2024年中考数学复习：点到直线的距离最值问题复习讲义

点到直线的距离最值问题复习讲义

典例精析

【题目6-7]如图6-28,在RtAABC中,/B=9(F,AB=4,BC=3,P为AC上的动点，过点P作PMLAB于点M,

作PN±BC于点N,连接MN,求MN的最小值.

图6-28

解法1设AM=4x(0<x<l).

VAAMP^AABC,

.AM_AB_4

••MP-BC-3’

・・・PM=BN=3x.

在RtABMN中，

MN2=BM2+BN2

=(4—4x)2+(3%)2

=25/-32X+16

=25(%-牙+贵

当x=!|时，MN?取得最小值等，

所以MN的最小值为Y，

点拨：MN为直角三角形的斜边，结合基本的“A”型相似可以得到BM和BN之间的关系，利用勾股定理和二

次函数求出最值.

解法2如图6-29,连接BP,过点B作BHXAC于点H.

:四边形BNPM是矩形，

；.BP=MN,求MN的最小值，即求BP的最小值.

；B为定点，点P在线段AC上运动，

.,•由垂线段最短可知，当BPXAC时BP最短，即为BH.

Q_ABBC_ACBH

•ABC—2—2，

BH=差箸=?即MN的最小值为y.

图6-29

点拨：从矩形BNPM入手，利用矩形对角线相等转化为求线段BP的最小值，最终转化为垂线段最短来求,

求BH使用面积法，简单易懂.

解法3如图6-30①.

,/ZMBN=ZMPN=90°,

；.B,N,P,M四点共圆,MN为直径.

要使得MN最小，即使得圆最小，当圆与AC相切时，MN最小，最小值为图6-30②中BP的长度.

BcPc=-A-B-B--C-=-12

AC5

AMN的最小值为Y.

图6-30

点拨：通过90。联想到圆，最终转化为求圆的最小直径问题，可知圆与AC相切时直径最小.很多利用隐圆的题

目与90。密切相关，即“见直径想90°,见90。想直径”.

赏析此题虽然简单，但是一题三法，从不同的角度入手，将最值问题常见的几种解法都囊括在内.解法1用代

数法求最值，属于常规方法；解法2利用垂线段最短求解；解法3利用隐圆求解，三种方法均为解决最值问题最普

遍的方法.

【题目6-8］如图6-31,已知AB=4,P为线段AB上的一个动点，分别以AP,PB为边在AB的同侧作菱形AP

CD和菱形PBEF,点P,C,F在同一条直线上,/D=120。.M,N分别是对角线AC,BF的中点.当点P在线段AB上移

动时，求MN的最小值.

解法1如图6-32,连接PM,PN,设AP=2x,贝!]PB=4—2x.

•..四边形APCD和四边形PBEF均为含有120。角的菱形，M,N为各自对角线的交点，

ZAPM=ZCPM=60°,ZFPN=ZBPN=30°,AAPM.ABPN均为含有30。角的直角三角形,

.­.乙MPN=90°,PM=^AP=x,

PN=WBN=萼=2V3-V3x,

MN2=PM2+PN2=x2+(2A/3-V3x)2=4x2-12x+12=4(x-|V+3.

•..当x=时，MN2取最小值，最小值为3,

；.MN的最小值为V3.

点拨：通过两个特殊菱形对角线的中点，发现其中与MN有关的R3PMN,进而利用勾股定理及二次函数求

得最值.

解法2如图6-33,连接PM,PN,延长AC交BF于点Q,连接PQ,过点Q作QHLAB于点H.

VZDAP=60°,ZEBP=120°,AQ,BQ分别为NDAP,NEBP的平分线，

ZQAB=30°,ZQBA=60°,

ZAQB=90°,

BQ=^AB=2,AQ=有BQ=2V3.

VM,N分别为AC,BF的中点，

.*.PM±AQ,PN±BF,

四边形PNQM是矩形，

；.PQ=MN,求MN的最小值即求PQ的最小值.

为定点，点P在AB上运动，

/.当QPXAB时,PQ最小，即为QH.

ZQAH=30°,

■■■QH=1AQ=V3,

AMN的最小值为V3.

点拨:“在变化中寻找不变”，通过寻找几何不变性发现AABQ为形状固定的三角形，且四边形PNQM为矩形，

通过矩形的两条对角线相等将MN转化为PQ,进而将两个动点构成的线段的最值问题转化为定点到直线的距离问

题.

解法3如图6-34,取AP的中点G,BP的中点H,连接GM,HN,过点G作GQXHN的延长线于点Q.

VG,M分别为AP,AC的中点，

；.GM〃PC,同理得HN〃PC,

；.MG〃HN且NGHN=120°.

又'GH=GP+PH=+工PB==2,

222

GQ=V3.

•.•由直角三角形的斜边大于直角边可得MN>GQ,

MN>V3,

；.MN的最小值为V3.

点拨：在变化中发现GH为定值，GM〃:HN且角度固定，最后由“斜大于直”得出最值.

赏析解法1从代数法入手，利用特殊的角度产生的直角三角形，结合勾股定理，再利用二次函数求出最值；

解法2从几何方法入手，将问题转化为垂线段最短的问题.这两种方法属于解决几何最值问题的通用方法.解法3利

用“斜大于直”，得出最值.

【题目6-9](1)如图6-35,AB，直线1于点B,AB=4,C为直线1上一动点，以AC为直角边,C为直角顶点向上

构造等腰RtAACD,连接BD,求BD的最小值.

(2)如图6-36,在等边△ABC中,AB=4,D为直线BC上一动点，以AD为边向右侧构造等边△ADE,连接BE,求

BE的最小值.

(1)解法1如图6-37,过点D作DELBC所在直线于点E,设BC=x.(规定点C在点B右边)

ZBAC+ZACB=ZACB+ZDCE=90°,

ZBAC=ZDCE.

又,/CA=CD,ZABC=ZDEC,

.,.△ABC^ACED,

DE=BC=x.

BD2=BE2+DE2=(x+4)2+x2=2x2+8x+16=2(x+2)2+8>8,

BD>2V2,

ABD的最小值为2V2.

点拨：通过构造“K”型全等，设未知数，利用勾股定理及二次函数求最值.

解法2如图6-38,在BC上取点H,使得AB=BH,连接DH,过点B作BPLDH的延长线于点P.

NBAH二NCAD,

•••NBAH+NHAC=NHAC+NCAD,即NBAGNHAD.

FAB_AC_y[2

乂--=---=—.

AHAD2

AAABC^AAHD,

ZAHD=ZABC=90°.

：H为定点,NAHD为定角，

点D的轨迹即为垂直于AH且过点H的直线.

由垂线段最短可知，BD的最小值即为BP的长度.

ZAHB=45°,ZAHP=90°,

...△BPH为等腰直角三角形，

・•.BP=&=五=2短

ABD的最小值为2V2.

点拨：通过构造另一个等腰直角三角形从而产生相似，确定点D的运动轨迹为直线，最终转化为点到直线的

距离问题.

⑵解法1如图6-39,连接CE,过点E作EHXBC于点H,设BD=2x.

,/ZBAC=ZDAE=60°,

ZBAD=ZCAE.

又；AB=AC,AD=AE,

AABAD^ACAE,

CE=BD=2x,ZACE=ZABD=60°,

AAECH=180°-乙4cB-AACE=60°

CH=*=x,EH=V3CH=信.

•••BE2=BH2+EH2=(4+x)2+(V3x)2=4(%+I)2+12>12,

BE>2A/3„即BE的最小值为2遍.

''''A—

图6-39

点拨：通过两等边共顶点构造全等，再设未知数，利用勾股定理及二次函数求最值.

解法2如图6-40,连接CE,过点B作BH±EC的延长线于点H.

,/ZBAC=ZDAE=60°,

ZBAD=ZCAE.

又：AB=AC,AD=AE,

△ABD丝△ACE,

ZACE=ZABD=60°.

：/ACE为定角,C为定点，

.•.点E的轨迹为直线CE.

由垂线段最短可知BE的最小值即为BH的长度.

,/ZACB=ZACE=60°,

ZBCH=60°,

BH=V3CH=V3x|fiC=2百，

BE的最小值为2V3.

点拨：由两个等边三角形共顶点产生全等，从而确定点E的运动轨迹为直线，最终转化为点到直线的距离问

题.

赏析两道小题中，解法1均为代数法，解法2均为几何法.大多数最值问题都可以用代数法和几何法两种方法

处理.

【题目6-10］如图6-4LAB=2,AD=4AB=8,E为线段AD上一点，以CE为边向上构造正方形CEFG,连接B

F,求BF的最小值.

,G

A//D!

1/

BC

图6-41

解法1如图6-42,延长AD至点M,使得DM=DC,连接CF,FM,延长FM交BC的延长线于点N,过点B作BH，F

N于点H.

ZECF=ZDCM=45°,

JZECD=ZFCM.

▽,,EC_DC_y/2

'FC~CM_2'

AECD^AFCM,

・•・ZCMF=ZCDE=90°,

；.NAMF=45。是定角，即点F的轨迹为直线MN,

/.当BF±MN时,BF最小，即为BH的长度.

VCD=DM=2,

•••CM=V2C0=2V2,

•••CN=42CM=4,

.\BN=12.

又•；ABHN为等腰直角三角形，

点拨：此法从几何角度进行解析，直线型轨迹问题都可以构造“手拉手”全等或相似（也有人理解为旋转相似）,

从而得到定角来说明动点的运动轨迹是直线，结合垂线段最短知BF的最小值即为BH的长度.

解法2如图6-43,过点E作MN±BC于点N,过点F作FHXBA的延长线于点H,交MN于点M.

设HM=BN=x,5l!lNC=8一x.

,--△EFM^ACEN,

ME=CN=8-x=AH,MF=EN=2,

.•.在RSBHF中,BH=AB+AH=10-x,HF=HM+MF=x+2,

•••BF2=BH2+HF2=(10-x)2+(x+2)2=2x2-16%+104=2(%-4)2+72.

当x=4时BF?最小，最小值为72,

ABF的最小值为6V2.

点拨：此法利用“手拉手”全等转移线段，通过设未知数，巧妙利用二次函数来求最值，简单明了，凸显出“数形

结合”的独特魅力.实际上，很多几何最值问题，若能够巧妙地发现代数关系，利用代数法来解答会有意想不到的效

果.同样，代数最值问题往往也可以利用几何法来求解.

赏析此题给人的第一印象就是直线型轨迹问题，若从几何角度出发，步骤繁多，不容易想到，但是若能认真

体会解法1的几何法，相信大家会有意想不到的收获.解法2巧妙利用代数法，用数形结合的思想完美解决问题，令

人耳目一新.

【题目6-11］如图6-44,在动点C与定长线段AB组成的△ABC中,AB=6,AD，BC于点D,BE，AC于点E,

连接DE.在点C运动的过程中，始终有意=号则点C到AB的距离的最大值是

图6-44

解法如图6-45,作^ABC的外接圆，即。O,连接OAQBQC.

vcosZ-ACB=—,cosZ-ACB=―,

ACBC

CD_CE目口CD_AC

''AC~BC'CE-BC'

AACDE^ACAB,

.CE_DE_y/2

"CB~AB~2'

cosZ.ACB=—,Z-ACB—45°.

2

•；AB=6（定弦）NACB=45。（定角）,

ZAOB=90°,

AAAOB为等腰直角三角形，

OA=OB=OC=^=3V2.

过点O作OHLAB于点H,则OH=IAB=3.

当C,O,H三点共线时，点C到AB的距离最大，为3/+3.

点拨：利用相似得到NC=45。，因为有定弦和定角，隐藏圆出现，得到点C的运动轨迹为圆，最终转化为圆上

的点到弦的距离问题求解.

赏析定弦定角类型的几何最值问题，首先要根据已知条件求出动点的轨迹，再根据具体问题进行处理.

【题目6-12]如图6-46,在Rt^ABC^P,AABC=90°,AB=8,BC=6,,四边形DEFG是4ABC的内接矩形,

点E,F分别在边AB,BC上，点D,G在边AC上,H是矩形DEFG的对角线的交点，求线段CH长度的最小值.

解法1如图6-47,取AC的中点M,连接HM,过点H作HNLAC于点N,设AD=16m.

AAED^>AACB,

.AD_AB日H16m_8

"DE-BC'DE-6’

JDE=12m,FG=DE=12m,

•••HN=-ED=6m.

2

AFCG^AACB,

FGAB日n12?7l8

--=---，即----=―,

CGBCCG6

・・・CG=9m.

VAC=10,

1

/.CM=-2AC=5,

DGAC-AD-CG10-25m

•••NG=—2=------2-----=-----2----,

n,nnrcLc10-25?717

MN=MG—NG=5—9m-------2-----=-2m,

6m12

・•・tan乙HMN=—=—

-m7

2

，/HMN为定角，点H的轨迹为直线，

22

HM=y/HN+MN=J(6m)2+Qm)2=等科

.rm^ATHN67n12

sm^HMN=—HM=-7=—=V193

•.•当CH_LMH时CH最小，

errr,=-126060,193

C”mmin=CM,sin乙HMN5xV/193=V/19—3=---1-9-3---.

点拨：利用相似求出NHMN恒定，从而说明点H的轨迹是直线，再利用点到直线的距离求解.

解法2如图6-48,取AC的中点M,连接HM,取点N使得AN=CG.

设AD=16m4UDE=FG=12m,GC=9m.

VAN=CG,

；.M为NG的中点.

：H为EG的中点，

；.HM〃EN,

12

•••tan乙HMG=tanZ.END=—7,

・••."MG=磊=急际

.­.CHmin=5x^V193=^VT93.

点拨:点H的运动轨迹是解决问题的关键，通过中位线证明其轨迹为直线，将问题转化为定点到定直线的距

离求解.

解法3如图6-49,过点H作HN_LAC于点N.设CG=3a,贝!JFG=4a,FC=5a,BF=6-5a.

VEF//AC,

.EF_BF目口EF_6-5a

''AC~BC110-6'

|(6-5a).

VH是矩形DEFG对角线的交点，

HN=^FG=2a,NG=|EF=|(6-5a),

c7

CN=—(6—5a)+3a=5—a,

66

CH=J(5-；a)2+Qa)2119335.

——az9-----a+25

363

_卜93(q_210)2+3600

―q36I“1937193'

图6-49

点拨：根据“若两三角形相似，则对应线段成比例”，不断利用3：4：5将所有线段用未知数表示，最终利用勾

股定理建立函数关系，通过“暴力”计算求出最大值.

赏析此题中，点H的轨迹是核心，大多数解法的不同之处在于如何证明点H的轨迹是直线，其他基本上相

同，当然也有直接利用代数法求出最值的.几何法巧妙，代数法“暴力”，各有千秋.

【题目6-13］如图6-50,己知抛物线y=|x2-当％-3交y轴于点A,交直线y=6于点B（点B在y轴右侧）,

点P在y轴上，求PA+2PB的最小值.

基础数据准备：

令y=6,则|x2——3=6,

即%2-信-18=0,

即(X-3V3)(X+2A/3)=0,

解得x1=3V3,X2=-2V3,

由于点B在y轴右侧，则点B的横坐标为3百，从而B(3百，6).

解法1如图6-51,作点B关于y轴的对称点C,BC交y轴于点M,连接AC,过点B作BHXAC于点H,过点P

作PQLAC于点Q.

•••CM=BM3y/3,AM=OM+OA=9,

-CAR/

••・tanzCXCMM=V——3=—,

AM3

・•・ZCAM=30°,

PQ=|PX.

PA+2PB=2(PB+^PA)=2(PS+PQ),

又；BP+PQNBH,

当B,P,Q三点共线时PB+PQ最小，最小值为BH的长度.

ZCAM=ZBAM=30°,AB=AC,

AABC为等边三角