2024-2025学年新教材高中数学第7章三角函数课时分层作业39函数y＝Asinωx＋φ的图象含解析苏教版必修第一册

PAGE1-课时分层作业(三十九)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数y＝cosx图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cosωx，则ω的值为()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．2D．－2A[y＝cosxeq\o(→,\s\up14(横坐标变为原来的2倍),\s\do7(纵坐标不变))y＝coseq\f(1,2)x．]2．将函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))向右平移得到y＝sinx的图象，则平移的单位数是()A．eq\f(4π,3)B．eq\f(2π,3)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,6)D[y＝sinx＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))，y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的图象变换为y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))的图象应向右平移eq\f(π,6)个单位．]3．用“五点法”画函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)在一个周期内的简图时，五个关键点是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)π，－2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0))，则ω＝()A．eq\f(1,2)B．2C．eq\f(1,3)D．3B[周期T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，∴eq\f(2π,ω)＝π，ω＝2．]4．函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,6)))的相位和初相分别是()A．－x＋eq\f(π,6)eq\f(π,6) B．x＋eq\f(π,6)eq\f(π,6)C．x－eq\f(5π,6)－eq\f(5π,6) D．x＋eq\f(5π,6)eq\f(5π,6)D[y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,6)))化为y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,6)))，相位x＋eq\f(5π,6)，初相eq\f(5π,6)．]5．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象上全部的点向左平移eq\f(π,2)个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值不行能等于()A．4B．6CB[将函数f(x)的图象向左平移eq\f(π,2)个单位，若所得图象与原图象重合，则eq\f(π,2)是已知函数周期的整数倍，所以eq\f(2nπ,ω)＝eq\f(π,2)(n∈N*)，所以ω＝4n(n∈N*)，故A、C、D正确，故选B．]二、填空题6．将y＝cos2x的图象向右平移eq\f(π,3)个单位，得到的图象对应的解析式为________．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))[y＝cos2x→y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))．]7．将函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移eq\f(π,3)个单位，得到的图象对应的解析式是________．8．将函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移eq\f(π,2)个单位，得到的曲线与y＝eq\f(1,2)sinx的图象相同，则y＝f(x)的函数表达式为________．y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))[依据题意，y＝eq\f(1,2)sinx的图象沿x轴向右平移eq\f(π,2)个单位后得到y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))，再将此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，得到y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))，此即y＝f(x)的解析式．]三、解答题9．已知f(x)＝2sin2x，将函数y＝f(x)的图象向左平移eq\f(π,6)个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a＜b)满意：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个根，在全部满意上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．[解]f(x)＝2sin2x，g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))＋1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋1．g(x)＝0⇒sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,2)⇒x＝kπ－eq\f(π,4)或x＝kπ＋eq\f(5,12)π，k∈Z，即g(x)的根相邻间隔依次为eq\f(π,3)和eq\f(2π,3)，故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个根，则b－a的最小值为14×eq\f(2π,3)＋15×eq\f(π,3)＝eq\f(43π,3)．10．已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))(x∈R)．(1)求f(x)的单调减区间；(2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)[解](1)由已知函数化为y＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))．欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的单调递增区间．由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5,12)π(k∈Z)，∴原函数的单调减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5,12)π))(k∈Z)．(2)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))．∵y＝cos2x是偶函数，图象关于y轴对称，∴只需把y＝f(x)的图象向右平移eq\f(π,12)个单位长度即可．1．(多选题)将函数f(x)＝3sinx的图象先向右平移eq\f(π,3)个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的eq\f(1,2)倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的()A．周期是πB．增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)C．图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))对称D．图象关于直线x＝eq\f(2π,3)对称ABC[将函数f(x)＝3sinx的图象先向右平移eq\f(π,3)个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的eq\f(1,2)倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，对于选项A，函数g(x)的周期为eq\f(2π,2)＝π，即A正确；对于选项B，令2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，即kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5π,12)，即函数g(x)的增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)，即B正确；对于选项C，令2x－eq\f(π,3)＝kπ，解得：x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)，即函数g(x)的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)＋\f(π,6)，0))，即C正确；对于选项D，令2x－eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)，则x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(5π,12)，即函数g(x)的对称轴方程为x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(5π,12)，k∈Z，即选项D错误．综上可得选项A，B，C正确，故选ABC．]2．把函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4π,3)))的图象向右平移φ个单位长度，所得到的图象正好关于y轴对称，则φ的最小正值是()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)C[将y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4π,3)))的图象向右平移φ个单位长度，得y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－φ＋\f(4π,3)))的图象，∵y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－φ＋\f(4π,3)))的图象关于y轴对称，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－φ＋\f(4π,3)))＝±1．∴φ－eq\f(4π,3)＝kπ，k∈Z．当k＝－1时，φ取得最小正值eq\f(π,3)．]3．若ω>0，函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))的图象向右平移eq\f(π,3)个单位长度后与函数y＝sinωx的图象重合，则ω的最小值为________．eq\f(5,2)[将函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))的图象向右平移eq\f(π,3)个单位长度，得到函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(ωπ,3)＋\f(π,3)))的图象．因为所得函数图象与函数y＝sinωx的图象重合，所以－eq\f(ωπ,3)＋eq\f(π,3)＝eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝－eq\f(7,2)－6k(k∈Z)，因为ω>0，所以当k＝－1时，ω取得最小值eq\f(5,2)．]4．将函数f(x)的图象向右平移eq\f(π,3)个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,4)))的图象，则f(x)＝________．2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(13π,12)))－1[将y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,4)))的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度，得函数y＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－\f(π,4)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(13π,12)))的图象，再向下平