2024年中考数学提高复习讲义：数与式

中考专题复习之数与式

知识梳理

1.实数的有关概念

(1)实数的分类

正整数

整数•零

有理数负整数

实数

产分数

分数

I负分数

无理数一无限不循环小数

实数还可以分为：正实数、零、负实数.

有理数还可以分为：正有理数、零、负有理数.

⑵数轴

数轴是研究实数的重要工具，是在数与式的学习中，实现数形结合的载体，数轴的三要素：原点、正方向和

单位长度，实数与数轴上的点是一一对应的，这种一一对应的关系是数形结合的重要基础.我们还可以利用这种一

一对应关系来比较两个实数的大小.

(3)绝对值

'a(a)O)

绝对值的代数意义：|a|=-0(a=0)

—a(a<0)

绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离.

(4)相反数、倒数

实数a的相反数记为-a,非零实数a的倒数记为：，零没有倒数.

若a,b两个数为互为相反数，则a+b=0.

若m,n两个数互为倒数，则mn=l.

(5)三种非负数：|a|,a2,^(a>0)都表示非负数.

“几个非负数的和(积)仍是非负数”与“几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化

简，求值.

(6)平方根、算术平方根、立方根的概念.

(7)科学计数法、有效数字和近似值的概念.

2.实数的运算

实数的六种运算及整数指数幕的运算是初中学习数学的基本能力，也是后续学习的重要基础.准确的运算有赖

于运算法则、运算顺序和运算律的熟练掌握.

3.和代数式有关的概念及代数式的运算

(1)代数式的分类

(单项式

整式1

小洗个有理式多项式

代数式＜

,分式

.无理式

(2)各类代数式的概念

单项式、多项式、整式、分式、有理式、无理式、根式、二次根式、最简二次根式、同类二次根式.

(3)代数式有意义的条件

分式有意义的条件是分母不为零；

分式的值为零的条件是分母不为零，分子为零.二次根式有意义的条件是被开方数(式)非负，由实际应用中得

到的代数式还要符合实际意义.

(4)代数式的运算

整式的加、减、乘、除运算及添括号、去括号法则.

分式的加、减、乘、除运算及分式的乘方.

二次根式的加、减、乘、除运算及二次根式的分母有理化.

4.代数式的恒等变形

添括号、去括号、拆项是代数式恒等变形的常用方法，乘法公式、因式分解是代数式恒等变形的工具特定系

数法、配方法也都可进行代数式的恒等变形.

5.代数式的化简求值

含有绝对值的代数式的化简，通常可利用数轴的直观性；整式的化简求值常常要灵活运用配方法、换元法、

整体代换思想和构造思想；分式的化简求值一般可对分子、分母的多项式因式分解、约分，再运用分式的性质化

简计算；二次根式的化简求值一般应先考虑能否利用二次根式的性质、配方法、乘法公式等化简计算.

典型例题

例1

已知|a—1|+”+6=0,,则a-b=.

解析因为乐13,.且V7TT>0,

所以若\a-l\+V7Tb=0,只有|a-l|=0,且V7TT=0,

所以a=l,且b—7,

所以a-b=l—(-7)=8.

例2

如果3久2n-iym与一是同类项，则m和n的值分别为().

A.3和-2B.-3和2C.3和2D.-3和-2

解析因为3/nTym与一5久，3是同类项，所以由同类项的概念是所对应字母的次数相同，即？所

以［二。，故选C.

例3

计算：(一1)2。20x(J)2+(sin98°-^)°+|V3-2sin600

解析先分别根据0指数幕、负整数指数幕、有理数乘方的法则及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实

数混合运算的法则进行计算即可.

原式=1x4+1+|V3—2x，|

=4+1+|V3—V3|

二5

例4

先化简，再求值：(等-三)十小一,其中X是不等式组，的整数解.解析首先把式子进行整理

\x2-lx-1/X2-2X+1i2x+5<1

化简，得出原式最简单的形式，再将X的值代入其中求解，需要注意的是在化简过程中公因式的问题.

/3%+42\.x+2_3x+4-2(x+l)(x-1)2

\x2-lx-1)，X2-2X+1-(x+l)(x-l)x+2

_%+2X(%-1-

(x+l)(x-l)x+2

_x-1

x+1

因为｛,%+4>0

2%+5V1'

所以fX>—4

I-.X<-2'

所以不等式的解集为-4<x<-2.

因为x是不等式组的整式解,

所以x=-3.

原式=言=葺1=2.

双基训练

1.某次物理课测温度，温度从-4℃上升4℃后是().

A.-4℃B.4℃C.8℃D.0℃

2.如果把分式篝扩大为原来的4倍，那么分式的值是().

A.扩大为原来的4倍B.缩小为原来的4倍

C.扩大为原来的16倍D.不变

3.已知两个有理数和为负数，则这两个有理数().

A.均为负数B.均不为零C.至少有一正数D.至少有一负数

4.若(a—I/+g+2|=0,则a+b的值为().

A.-1B.OC.lD.2

5.若空在实数范围内有意义，则x的取值范围是().

A.x>-3B.x<-3

C.xN-3,且x^-1D.x>-3,且xr-l

6.下面各式中正确的是（）.

A.a2=（-a）2B,a3=（-a）3C.-a2=\—a2\D.a3=\a3\

7.当x=4时，分式上会没有意义，则m的值为（）.

x+4+m

A.4B.-4C.8D.-8

8.世界文化遗产长城总长约为6700000m,若将6700000用科学计数法表示为（6.7X10,n（n为正整数），则n的值

为（）.

A.5B.6C.7D.8

9.-2015的倒数为（）.

A.一一—B.—C.2015D.-2015

20152015

10.四个数-5,-0.1,中为无理数的是（）.

1

A.-5B.-0.1C.-D.V3

2

11.估计息的值（）.

A.在2和3之间B.在3和4之间

C.在4和5之间D.在5和6之间

12.计算的正确结果是（）.

A.-B.C.-江V

556

13.分式方程的根是（）.

A.x=lB.x=-lC.x=2D.x=-2

14.若（（％-7）2+|y+8|=0,则（%+y）2°i5的值为（）.

A.-1B.OC.1D.2

15.把/+9%+c因式分解得：x?+9x+c=（x+4）（x+5）厕c的值为（）.

A.-20B.9C.-9D.20

16.小红要到距家1600米的学校上学，某一天小红出发20分钟后，小红的爸爸立即去追小红，并且在距离学

校60米的地方追上了她.已知爸爸比小红的速度快100米/分，求小红的速度.若设小红的速度是x米/分，则根据题

意所列方程正确的是（）.

.15401540r

A.----------------=2=^^+20

x+100xxx+100

万15401540r^1540J540

C.--------=2=+20

x-100xxx-100

17.计算—8/+11/的计算结果是（）.

A.-3x2B.3x2C.19x2D.-19%2

18.若x+y=3,xy=9,贝%2+y2的值为（）.

A.9B.—9C.18D.-18

19.若同是正整数，则正整数n的最小值为（）.

A.2B.3C.4D.5

20.若nN9,则.，（9一九）2=（）.

A.9-nB.n-9C.9+nD.-9-n

能力提升

21.设边长为4的正方形其对角线为a,下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来

表示；③4<a<6；④a是32的算术平均数.其中，所有正确的说法的序号是（）.

A.①④B.②③C.①②④D.①③④

22.在数轴上，点A（表示整数a）在原点的左侧，点B（表示整数b）在原点的右侧.若|a-b|=2016,且AO=2BO,则a+

b的值为（）.

A.-672B.672C.671D.-671

23.已知-4xay+x2yb=—3/y,则a+b的值为（）.

A.lB.2C.3D.4

24.已知m2—n2=—n=则m+n的值为（）.

11

4一士B.-C.lD.2

44

25.已知x>3,则7x2一6%+9的化简结果为____.

26.i-i=3,则代数式2X-1：砂-2y的值为

xyx-2xy-y~

27.已知m2—m=6,贝lj5—4m2+4m=

28.已知一个正数的两个平方根分别是2a-2和a-4,则该整数是—.

29.已知5+言=。厕署的值为.

|a|\b\\ab\~

30.分解因式9一6y-+y=

拓展资源

31.如图所示，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FKiK2K3K4K5K6K7…叫作“正六边形的渐开线”,

其中FKMK2,K2K3,K3K4,K4KS…的圆心依次按点A,B,C,D,E,F循环,其弧长分别记为h,12,13,14…当A

B=1时,12011等于().

A20117T20117T

A.---------LJ>

23

C20117TD20117T

,4.6

第31题图

32.如图所示，设k=（a）b>0）,则有（）.

第32题图

33.计算（1-泊卜3x（打抖3+抖W1义©+升3+3

6.

34.计算:我一（3.14—兀）°—3cos45°+Q）”.

35.先化简，再求值:.+G-3,其中x=V8+V7,y=V8-V7.

1-5DADAC6-10ADBAD11-15CDDAD16-20BBBDB

21-24CACB25.x-326.427.-1928.4或36

29.-13O,(y-3-x)(y-3+x)

31.B提示:可以发现规律，每段弧的度数