2024-2025学年新教材高中数学第9章解三角形9.2正弦定理与余弦定理的应用9.3数学探究活动教案新人教B版必修第四册

PAGE1-9.2正弦定理与余弦定理的应用9.3数学探究活动：得到不行达两点之间的距离学习目标核心素养1.了解实际问题中所涉及的名词和一些术语，能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)2．能够用正、余弦定理等学问和方法求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(重点)1.通过应用正、余弦定理求距离、高度、角度问题，培育直观想象、数学运算素养．2．借助将实际问题转化为解三角形问题，培育数学建模素养.在实地测量工作中，常常遇到一些不便于干脆测量的情形．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部)．在地面上的两点A，B测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝50米．思索：你能给出一种计算博物馆正门柱楼顶部点P离地面的高度(即OP的长)的计算方法吗？1．实际测量中的有关名词、术语名称定义图示基线在测量上，依据测量须要适当确定的线段叫做基线铅垂平面与地面垂直的平面坡角坡面与水平面的夹角α为坡角坡比坡面的垂直高度与水平宽度之比坡比：i＝eq\f(h,l)仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角2．方位角从指北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示)．方位角的取值范围：0°～360°.3．方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边． ()(2)两个不行到达的点之间的距离无法求得． ()(3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°． ()(4)如图所示，该角可以说成北偏东110°. ()[提示](1)×.因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边．(2)×.两个不行到达的点之间的距离我们可以借助余弦定理求得．(3)×.若P在Q的北偏东44°，则Q在P的南偏西44°.(4)×.题图中所标角应为方位角，可以说成点A的方位角为110°.[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．已知两座建筑A，B与规划测量点C的距离相等，A在C的北偏东40°，B在C的南偏东60°，则A在B的()A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°B[因为△ABC为等腰三角形，所以∠CBA＝eq\f(1,2)(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°.即北偏西10°.]3．某人从A处动身、沿北偏西60°行走2eq\r(3)km到达B处，再沿正东方向行走2km到达C处，则A，C两地的距离为________km.2[如图所示，∠ABC＝30°，又AB＝2eq\r(3)，BC＝2，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC＝12＋4－2×2eq\r(3)×2×eq\f(\r(3),2)＝4，AC＝2，所以A，C两地的距离为2km.]4．在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，求A，C两点之间的距离．[解]如图所示，∵∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，又AB＝2，∴由正弦定理eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sin∠CBA)，得eq\f(2,\f(\r(2),2))＝eq\f(AC,\f(\r(3),2))，解得AC＝eq\r(6)，即A，C两点之间的距离为eq\r(6)千米.测量距离问题【例1】要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距eq\r(3)km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离．[思路探究]将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形．[解]如图所示，在△ACD中，∠ACD＝75°+45°＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3)km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝45°+30°＝75°，刚∠CBD＝60°.∴BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))eq\s\UP12(2)－2×eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×cos75°＝3＋2＋eq\r(3)－eq\r(3)＝5，∴AB＝eq\r(5)(km)，∴A，B之间的距离为eq\r(5)km.三角形中与距离有关的问题的求解策略(1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则干脆利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要依据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还须要求出哪些元素，敏捷应用正、余弦定理来解决．eq\o([跟进训练])1．如图，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点观测灯塔A的方位角为65°.问货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？[解]在△ABC中，BC＝40×eq\f(1,2)＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，故∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理得AC＝eq\f(BC·sin∠ABC,sinA)＝eq\f(20×sin30°,sin45°)＝10eq\r(2)(km)．答：货轮到达C点时，与灯塔A的距离是10eq\测量高度问题【例2】如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是C点到水平面的垂足，求山高CD.[解]由于D点为C点到水平面的垂足，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m)．即山高CD为800(eq\r(3)＋1)m.解决测量高度问题的一般步骤(1)画图：依据已知条件画出示意图．(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形．(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何学问与平面几何学问，留意方程思想的运用．eq\o([跟进训练])2．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，则电视塔的高度是()A．100eq\r(2)mB．400mC．200eq\r(3)mD．500mD[由题意画出示意图，设塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知得BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知得BD＝eq\r(3)hm，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m)，负值舍去．]测量角度问题【例3】甲船在A处视察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船速度的eq\r(3)倍，问甲船应沿什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？[解]设甲船沿直线AC与乙船同时到达C点，则A，B，C三点构成△ABC，如图．设乙船速度为v海里/时，则甲船速度为eq\r(3)v海里/时，用时为th.由题意得BC＝vt，AC＝eq\r(3)vt，∠ABC＝120°.由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，∴3v2t2＝a2＋v2t2＋avt，∴2v2t2－avt－a2＝0，解得vt＝－eq\f(a,2)(舍去)或vt＝a，∴BC＝a海里．在△ABC中，AB＝BC＝a海里，∴∠BAC＝∠ACB＝30°.故甲船应沿北偏东30°的方向前进才能在最短时间内追上乙船，此时乙船行驶了a海里．测量角度问题画示意图的基本步骤eq\o([跟进训练])3．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心马上把消息告知在其南偏西30°，相距20nmile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为________．eq\f(\r(21),14)[在△ABC中，AC＝20，AB＝40，∠CAB＝120°，由余弦定理，得BC2＝202＋402－2×20×40×cos120°＝2800，∴BC＝20eq\r(7)，∴cos∠ACB＝eq\f(202＋20\r(7)2－402,2×20×20\r(7))＝eq\f(2\r(7),7)，∴sin∠ACB＝eq\f(\r(21),7).由题意，得θ＝30°＋∠ACB，∴cosθ＝cos(30°＋∠ACB)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(2\r(7),7)－eq\f(1,2)×eq\f(\r(21),7)＝eq\f(\r(21),14).]求解速度问题[探究问题]1．某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是50°，距离是4km；从B到C，方位角是80°，距离是8km；从C到D，方位角是150°，距离是6km，试画出示意图．[提示]如图所示：2．在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路干脆从A到C，则此人的速度至少是多少km/h？[提示]如探究1图，在△ABC中，∠ABC＝50°＋(180°－80°)＝150°，由余弦定理得AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos150°)＝eq\r(80＋32\r(3))，则此人的最小速度为v＝eq\f(\r(80＋32\r(3)),\f(1,2))＝8eq\r(5＋2\r(3))(km/h)．3．在探究1中若投递员以24km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以16eq\r(7)km/h的速度沿小路干脆由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？[提示]投递员到达C点的时间为t1＝eq\f(4＋8,24)＝eq\f(1,2)(小时)＝30(分钟)，追投递员的人所用时间由探究2可知t2＝eq\f(4\r(5＋2\r(3)),16\r(7))≈0.275小时＝16.5分钟．由于30＞16.5＋10，所以此人在C点能与投递员相遇．【例4】如图所示，一辆汽车从O点动身沿一条直线马路以50公里/时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车动身点O的距离为5公里、距离马路途的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车动身想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？[思路探究]依据已知图形构造三角形，利用余弦定理建立速度与时间的函数求解．[解]作MI垂直马路所在直线于点I，则MI＝3，∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝eq\f(4,5).设骑摩托车的人的速度为v公里/时，追上汽车的时间为t小时，由余弦定理得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×eq\f(4,5)，即v2＝eq\f(25,t2)－eq\f(400,t)＋2500＝25eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－8))eq\s\UP12(2)＋900≥900，∴当t＝eq\f(1,8)时，v取得最小值为30，∴其行驶距离为vt＝eq\f(30,8)＝eq\f(15,4)(公里)．故骑摩托车的人至少以30公里/时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了eq\f(15,4)公里．解决实际问题应留意的问题(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再依据题意画出正确的示意图，这是最关键、最主要的一步．(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确运用正、余弦定理解决问题．eq\o([跟进训练])4．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向上，且与它相距8eq\r(2)海里，之后它接着沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，则此船的航行速度为()A．8(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/时 B．8(eq\r(6)－eq\r(2))海里/时C．16(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/时 D．16(eq\r(6)－eq\r(2))海里/时D[如图，由题意得，在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝75°－30°＝45°.由正弦定理得eq\f(SA,sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，即eq\f(8\r(2),sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，得AB＝8(eq\r(6)－eq\r(2))海里，因此该船的航行速度为eq\f(8\r(6)－\r(2),\f(1,2))＝16(eq\r(6)－eq\r(2))(海里/时)．]方案设计问题【例5】如图，要测量山顶上的电视塔FG的高度，已知山的西面有一栋楼AC(该楼的高度低于山的高度)．试设计在楼AC上测山顶电视塔高度的测量、计算方案．[解]设在楼顶C看塔顶、塔底的仰角分别是α、β，从楼顶下B点看塔底的仰角为γ，测出BC＝h.如图，在△BCF中，BC＝h，∠CBF＝eq\f(π,2)－γ，∠BCF＝eq\f(π,2)＋β，∠BFC＝γ－β.由正弦定理，得eq\f(BF,sin∠BCF)＝eq\f(BC,sin∠BFC)，即eq\f(BF,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β)))＝eq\f(h,sinγ－β)，所以BF＝eq\f(hcosβ,sinγ－β).在Rt△BEF中，有BE＝BFcosγ＝eq\f(hcosβcosγ,sinγ－β).在Rt△CGM中，CM＝BE，∠GCM＝α，则MG＝CMtanα＝eq\f(hcosβcosγtanα,sinγ－β).在Rt△CFM中，CM＝BE，∠FCM＝β，则MF＝CMtanβ＝eq\f(hcosβcosγtanβ,sinγ－β)＝eq\f(hcosγsinβ,sinγ－β).从而电视塔的高FG＝MG－MF＝eq\f(hcosγcosβtanα－sinβ,sinγ－β).方案设计问题的一般思路(1)明确目标，读题并画出图形，明确所求元素及其所在的三角形；(2)依据定理分析元素，在相应的三角形中依据正弦定理或余弦定理分析所须要的元素，再确定哪些可求；(3)确定方案，依据分析，将确定要测量的量代入求解，得到结论．eq\o([跟进训练])5．某中学校内内有一个“湖泊”，湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，若设音乐教室在A处，图书馆在B处，为测量A，B两地之间的距离，某同学选定了与A，B不共线的C处，构成△ABC，以下是测量的数据的不同方案：①测量∠A，AC，BC；②测量∠A，∠B，BC；③测量∠C，AC，BC；④测量∠A，∠C，∠B.其中肯定能唯一确定A，B两地之间的距离的全部方案的序号是________．②③[①测量∠A，AC，BC，已知两边及对角，由正弦定理可知，三角形可能有2个解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；②测量∠A，∠B，BC，已知两角及一边，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离；③测量∠C，AC，BC，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离；④测量∠A，∠C，∠B，知道三个角度值，三角形有多数多组解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离．综上，肯定能唯一确定A，B两地之间的距离的全部方案的序号是②③.]学问：1．测量距离问题包括两种状况(1)测量一个可到达点到另一个不行到达点之间的距离．(2)测量两个不行到达点之间的距离．第一种状况事实上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于其次种状况，首先把求不行到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不行到达的点之间的距离问题(如图2)．图1图22．测量底部不行到达的建筑物的高度问题．由于底部不行到达，这类问题不能干脆用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．3．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最终将解得的结果转化为实际问题的解．方法：运用正、余弦定理解决实际问题的基本步骤(1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)．(2)建模：依据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型．(3)求解：利用正、余弦定理解三角形，求得数学模型的解．(4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解．1.如图所示，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较相宜的是()A．a，c，αB．b，c，αC．c，a，βD．b，α，γD[由α，γ可求出β，由α，β，b，可利用正弦定理求出BC.故选D.]2．台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危急区，城市B在A的正东40km处，B城市处于危急区内的时间为()A．0.5hB．1hC．1.5hD．2hB[设台风中心移动th，城市B处在危急区，