所以△CBE^ACDFBC

(SAS),所以CE=CF.例3图

(2)GE=BE+GD成立.

因为由⑴得:△CBE^ACDF,

所以/BCE=/DCF,

所以ZBCE+ZECD=ZDCF+ZECD,BPZECF=ZBCD=90°.

又因为NGCE=45。,

所以/GCF=ZGCE=45°.

因为CE=CF,ZGCE=ZGCF,GC=GC,

所以△ECG^AFCG,

所以GE=GF,

所以GE=DF+GD=BE+GD.

例4

解析A.相交直线的对顶角相等.

B.在平行四边形中对角相等.

C.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以一定有Z2>Z1.

D.如图所示，因为a〃b,

所以N1=N3.

因为N2=/3,

所以/1=/2,故选C.

双基训练

1.下列说法正确的是().

A.线段AB和BA是同一条线段B.数轴是一条射线，因为它有方向

C.射线BA和射线AB是同一条射线D.线段可以无限延伸

2.下面说法中正确的个数是().

(1)平角是一条直线

(2)两边成一直线的角是平角

(3)有一个公共点的两条射线组成的图形叫作角

(4)有公共端点的两条线段组成的图形叫作角

⑸角是一条射线绕它的端点旋转而形成的图像

(6)角是一条线段绕它的一个端点旋转而形成的图形

A.1B.2C,3D.4

3.如图所示，已知B是直线AC上一点/DCB=50。,且DC平分/BCE厕NACE=(

A.80°B.70°

C.60°D.50°

4.如图所示，射线OB平分/AOCQC平分NBOD,则下面结论正确的是().第3题图

(1)ZAOB=ZBOC=ZCOD

(2)ZAOC=ZBOD

(3)ZAOC=2ZCOD

(4)ZCOD=2ZAOB

A.QX2X3)BOX2X4)

C.⑴⑶(4)DOX2X3X4)

5.如果一个角等于它补角的p则这个角的余角为().

A.30°B.45°C.60°D.120°

6如图所示，直线AB与直线CD相交于点O,E是NAOD内一点，已知OE,AB,NBOD=60。贝JNCOE的度数是

A.120°B.130°

C.1400D.150°

第6题图

7.现有长度分别为4cm,6cm,8cm,10cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的数为（）.

A.lB.2C.3D.4

8.如图所示，在△ABC中,NB=30o,NC=70。^AD是NBAC的角平分线，则NADB为（）.

A.110°B.100°C.90°D,80°

9.如图所示，在四边形ABCD中,AB=AD,CD二CB若连接AC,BD相交于O,则图中全等三角形共有（）.

10.如图所示，直线liII12,△ABC的三个顶点分别在直线li,%上，若乙1=110°,Z2=45。,则N3=（）.

A.65°B.60°C.55°D.50°

IL如图所示,△ABE之△ACD,AB=AC,BD=CE,NB=5()o,NAEC=120。,则々DAC的度数等于().

A.120°B.70°C.60°D.50°

12.如图所示,将平行四边形ABCD沿BD对折,使得点C落在点E处，且BE与AD交于O,若NCBD=35。,则NB

OD=().

A.100°B.105°C.110°D.115°

AD

B............................C

第12题图

13.等腰三角形的周长为80cm,以某一边为边作等边三角形，这个等边三角形的周长为90cm,那么这个等腰

三角形的底边长为（）.

A.30cmB.10cmC.60cm或20cmD.30cm或20cm

14如图所示在△ABC中,AB=AC,AD是顶角的平分线,BE=CF,则下列说法错误的是（）.

A.AD平分/EDFB.AEBD^AFCDC.BD=CDD.DE±DF

15.如图所示，在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点M为BC的中点,MNLAC于点N厕MN等于.

ACDB

第16题图

16.如图所示,C为AB上任意一点2DB=CB,若AB=24,AC=16厕CD=

17.如图所示，在△ABC中,AB=AC,CD平分/ACB,NA=40。,则/CDA=

18.如图所示，在RtAABC中,NB4C=90。,点D在BC边上，且△4BD是等边三角形，若力B=2,,贝必ABC的

周长为—.（结果保留根号）

19若△力8c三边长分别为a,b,c满足Va+b-25+|6—a—1|+（c-5尸=。，则△ABC是____.

能力提升

20.如图⑴所示，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△4BC,且乙B=30。，/©=100。,如图⑵所示则

下列说法正确的是（）.

AMD

(1)(2)

第20题图

A.点M在AB上

B.点M在BC的中点处

C.点M在BC上，且距离点B较近,距离点C较远

D.点M在BC上，且距离点C较近,距离点B较远

21.学校、公园、家在平面上分别对应平面上的点为A,B,C,公园在学校的正东方向，家在学校的南偏西2

5。方向.那么/CAB为（）.

A.115°B.155°C.25°D.65°

22.如图所示在△ABC中，若点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，且SABC=16叫峨以BEF的面积是（）.

A.4cm2B.8cm2C.2cm2D.1cm2

第21题图第22题图

23.如图所示，已知△ACE三&DBF,,则下列结论中正确的序号是（）.

(1)NABF=NECD;(2)AE=FD;(3)AB=CD;(4)BC=AE;(5)SAAEC=SADFB

A.⑴⑵⑶B.(l)⑵⑶(4)

C.(l)(2)(3)(5)D.⑴⑵⑶(4)⑸

24.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若/3=50°,则/1+/2=（）.

A.90°B.100°C.130°D.180°

25.如图所示，将书页斜折过去，使角的顶点A落在A处,BC为折痕，BD为/EBA，的角平分线，则NCBD=_

第25题图第26题图

26.如图所示，已知线段AB〃EC,则.乙4+NB+NC+ND+NE+NF=.

27.如图所示,BD是/ABC的平分线,P是BD上一点,PELAB于E,PE=4皿则点P到边BC的距离为cm.

28.如图所示，等边三角形ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD边上的动点,E是AC边上一点，若A

E=2,则EM+CM的最小值为.

29.如图所示，在△4BC中，点D是BC的中点，作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点E,F,连接

CE,BF.添加一个条件，使得△BDF=ACDE,,并加以证明，你添加的条件是___.（不添加辅助线）

拓展资源

30.平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21

条直线，则n的值为（）.

A.5B.6C.7D.8

3L如图所示,D是AC上一点,AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点，且△DEC的面积等于△ABC的一半，求EB.

A

D

第31题图

32.(1)如图⑴所示，在△ABC中..NB4C=90°,AB=AC,,直线m经过点A,BDL直线m,CEl_直线m,垂足分别

为点D,E.证明:DE=BD+CE.

第32题图

⑵如图(2)所示,将⑴中的条件改为在△4BC中,AB=AC,,D,A,E三点都在直线m上,并且有ABDA=AAEC

=4BAC=a,,其中a为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立，请你给出证明；若不成立，

请说明理由.

(3)拓展与应用:如图(3)所示,D,E是D,A,E三点所在直线m上的两动点(D,A,E三点互不重合)，点F为NBAC平

分线上的一点，且△ABF和△4CF均为等边三角形，连接BD,CE,若ABDA=^AEC=N8",试判断△DEF的形状.

33.如图所示，点B在线段AC上点D,E在AC同侧，乙4=NC=90°,BD1BE,AD=BC

(1)求证:AC=AD+CE.

(2)若AD=3,CE=5,点P为线段AB上动点，连接DP作PQ1DP,,交直线BE于点Q.

①当点P与A,B两点不重合，求名的值；

②当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径(线段)长.(直接写出结果，不必写出解

答过程)

第33题图

1-5ACAAA6-10DCACA11-14BCDD

15.yl6.417.105°18.6+2V319.直角三角形

20-24CAACB25.90°26.360°27.428.2V7

29.DE=DF(或CE〃BF或/ECD=NDBE或/DEC=/DFB等)

30.C

31.如图所示，作EF±AC于F,CG±AB于G.

SDEC^DCEF_DC_2SAEC==些=些

SAEC^AC-EFAC3'S^BCAB4'

所以SDFCSAEC=2乂丝=生

SAEC'SABC3