2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.1函数的零点与方程的解课时素养评价含解析新人教A版必修第一册

PAGE9-函数的零点与方程的解(15分钟35分)1.若函数f(x)的图象是一条连绵不断的曲线，且f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，则y=f(x)有唯一零点需满意的条件是 ()A.f(3)<0B.函数f(x)在定义域内是增函数C.f(3)>0D.函数f(x)在定义域内是减函数【解析】选D.因为f(1)>0，f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1，2)上肯定有零点.若要保证只有一个零点，则函数f(x)在定义域内必需是减函数.2.已知函数f(x)=mx+1的零点在区间(1，2)内，则m的取值范围是 ()【解析】选B.依据题意，函数f(x)=mx+1，当m=0时，f(x)=1，没有零点，当m≠0时，f(x)为单调函数，若其在区间(1，2)内存在零点，必有f(1)f(2)<0，即(m+1)(2m+1)<0，解可得：-1<m<-QUOTE，即m的取值范围为QUOTE.3.(2024·杭州高一检测)函数y=QUOTElnx+x-2的零点所在的区间是 ()A.QUOTE B.(1，2)C.(e，3) D.(2，e)【解析】选B.因为函数的定义域为(0，+∞)，是单调增函数，又f(1)=0-1<0，f(2)=QUOTEln2>0，故有f(1)·f(2)<0，所以函数零点所在区间是(1，2).【补偿训练】方程lnx+x-4=0的实根所在的区间为 ()A.(1，2) B.(2，3)C.(3，4) D.(4，5)【解析】选B.令f(x)=lnx+x-4，在定义域上连续且单调递增，f(3)=ln3+3-4=ln3-1>0，f(2)=ln2+2-4=ln2-2<0，故f(2)f(3)<0，故实根所在区间是(2，3).4.已知函数f(x)=2x+x-8，若f(x0)=0，则 ()A.0<x0<1 B.1<x0<2C.2<x0<3 D.3<x0<4【解析】选C.函数f(x)=2x+x-8，函数是增函数，f(2)=4+2-8=-2<0，f(3)=8+3-8=3>0，f(2)f(3)<0，函数的零点在区间(2，3)内，若f(x0)=0，则2<x0<3.5.若函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3，则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是_______.

【解析】因为函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3，所以QUOTE即QUOTE所以g(x)=6x2-5x-1，所以g(x)的零点为1和-QUOTE.答案：1和-QUOTE6.已知函数f(x)=QUOTE(1)在如图所示的坐标系中，作出函数f(x)的图象并写出单调区间.(2)若f(a)=2，求实数a的值.(3)当m为何值时，f(x)+m=0有三个不同的零点.【解析】(1)函数图象如图，由图可知，函数的减区间为QUOTE；增区间为QUOTE，(1，+∞).(2)由f(a)=2，得a2-a=2(a≤1)或log2(a-1)=2(a>1).解得a=-1或a=5.(3)由图可知要使f(x)+m=0有三个不同的零点，则-QUOTE<-m≤0，解得0≤m<QUOTE.【补偿训练】(2024·普宁高一检测)已知a>0，函数f(x)=QUOTE，(x∈R).(1)证明：f(x)是奇函数.(2)假如方程f(x)=1只有一个实数解，求a的值.【解析】(1)由函数f(x)=QUOTE(x∈R)，可得定义域为R，且f(-x)=-QUOTE=-f(x)，所以f(x)为奇函数.(2)方程f(x)=1只有一个实数解，即为x2-ax+1=0，即Δ=a2-4=0，解得a=2(-2舍去)，所以a的值为2.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.(2024·十堰高一检测)若点(log147，log1456)在函数f(x)=kx+3的图象上，则f(x)的零点为 ()A.1 B.QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】选D.依据题意，点(log147，log1456)在函数f(x)=kx+3的图象上，则log1456=k×log147+3，解得k=-2，则f(x)=-2x+3，若f(x)=0，则x=QUOTE，即f(x)的零点为QUOTE.2.(2024·烟台高一检测)已知f(x)=(x-a)(x-b)-2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是 ()A.a<α<b<β B.a<α<β<bC.α<a<b<β D.α<a<β<b【解析】选C.因为α，β是函数f(x)的两个零点，所以f(α)=f(β)=0.又f(a)=f(b)=-2<0，结合二次函数的图象(如图所示)可知a，b必在α，β之间.3.已知函数f(x)=QUOTE若函数y=f(x)+2x+a有两个零点，则实数a的取值范围是 ()A.(1，2] B.[-2，-1)C.[2，4] D.[-4，-2)【解析】选D.因为函数y=f(x)+2x+a有两个零点，所以直线y=-2x-a与y=f(x)的图象有两个零点，作出y=f(x)的图象如图所示：若直线y=-2x-a经过点(1，0)，则a=-2，若直线y=-2x-a经过点(1，2)，则a=-4.所以当直线y=-2x-a与y=f(x)的图象有2个交点时，-4≤a<-2.4.已知函数f(x)=QUOTE则函数y=f(f(x))-1的零点个数为()A.2 B.3 C.4 【解析】选B.由题意，令f(f(x))-1=0，得f(f(x))=1，令f(x)=t，由f(t)=1，得t=-1或t=QUOTE，作出函数f(x)的图象，如图所示，结合函数f(x)的图象可知，f(x)=-1有1个解，f(x)=QUOTE有2个解，故y=f(f(x))-1的零点个数为3.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.若函数f(x)=x+QUOTE(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是 ()A.-2 B.-1 C.-4 【解析】选AD.f(x)=x+QUOTE(a∈R)的图象在(1，2)上是连绵不断的，则QUOTE<0，解得-4<a<-1，所以a的值可能是-2，-3.6.函数f(x)=|x2-4x|-m恰好有两个不同零点，则m的值可以是 ()A.m>4 B.4C.0<m<4 D.0【解析】选AD.由f(x)=0可得m=|x2-4x|，作出y=|x2-4x|的函数图象如图所示：因为f(x)恰好有两个不同的零点，所以直线y=m与y=|x2-4x|的图象有两个不同的交点，所以m=0或m>4.【光速解题】选取特别值通过求零点推断.三、填空题(每小题5分，共10分)7.(2024·抚州高一检测)函数f(x)=(2x-3)·ln(x-2)的零点个数为_______.

【解析】函数的定义域为{x|x>2}，令(2x-3)·ln(x-2)=0，因为2x-3>0，可得ln(x-2)=0，解得x=3.所以函数的零点只有1个.答案：1【误区警示】本题简单出现忽视定义域的错误，误认为零点个数为2.8.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，-5是它的一个零点，且在(0，+∞)上是减函数，则该函数有_______个零点，这几个零点的和等于_______.

【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，+∞)上是减函数，所以f(0)=0.又因为f(-5)=0，所以f(5)=-f(-5)=0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.答案：30四、解答题(每小题10分，共20分)9.(2024·大庆高一检测)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+QUOTE+m.(1)确定实数m的值并求函数f(x)在R上的解析式.(2)求满意方程f(x)=0的x的值.【解析】(1)依据题意，f(x)是定义在R上的奇函数，则当x=0时，f(0)=4+m=0，解得：m=-4.设x<0，则-x>0，则f(-x)=2-x+QUOTE-4=3·2x+QUOTE-4，又由f(-x)=-f(x)，则f(x)=-3·2x-QUOTE+4(x<0)，故(2)当x≥0时，f(x)=2x+QUOTE-4，令f(x)=0，得f(x)=2x+QUOTE-4=0，即(2x)2-4·2x+3=0，解可得2x=1或2x=3，即x1=0，x2=log23；又由f(x)是定义在R上的奇函数，则当x<0时，根为x3=-log23；综合可得，方程f(x)=0的根为x1=0，x2=log23，x3=-log23.10.已知函数f(x)=QUOTE(c为常数)，若1为函数f(x)的零点.(1)求c的值.(2)证明函数f(x)在[0，2]上是单调增函数.(3)已知函数g(x)=f(ex)-QUOTE，求函数g(x)的零点.【解析】(1)因为1为函数f(x)的零点，所以f(1)=0，即c=1.(2)设0≤x1<x2≤2，则f(x2)-f(x1)=QUOTE-QUOTE=QUOTE，因为0≤x1<x2≤2，所以x2-x1>0，x2+1>0，x1+1>0，所以f(x2)>f(x1)，即函数f(x)在[0，2]上是单调增函数.(3)令g(x)=f(ex)-QUOTE=QUOTE-QUOTE=0，所以ex=2，即x=ln2，所以函数g(x)的零点是ln2.1.已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)=[x]为取整函数，x0是函数f(x)=lnx+x-4的零点，则g(x0)= ()A.4 B.5 C.2 【解析】选C.函数f(x)=lnx+x-4在x>0时是连续的增函数，因为f(e)=1+e-4<0，f(3)=ln3-1>0，所以函数的零点所在的区间为(e，3)，g(x0)=[x0]=2.2.已知函数f(x)=x2-b