2024-2025学年新教材高中数学第五章统计与概率5.1.4用样本估计总体训练含解析新人教B版必修第二册

PAGE1-第五章5.15.1.4请同学们仔细完成[练案16]A级基础巩固一、选择题1．在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法正确的是(C)A．总体容量越大，估计越精确 B．总体容量越小，估计越精确C．样本容量越大，估计越精确 D．样本容量越小，估计越精确[解析]因为用样本估计总体分布的过程中，估计是否精确与总体的数量大小无关，只与样本容量在整体中占的比例有关，所以，样本容量越大，估计越精确，综合所述，故选C．2．某班的全体学生参与英语测试，成果的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)、[40,60)、[60,80)、[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(B)A．45 B．50C．55 D．60[解析]依据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是eq\f(15,0.3)＝50．3．下图是1,2两组各7名同学体重(单位：千克)数据的茎叶图．设1,2两组数据的平均数依次为eq\o(x,\s\up6(－))1和eq\o(x,\s\up6(－))2，标准差依次为s1和s2，那么(A)A．eq\o(x,\s\up6(－))1＜eq\o(x,\s\up6(－))2，s1＜s2 B．eq\o(x,\s\up6(－))1＜eq\o(x,\s\up6(－))2，s1＞s2C．eq\o(x,\s\up6(－))1＞eq\o(x,\s\up6(－))2，s1＞s2 D．eq\o(x,\s\up6(－))1＞eq\o(x,\s\up6(－))2，s1＜s2[解析]依题意eq\o(x,\s\up6(－))1＝eq\f(53＋56＋57＋58＋61＋70＋72,7)＝61，s1≈6.72，eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\f(54＋56＋58＋60＋61＋72＋73,7)＝62，s2≈6.99.故eq\o(x,\s\up6(－))1＜eq\o(x,\s\up6(－))2，s1＜s2，故选A．4．某同学10次测评成果的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则4x＋2y的值是(A)022341xy99201A．12 B．14C．16 D．18[解析]由题意知，因为中位数为12，所以eq\f(x＋y,2)＝2，即x＋y＝4．数据的平均数为eq\f(1,10)(2＋2＋3＋4＋x＋y＋20＋19＋19＋20＋21)＝11.4，因为(10＋x－11.4)2＋(10＋y－11.4)2＝(x－1.4)2＋(y－1.4)2≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y－2.8,2)))2＝0.72，当且仅当x－1.4＝y－1.4，即x＝y＝2时，取等号，此时总体标准差最小，所以4x＋2y＝12，故选A．5．(多选题)某班进行了一次数学测试，全班学生的成果都落在区间[50,100]内，其成果的频率分布直方图如图所示，则该班学生这次数学测试成果的中位数和众数的估计值为(CD)A．81.5 B．75C．81.25 D．85[解析]因为(0.005＋0.015＋0.025)×10＝0.45＜0.5，(0.005＋0.015＋0.025＋0.040)×10＝0.85＞0.5，所以该班学生这次数学测试成果的中位数落在[80,90)之间．设中位数为x，因为(0.005＋0.015＋0.025)×10＋0.04×(x－80)＝0.5，所以所求中位数为x＝81.25.众数在[80,90)之间，为85.故选CD．二、填空题6．某校学生在一次数学考试中的成果分布如下表：分数段[0,80)[80,90)[90,100)[100,110)人数2568分数段[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]人数12642那么分数在[100,110)内的频数为__8__，频率为__0.18__.(精确到0.01)[解析]由题目可知分数在[100,110)内的频数为8，样本容量为2＋5＋6＋8＋12＋6＋4＋2＝45，故频率为eq\f(8,45)≈0.18．7．某中学为了解学生数学课程的学习状况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成果，得到了样本的频率分布直方图(如图)．依据频率分布直方图推想这3000名学生在该次数学考试中成果小于60分的学生数是__600__．[解析]本题考查了统计中的频率分布直方图等有关学问．成果小于60分的学生频率为：(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2故3000名学生中小于60分的学生数为：3000×0.2＝600．8．某学校想要调查全校同学是否知道迄今为止获得过诺贝尔物理学奖的6位华人的姓名，为此出了一份考卷．该卷共有六道单选题，每题答对得20分，答错、不答得0分，满分120分．阅卷完毕后，校方公布每题答对率如下：题号一二三四五六答对率80%70%60%50%40%30%则此次调查全体同学的平均分数是__66__分．[解析]假设全校一共有x人，则每道题答对人数及总分分别为：题号一二三四五六答对人数0.8x0.7x0.6x0.5x0.4x0.3x每题得分16x14x12x10x8x6x∴6道题的总分为66x，平均分为eq\f(66x,x)＝66．三、解答题9．对划船运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(m/s)的数据如下：甲：28,39,32,35,34,30；乙：34,30,37,33,31,33．依据以上数据，试推断他们谁更优秀．[解析]这明显是要计算两组数据的eq\x\to(x)与s2，然后加以比较并作出推断．eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,6)(28＋39＋32＋35＋34＋30)＝33，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(28－33)2＋(39－33)2＋…＋(30－33)2]＝eq\f(38,3)；eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,6)(34＋30＋37＋33＋31＋33)＝33，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(34－33)2＋(30－33)2＋…＋(33－33)2]＝5．∴eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，但seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙).说明甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀．10．某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的政治成果(均为整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]后得到如下频率分布直方图．(1)依据频率分布直方图，分别求a，众数，中位数；(2)估计该校高二年级学生期中考试政治成果的平均分；(3)用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则在[70,90)分数段抽取的人数是多少？[解析](1)由题意可得，(0.01＋0.015×2＋a＋0.025＋0.005)×10＝1，解得a＝0.03．依据频率分布直方图可知[70,80)分数段的频率最高，因此众数为75．又由频率分布直方图可知[40,70)分数段的频率为0.1＋0.15＋0.15＝0.4，因为[70,80)分数段的频率为0.3，所以，中位数为70＋eq\f(1,3)×10＝eq\f(220,3)．(2)估计该校高二年级学生政治成果的平均分为(45×0.01＋55×0.015＋65×0.015＋75×0.03＋85×0.025＋95×0.005)×10＝71．(3)因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为eq\f(20,60)＝eq\f(1,3)．又在[70,90)分数段共有60×(0.3＋0.25)＝33(人)，因此，在[70,90)分数段抽取的人数是33×eq\f(1,3)＝11．B级素养提升一、选择题1．(多选题)在某次中学学科竞赛中，4000名考生的参赛成果统计如图所示，60分以下视为不及格．若同一组中数据用该组区间中点作为代表，则下列说法中正确的是(ABC)A．成果在[70,80)分的考生人数最多B．不及格的考生人数为1000C．考生竞赛成果的平均分约70.5分D．考生竞赛成果的中位数为75分[解析]A选项，由频率分布直方图可得，成果在[70,80)的频率最高，因此考生人数最多；B选项，由频率分布直方图可得，成果在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为4000×0.25＝1000；C选项，由频率分布直方图可得，平均分等于45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)；D选项，因为成果在[40,70)的频率为0.45，在[70,80)的频率为0.3，所以中位数为70＋10×eq\f(0.05,0.3)≈71.67(分)．故选ABC．2．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60m；从南方抽取了200个男孩，平均身高1.5m，由此可推断我国13岁的男孩平均身高为(C)A．1.54m B．1.55mC．1.56m D．1.57m[解析]eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(300×1.6＋200×1.5,300＋200)＝1.56.故选C．3．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成果的平均数、众数、中位数分别为(C)A．85,85,85 B．87,85,86C．87,85,85 D．87,85,90[解析]平均数＝eq\f(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75,10)＝87分，众数为85，中位数为85.故选C．4．为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中依据茎叶图能得到的统计结论的编号为(B)A．①③ B．①④C．②③ D．②④[解析]甲地数据为：26,28,29,31,31；乙地数据为：28,29,30,31,32；所以，eq\x\to(x)甲＝eq\f(26＋28＋29＋31＋31,5)＝29，eq\x\to(x)乙＝eq\f(28＋29＋30＋31＋32,5)＝30，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2，即正确的有①④，故选B．二、填空题5．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5]，3．依据样本的频率分布估计数据落在[31.5,43.5]的概率约是__eq\f(1,3)__．[解析]由已知，样本容量为66，而落在[31.5,43.5]内的样本数为12＋7＋3＝22，故所求的概率为eq\f(22,66)＝eq\f(1,3)．6．为了调查某厂工人生产某种产品的实力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则：(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是__13__．(2)这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为__62.5__．(3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数为__64__．[解析](1)(0.04×10＋0.025×10)×20＝13(人)．(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5．(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64．三、解答题7．某体校为了备战明年四月份省划艇单人双桨竞赛，对本校甲、乙两名划艇运动员在相同条件下进行了6次测试，测得他们划艇最大速度(单位：m/s)数据如下．甲：27,38,30,37,35,31．乙：33,29,38,34,28,36．(1)试用茎叶图表示甲、乙两名运动员测试的成果；(2)依据测试的成果，你认为派哪名运动员参与明年四月份的省划艇单人双桨竞赛比较合适？并说明你的理由．[解析](1)用茎叶图表示甲、乙两名运动员测试的成果如下.甲乙72898751033468(2)甲的平均数eq\o(x,\s\up6(－))1＝eq\f(1,6)(27＋30＋31＋35＋37＋38)＝33，乙的平均数eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\f(1,6)(28＋29＋33＋34＋36＋38)＝33，甲的方差seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,6)[(27－33)2＋(30－33)2＋(31－33)2＋(35－33)2＋(