2024年中考数学复习：最值系列之辅助圆

最值系列之辅助圆

最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值.在将军饮马问题中，折点P

就是那个必须存在的动点.并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可.

当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆.

在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的

条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题.

若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A为圆外一点，

在圆上找一点P使得PA最小.

当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：

如图,已知圆C的半径为3,圆外一定点。满足0C=5，点P为圆C上一动点，经过点0的直线1上有

两点A、B,且OA=OB,ZAPB=90°,1不经过点C,则AB的最小值为.

【分析】连接0P,根据AAPB为直角三角形且0是斜边AB中点,可得0P是AB的一半,若AB最小，

连接0C,与圆C交点即为所求点P,此时0P最小，AB也取到最小值.

一、从圆的定义构造圆

圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合.

构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧.

如图，在边长为2的菱形ABCD中,NA=60。,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点,将AAMN沿MN

所在直线翻折得到AAMN,连接AC,则AC长度的最小值是____.

DC

【分析】考虑AAMN沿MN所在直线翻折得到AA'MN,可得MA'=MA=1,所以A轨迹是以M点为圆心，

MA为半径的圆弧.

连接CM,与圆的交点即为所求的A',此时A'C的值最小.

构造RtAMHC,勾股定理求CM,再减去A'M即可.

如图.在RtAABC中.ZC=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将

ACEF沿直线EF翻折，点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是____.

【分析】考虑到将AFCE沿EF翻折得到AFPE,可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧.

A

B

过F点作FHXAB,与圆的交点即为所求P点，此时点P至1]AB的距离最小.由相似先求FH,再减去FP,

即可得到PH.

如图，已知等边AABC的边长为8,点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）.直线1是经过点P的

一条直线，把AABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B）当PB=6时，在直线1变化过程中，求AACB面积

的最大值.

A

【分析】考虑1是经过点P的直线，目AABC沿直线1折叠，所以B轨迹是以点P为圆心，PB为半径的

圆弧.

考虑AACB，面积最大,因为AC是定值,只需B，到AC距离最大即可.过P作作PH,AC交AC于H点，与

圆的交点即为所求B点，先求HB，,再求面积.

如图，矩形ABCD中,AB=4,BC=8,P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点,AE=2,A2EQ沿EQ翻折

形成AFEQ,连接PF、PD,贝UPF+PD的最小值是___.

【分析】F点轨迹是以E点为圆心,EA为半径的圆,作点D关于BC对称点D1,连接PD',PF+PD化为

PF+PD'.

连接ED,与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED,再减去EF即可.

二、定边对直角

知识回顾：直径所对的圆周角是直角.

构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.

图形释义：

若AB是一条定线段,且/APB=90。,则P点轨迹是以AB为直径的圆.

【例题】已知正方形ABCD边长为2,E、F分别是BC、CD上的动点且满足BE=CF,连接AE、BF,交点

为P点，则PD的最小值为.

【分析】由于E、F是动点，故P点也是动点，因而存在PD最小值这样的问题，那P点轨迹如何确定?

考虑BE=CF,易证AE±BF,即在运动过程中，ZAPB=90°,故P点轨迹是以AB为直径的圆.

D

连接oc,与圆的交点即为P点，再通过勾股定理即可求出PC长度.

思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定

直线与定角.

如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE

交AG于点H,若正方形边长为2,则线段DH长度的最小值是—.

【分析】根据条件可知：4DAG=Z.DCG="BE,易证4G1BE,即乙AHB=90°,

所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧

当D、H、。共线时，DH取到最小值，勾股定理可求.

如图,RtAABC中,AB1BC.AB=6,BC=4,P是△4BC内部的一个动点，目满足Z.PAB=NP8C,则线段

CP长的最小值是—.

【分析】乙PBC+4PBA=90°,APBC=Z.PAB,

：.Z.PAB+4PBA=90°,

•••乙APB=90°,

P点轨迹是以AB为直径的圆弧.

当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC,再减去OP即可.

【寻找定边】

如图，AB是半圆0的直径，点C在半圆。上，AB=5,AC=4.D是弧BC上的一个动点,连接AD,过

点C作CELAD于E.连接BE.在点D移动的过程中,BE的最小值为一

【分析】E是动点，E点由点C向AD作垂线得来，上AEC=90°,,且AC是一条定线段，所以E点轨

迹是以AC为直径的圆弧.

当B、E、M共线时,BE取到最小值.连接BC.勾股定理求BM,再减去EM即可.

【寻找定边与直角】

如图，在Rt△ABC中,乙4cB=90。,BC=4,AC=10,,点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O,

连接BD交圆O于点E,则AE的最小值为.

B

【分析】连接CE,由于CD为直径，故乙CED=90。,，考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线段

CB对直角/CEB.

取CB中点M,所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧.

连接AM,与圆弧交点即为所求E点,止匕时AE值最小，AEAM-EM=V102+22-2=2府-2.

如图，正方形ABCD的边长为4,动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD

向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG,垂足为点G,连接AG,

则AG长的最小值为

【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有.AE=CF,BG1EF,但NBGE所对的BE边是不确定的.重点放

在4E=CF,可得EF必过正方形中心O点，连接BD,与EF交点即为O点

NBGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆.

记BO中点为M点当A、G、M共线时,AG取到最小值,利用RtAAOM勾股定理先求AM,再减去GM

即可.

【辅助圆+将军饮马】

如图,正方形ABCD的边长是4,点E是AD边上一动点,连接BE,过点A作.AF1BE于点F,点P是AD

边上另一动点，则，PC+PF的最小值为一.

【分析】"FB=90。且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆.

考虑PC+PF是折线段作点C关于AD的对称点C,化PC+PF为.PC+PF,当C、P、F、O共线时，取到

最小值.

【辅助圆+相切】

如图,在RtAABC中,.乙4cB=90。,NB=30。,AB=4,,D是BC上一动点,CE12D于E,EF1AB交BC

于点F,则CF的最大值是___.

【分析】ZAEAAEC=9(TEC=90。且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧.

考虑EFLAB,且E点在圆上，故当EF与圆相切的时候，CF取到最大值.

连接OF,易证△OCFgAOEF,ZCOF=30°,故CF可求.

三、定边对定角

在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角

定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相.定边必不可少，而直角则可一般为定角.例如，AB为定

值，NP为定角，则A点轨迹是一个圆.

当然，NP度数也是特殊角，比如30。、45。、60。、120。,下分别作对应的轨迹圆.

若NP=30。,，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB,O即为圆心.

若NP=45。,以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB,O即为圆心.

若NP=60。,以AB为底，同侧构造顶角为120。的等腰三角形AOB,O即为圆心.

若/P=120。,以AB为底,异侧为边构造顶角为120。的等腰三角形AOB,O即为圆心.

【例题】如图，等边.△4BC边长为2,E、F分别是BC、CA上两个动点,且BE=CF,,连接AE、BF,交

点为P点，则CP的最小值为.

A

【分析】由.BE=CF可推得△ABE=△BCF,所以乙APF=60。,但2PF所对的边AF是变化的.

所以考虑乙4PB=120。,其对边AB是定值.

所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧.（构造OA=OB且.乙4OB=120°）

当0、P、C共线时，可得CP的最小值利用R3OBC勾股定理求得OC,再减去OP即可.

如图,正△ABC.AB=2,若P为AABC内一动点，且满足.△ABCdAB=^ACP,,则线段PB长度的最

小值为.

【分析】由^PAB=乙4CP,可得乙4PC=120°,APC=120°,后同上例题.

在△ABC中,AB=4,NC=6（r,/A>/B,,则BC的长的取值范围是」

【分析】先作图，如下

条件不多，但已经很明显,AB是定值，ZC=60。,即定边对定角.故点C的轨迹是以点。为圆心的圆弧.

（作4。=8。且Z.AOB=120°）

题意要求/A>/B,即BOAC,故点C的轨迹如下图.

当BC为直径时，BC取到最大值，

考虑/A为AABC中最大角,故BC为最长边,BC>AB=4.无最小值.

如图,AB是圆O的直径,M、N是弧AB（异于A、B）上两点,C是弧MN上一动点，乙4cB的角平分线交圆

O于点D,NBAC的平分线交CD于点E,当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是.