高中数学同步讲义（人教B版2019选择性必修一）第20讲 2.2.2直线的方程

.2.2直线的方程TOC\o"1-3"\h\u题型1直线的点斜式方程 2题型2直线的斜截式方程 7题型3直线的两点式方程 11题型4直线的截距式方程 15◆类型1求直线方程型 16◆类型2过已知一点型 16◆类型3给定方程型 19题型5直线的一般式方程 21题型6直线与坐标轴形成三角形问题 28题型7直线过定点问题 32题型8一般式方程与象限问题 37题型9图像选择问题 41题型10最值问题 45知识点一.直线的方程一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F（x，y）=0的解，而且以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x,y)=0为直线l的方程，而直线l称为方程F（x，y）=0的直线.此时，"直线l"也可说成"直线F（x，y）=0"，并且记作l：F（x，y）=0.知识点二.直线的点斜式方程1.经过点P（xo，yo）且斜率为k的直线方程为y-yo=k（x-x0）称为直线的点斜式方程.2.经过点P（xo，yo）且斜率为0的直线方程为y=y0,经过点P（xo，yo）且斜率不存在的直线方程为x=xo.知识点三.直线的斜截式方程1.一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为（a，0），则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为（0，b），则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距．斜率为k，截距为b的直线方程为y=kx+b，称为直线的斜截式方程.2.直线y=kx＋b中k的几何意义是直线的斜率,b的几何意义是直线的截距（即直线在y轴上的截距）.知识点四.直线的两点式方程经过两点P1（x1，y1）,P2（x2知识点五.直线的截距式方程直线在x,y轴上的截距分别为a,b，且a≠0，b≠0，则直线方程可写为xa+yb=1,这种形式的方程称为直线的截距式方程，注意这里要求直线在知识点六.直线的一般式方程1.所有的直线方程都是关于x，y的二元一次方程,关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.2.把方程Ax+By+C=0,(A2+B2≠0)称为直线的一般式方程.3.在方程Ax+By+C=0，如果B≠0，则方程可以化为y=-ABx-CB,它表示的是斜率为-AB且截距为-CB的直线；如果B=0，则由A,B不同时为0可知A≠0,从而方程可以化为x=-CA,它表示的是斜率不存在且过点（4.向量v=(A,B)为直线Ax+By+C=0的一个法向量.题型1直线的点斜式方程【方法总结】关于点斜式方程的几点说明（1）直线的点斜式方程的前提条件：①己知一点P（xo，yo）和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．（2）方程y-yo=k（x-xo）与方程k=y−y0x−x0（3）当k取任意实数时，方程y-yo=k（x-xo）表示恒过定点（xo，yo）且不垂直于x轴的无数条直线.【例题1】（2023·高二课时练习）已知直线l经过点P且倾斜角为α，求直线l的点斜式方程．(1)P（2，3），α=(2)P（-2，-1），α=(3)P（-5，-1），α=【答案】(1)y(2)y(3)x【分析】由直线倾斜角求斜率，点斜式求直线方程.【详解】（1）直线倾斜角α=π4，则直线斜率k=1，直线l经过点（2）直线倾斜角α=2π3，则直线斜率k=−3（3）直线倾斜角α=π2，直线斜率不存在，直线l经过点P【变式1-1】1.（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）过点(−3A．y=−3xC．y=3x【答案】B【分析】根据倾斜角求出直线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解.【详解】依题意，直线l的斜率k=tan故直线l的方程为y−5=−即y=−故选：B.【变式1-1】2.（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）已知直线l过点−3,4且方向向量为1,−2，则l在x轴上的截距为（

）A．−1 B．1 C．−5 D．5【答案】A【分析】先根据方向向量求得直线的斜率k=−2，然后利用点斜式可求得直线方程，再令y【详解】因为直线l的方向向量为1,−2，所以直线斜率k=−2又直线l过点−3,4，所以直线方程为y−4=−2(x+3)令y=0，得x=−1，所以故选：A【变式1-1】3.（2023·江苏·高二假期作业）已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，A【答案】y【分析】结合图象求出直线斜率，代入点斜式方程求解即可.【详解】如图：

因为B=60∘故直线BC的点斜式方程为y−1=−【变式1-1】4.（2021秋·江西九江·高二校考阶段练习）已知直线l过点A(2,−6)，它的倾斜角等于直线x【答案】3【分析】求出直线的斜率，写出直线的点斜式方程即得解.【详解】∵直线x−3y∴直线l的倾斜角为π3∴直线l的斜率为3，∴直线l的方程为y+6=3(所以直线l的方程为3x【变式1-1】5.（2023·高二课时练习）已知直线l的倾斜角为α，sinα=3【答案】3x−4y【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，再利用点斜式方程求解作答.【详解】直线l的倾斜角为α，sinα=35，当α为锐角时，由直线点斜式方程得：y−5=34当α为钝角时，cosα=−4由直线点斜式方程得：y−5=−34所以直线l的一般式方程为3x−4y【变式1-1】6.（2023·高二单元测试）经过点4,3引l1，l2，l3三条直线，使它们的倾斜角的比依次为1:2:4，已知l2的方程为3x【答案】x−3y【分析】根据斜率与倾斜角的关系，结合正切的二倍角公式，即可求解斜率，进而根据点斜式求解直线方程.【详解】设l1的倾斜角为α，则l2，l3由l2的方程为3x−4y=0tan4α=2tan2α1−tan2由于4α∈0,π，所以α∈0,π4，由二倍角公式可得2tanα1−tan2故答案为：x−3y【变式1-1】7.（2019秋·浙江台州·高二校考期中）直线l:x−y+1=0,则l的倾斜角为___________.若l上点P的横坐标是3，把l【答案】45°x【分析】由直线l的斜率得倾斜角；由旋转得新直线的倾斜角，从而得斜率，可得出直线方程．【详解】l:x−y+1=0直线的斜率为k逆时针旋转90°后所得的直线的倾斜角为135°，则斜率为k′又x=3时，3−y+1=0，y∴新直线方程为y−4=−(x−3)故答案为：45°；x+【点睛】本题考查求直线的倾斜角和直线方程，掌握倾斜角与斜率的关系是解题关键．题型2直线的斜截式方程【方法总结】对直线斜截式方程的理解直线的斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y=kx+b的形式，但有区别，当k=0时，y=kx＋b即为一次函数；当k≠0时，y=kx＋b，不是一次函数，一次函数y=kx+b（k≠0）必是一条直线的斜截式方程.截距不是距离，可正、可负也可为零.【例题2】（2023·江苏·高二假期作业）根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【答案】(1)y＝2x＋5(2)y＝－33(3)y＝3x＋3或y＝3x－3【分析】（1）由直线的斜截式可得直线方程；（2）由已知求得直线的斜率，再由直线的斜截式可得直线方程．（3）由已知求得直线的斜率和直线在y轴上的截距，再由直线的斜截式求得直线的方程.【详解】（1）由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5.（2）由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan150°＝－33故所求直线的斜截式方程为y＝－33（3）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan60°＝3．因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.【变式2-1】1.（2022·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学校考学业考试）对于直线l:A．直线l倾斜角为π3 B．直线l在y轴上的截距为C．直线l不过第二象限 D．直线l过点3,【答案】C【分析】将直线的一般方程化成斜截式方程即可得直线斜率和在y轴上的截距，可判断AB；画出直线的图象可判断C，将点3,3【详解】将直线l:x由斜截式方程的几何意义可知，斜率为k=所以直线倾斜角θ∈0,π满足tanθ易知，直线l在y轴上的截距为−23画出直线l的图象如下：由图象可知，直线l不过第二象限，故C正确；将点3,3代入直线方程得3−所以直线l不过点3,3故选：C.【变式2-1】2.（多选）（2022秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）若直线l:A．直线l的纵截距为3B．1,3是直线lC．直线l过点3D．3,−1是直线l【答案】BCD【分析】通过待定系数法求出斜率，截距，直线与坐标轴的交点以及是否过点3,0，计算出方向向量，以及垂直于直线l:3【详解】解：由题意，在直线l:当x=0时，3×0−y∴直线l的图像过A0,−3当x=1时，3×1−y∴直线l的图像过B1,∴直线l方向向量为AB=当x=3时，3×∴直线l过点C3∵直线l的斜率为k1∴垂直于直线l的斜率为k2∴垂直于直线l的直线的一个方向向量为CD=故选：BCD.【变式2-1】3.（2023·江苏·高二假期作业）把直线l的一般式方程x−2y+6=0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x【答案】答案见解析【分析】将直线方程化为斜截式，即可得到斜率和在y轴上的截距，再令y=0，解得x，求出x【详解】把直线l的一般式方程x−2y+6=0因此，直线l的斜率k=12，它在y在直线l的方程y=12x+3即直线l在x轴上的截距是−6，由上面可得直线l与x轴、y轴的交点坐标分别为A−6,0，B如图，过A，B两点作直线，就得直线l.

【变式2-1】4.（2023·江苏·高二假期作业）求倾斜角是直线y=−3x+1的倾斜角的14【答案】y【分析】根据已知求出所求直线的倾斜角，进而可得其斜率，再根据直线的斜截式方程即可得解.【详解】因为直线y=−3x+1的斜率所以所求直线的倾斜角为30°，斜率为tan30°=3又所求直线在y轴上的截距是−5，所以所求直线的方程为y=【变式2-1】5.（2022·高二课时练习）若直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x−【答案】31【分析】将直线的一般式方程转化成斜截式，根据截距为－3即可求得n=1，求出直线3x−y=3【详解】解：依题意得，直线3x−y∴其倾斜角为60°，则直线mx+ny若直线mx+∴−3而k=−故答案为：m=3，题型3直线的两点式方程【方法总结】直线的两点式方程应注意的问题要注意方程y−y1y2−y1=x−x1不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任意两点的直线.【例题3】（2022·高二课时练习）求经过下列两点的直线的方程：(1)A−3,2，B(2)A0,4，B(3)A3,2，B(4)A(3,1),B(2,－3)；(5)A(2,1),B(0,－3)；(6)A(0,5),B(4,0).【答案】(1)5(2)x(3)2(4)y=4(5)y=2(6)y=−【分析】(1)经过点A−3,2，B0,−3的直线方程为y(2)经过点A0,4，B4,0的直线方程为y(3)经过点A3,2，B0,0的直线方程为y(4)直线的两点式方程为y−1(5)直线的两点式方程为y−1(6)直线的两点式方程为y−5【变式3-1】1.（2022·全国·高二专题练习）经过两点x1,yA．x−x1C．y−y1【答案】C【分析】根据两点式直线方程即可求解.【详解】当经过x1,y1、x2由于x1,x故选:C【变式3-1】2.(多选)（2023春·河北石家庄·高二校考开学考试）下列结论正确的是（

）A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大B．斜率相等的两直线的倾斜角一定相等C．直线的斜率为tanα，则其倾斜角为D．经过任意两个不同的点P1(【答案】BD【分析】举反例判断A；根据直线的斜率和倾斜角的关系判断B,C；结合直线的两点式方程判断D.【详解】对于A，直线的倾斜角分别为π3,2π此时不满足直线的倾斜角越大，其斜率就越大，A错误；对于B,由于直线的倾斜角范围是[0,π)，所以斜率相等的两直线的倾斜角一定相等,正确；对于C,直线的斜率为tanα，α的取值范围不确定，α比如直线的斜率为tan5π4，此时直线的倾斜角为对于D，当x1=x2时，经过P1当y1=y2时，经过P1当x1≠x2，y1也即(y故经过任意两个不同的点P1(x故选：BD【变式3-1】3.（2021秋·高二课前预习）（1）已知直线l经过点A(2,−1),B(2,7)（2）已知点P(3,m)在过点A（3）三角形的三个顶点分别是A(−1,0),【答案】（1）x=2；（2）m=−2；（3）AB：x+4y+1=0【分析】（1）由已知得直线的斜率不存在，即可求出直线方程；（2）由两点式方程求出直线AB的方程，再利用点P在直线上即可求解；（3）由两点式方程可求解.【详解】（1）因为点A与点B的横坐标相等，故直线的斜率不存在，故所求直线方程为x=2（2）由两点式方程，得过A，B两点的直线方程为y−(−1)4−(−1)=又因为点P(3,m)在直线AB上，所以3+（3）由两点式，得边AB所在直线的方程为y−(−1)0−(−1)=同理，边BC所在直线的方程为y−3−1−3=边AC所在直线的方程为y−30−3=【变式3-1】4.（2023·江苏·高二假期作业）已知直线a1x+b1y+1=0和直线a【答案】2【分析】由题意可得2a1−a2【详解】把A(2,1)坐标代入直线a1x得2a1+∴2a过点P1(a1,∴y−b1∵2a∴2a∴所求直线方程为2x题型4直线的截距式方程【方法总结】直线的截距式方程我们把直线与x轴的交点（a，0）的横坐标a称为直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b.方程xa截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线有两个非零截距，截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线.（2）直线的截距式方程的特征是x项分母对应的是横截距，y项分母对应的是纵截距，中间以“＋”号连接，等式右边为1，如x2（3）由直线的截距式方程可直接读出直线在x轴和y轴上的截距，同时，截距式在解决与面积有关的问题和作图时使用起来非常方便.（4）直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，直线在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标，而不是交点到原点的距离，因此截距a，b可能为正或零，也可能为负.◆类型1求直线方程型【例题4-1】（2022·高二课时练习）在x轴，y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是（）A．x−3+yC．x−3−y【答案】A【分析】根据直线方程的截距式判断．【详解】由截距式方程可得，所求直线方程为x−3故选：A．【变式4-1】（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）已知直线l在x轴上的截距是3，在y轴上的截距是−2，则l的方程是______．【答案】2【分析】由题意利用截距式求直线的方程，再化为一般式．【详解】因为直线l在x轴上的截距是3，在y轴上的截距是−2，则直线l的方程是x3+y故答案为：2x◆类型2过已知一点型【例题4-2】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）过点3,−2且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为_________.【答案】2x+3【分析】分截距为0和不为0两种情况讨论即可得解.【详解】由题知，若在x轴、y轴上截距均为0，即直线过原点，又过3,−2，则直线方程为y=−若截距不为0，设在x轴、y轴上的截距为a，则直线方程为xa又直线过点3,−2，则3a+−2所以此时直线方程为x+故答案为：2x+3【变式4-2】1.（2023秋·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）过点A(4,−3)A．xB．xC．x−yD．x−y−7=0或【答案】D【分析】直线过原点求出直线方程，直线不过原点设出直线方程，利用待定系数法求解.【详解】当此直线过原点时，直线方程为y=−34当此直线不过原点时，设直线的方程为x+y=把点A(4,−3)分别代入可得4−3=a，或4+3=b，解得a∴直线的方程为x+y=1综上可知：直线的方程为x+y−1=0或x故选：D．【变式4-2】2.（2023·江苏·高二假期作业）直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1，且过定点A(−3,8)【答案】4x+3y【分析】设直线方程的截距式为xa+ya+1【详解】设直线方程的截距式为xa则−3a+8a+1则直线方程是x3+y即4x+3y故答案为：4x+3y【变式4-2】3.（2021秋·高二课时练习）过点(5，0)，且在两坐标轴上的截距之差为2的直线方程是________.【答案】x5+y【分析】设直线的方程为xa【详解】设直线的方程为xa+y∴a=5由5−b=2得b=3或b=7，∴所求直线的方程为故答案为:x5+y【变式4-2】4.（2022秋·福建泉州·高二校考期中）若直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为−1，且它的倾斜角是直线xA．m=−4,n=−3 B．m=4,n=3【答案】D【分析】根据直线mx+ny+3=0在y轴上的截距可求得n，设直线mx+ny+3=0的倾斜角为θ，求出【详解】令x=0，则y=−3设直线x−2y−3=0的倾斜角为θ，则直线mx因为直线x−2y=3的斜率为1故tan2θ则直线mx+ny+3=0的斜率tan2故选：D.◆类型3给定方程型【例题4-3】(多选)（2023春·江西·高二校联考开学考试）已知直线l：a+2x−y+2a−3=0A．−52 B．0 C．32【答案】AC【分析】依题意可得a≠−2，分a=3【详解】依题意可得a≠−2当a=32时，直线l当a≠32时，直线l在x轴上的截距为3−2aa则3−2aa+2=2×2综上所述，a的值为−52或故选：AC．【变式4-3】1.（2023·江苏·高二假期作业）已知直线mx−2y−3【答案】−1【分析】先分别求出x轴上的截距及y轴上截距，再根据数量关系计算求解即可.【详解】令x=0，得y=−3m2由于直线mx−2y−3故3=4×−3m2故答案为：−【变式4-3】2.（2022秋·江西·高二统考阶段练习）已知直线x+my−2=0【答案】1【分析】根据直线在两坐标轴上的截距相等得到关于m的方程，解出即可.【详解】因为直线x+当m=0时，直线方程为：x=2，与当m≠0时，令x=0得：y=2m则2m=2，解得：综上：实数m的值为1，故答案为：1.【变式4-3】3.（2023秋·高二课时练习）已知三条直线为l1A．三条直线的倾斜角之和为90°B．三条直线在y轴上的截距b1,C．三条直线的倾斜角α1,D．三条直线在x轴上的截距之和为12|a【答案】C【分析】根据直线方程的斜率、倾斜角、截距的概念逐项判断即可.【详解】设三条直线l1:x−2则tanα1所以α2+α3>对于直线l1:x−2y+4a=0，令由于tanα1⋅tanα3=12×2=1直线l1,l2,故选：C.题型5直线的一般式方程【方法总结】二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响当A=0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴平行.当A≠0，B=0，C为任意实数时，方程表示的直线与x轴垂直.当A=0，B≠0，C=0时，方程表示的直线与x轴重合.当A≠0，B=0，C=0时，方程表示的直线与y轴重合.（5）当C=0，A，B不同时为0时，方程表示的直线过原点.【例题5】（2023·全国·高三专题练习）已知直线y=−33x+5（1）若过点P(3,−4)，求直线l（2）若在x轴上截距为−2，求直线l的方程．（3）若在y轴上截距为3，求直线l的方程．【答案】（1）3x−3y−33【解析】先由题意，求出直线l的斜率；（1）根据直线的点斜式方程，可直接得出结果；（2）根据直线的点斜式方程，可直接得出结果；（3）根据直线的斜截式方程，可直接得出结果.【详解】由直线y=−33x+5得其斜率为k又直线y=−33故所求直线l的倾斜角为30°，其斜率为k1（1）若所求直线过点P(3,−4)，由点斜式方程得：y整理得：3x即所求方程为3x（2）若所求直线在x轴截距为−2，则直线l过点(−2,0)，由点斜式方程得：y−0=整理得3x即所求方程为3x（3）在y轴上截距为3，由斜截式方程得：y=整理得：3x即所求方程为3x【变式5-1】1.（2022·高二课时练习）设m为实数，若直线l的方程为mx+m−1(1)直线l在y轴上的截距为6；(2)直线l的斜率为2；(3)直线l垂直于x轴；(4)直线l经过点1,3．【答案】(1)1(2)2(3)1(4)0【分析】（1）根据y轴上的截距，建立等量关系求出m的值：（2）把方程化为斜截式，根据斜率的值求m；（3）直线l垂直于x轴，即斜率不存在，根据方程可求结果；（4）把点到坐标代入方程可求结果.(1)因为直线l在y轴上的截距为6，所以直线l一定经过点0,6，则6m−6+3=0，解得(2)当m=1当m≠1时，把直线方程化为斜截式y因为斜率为2，所以−mm−1(3)因为直线l垂直于x轴，所以直线的斜率不存在，所以m−1=0，即m(4)因为直线l经过点1,3，所以m+3m−1【变式5-1】2.（2021秋·江苏泰州·高二泰州市第二中学校考阶段练习）根据下列条件分别求直线l的方程：（1）直线过点P(2,3)（2）直线l经过点B(−2,4)（3）直线l经过点A(−2,2)【答案】（1）3x−2y=0或x−y+1=0；（2）x【分析】（1）设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b，讨论①b=−a=0和②b（2）由题意，求出所求直线的斜率，然后利用点斜式方程求解即可；（3）根据题设条件可设直线方程：y=k(x+2)+2，求出直线与两坐标轴交点(−2−2k【详解】（1）设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b，由题意知，a+b=0①若b=−a=0时，则直线l可得直线l的方程为：3x②若b=−a≠0时，则直线l将点P(2,3)代入得：2a+所以直线l的方程为x−所以直线l的方程为：3x−2y（2）由题可知，所求直线的斜率为±1，又过点B(−2,4)由点斜式得y−4=x+2故所求直线的方程为x−y+6=0（3）根据题意知直线方程的斜率存在且不为0，可设直线方程：y=直线与两坐标轴交点(−2−2k，0)∵与两坐标轴围成的三角形的面积为1，∴12当−2−2k<0当−2−2k>0当−2−2k<0整理，得2k解得k=−2，或k=−∴直线方程为y=−2(x+2)+2当−2−2k>0整理，得2k解得k=−2（舍)，或∴直线方程为y=−12综上所述：所求直线为：x+2y−2=0【变式5-1】3.（2023春·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期中）若3x1+4y1=1,3x【答案】3【分析】根据Ax1,【详解】若3x则点Ax1,点Bx2,即Ax1,y1因为两点确定一条直线,所以由Ax1,y故答案为:3【变式5-1】4.（2023·江苏·高二假期作业）对于问题“求经过点M(2,−1),N(−3,4)的直线l的方程”，某同学采取的方法如下：首先设直线l【答案】不同意，能求出直线方程为x+【分析】联立方程组解得A=−C,【详解】解：不同意．理由如下：由2A−B代入原方程，可得−Cx因为A,B至少有一个不为0，则C≠0故直线方程为x+【变式5-1】5.（2023秋·高二课时练习）当直线方程Ax+(1)过坐标原点；(2)与两条坐标轴都相交；(3)只与x轴相交；(4)是x轴所在直线；(5)设Px0,y0【答案】(1)C=0且A、(2)A、(3)B=0且(4)A(5)证明见解析【分析】（1）将O0,0代入Ax（2）分C=0、C（3）直线只与x轴相交，就是与y轴平行、重合均可，根据直线方程可化成x=（4）将直线方程化为y=0（5）将P代入直线方程得C=−【详解】（1）将O0,0代入Ax+By当C=0且A、B（2）直线Ax+当C=0且A当C≠0时，令x=0时y=−CB所以A、综上所述，A≠0，（3）直线Ax+By+因此直线方程可化成x=故B=0且A（4）x轴的方程为y=0，因此方程Ax+By方程表示的直线是x轴所在直线；（5）因为Px0,y0所以C=−所以方程可化为Ax+即Ax所以这条直线的方程可以写成Ax题型6直线与坐标轴形成三角形问题【例题6】（多选）（2022秋·广东东莞·高二校考期中）若直线l：mx+(2m-1)y-6=0与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值是（

）A．2 B．32 C．3 D．-【答案】AD【分析】根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：∵直线l与两坐标轴围成三角形，∴2m−1≠0，∴m≠1令x=0，解得y令y=0，解得x∴1∴m∴2m2−当2m∵Δ=1−4×2×6=−47<0，∴方程无解；当2m解得m=2或m故选：AD．【变式6-1】1.（2022秋·高二校考课时练习）已知直线l过点P(0，1)，且与x，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于2，则直线l的方程是___.【答案】x【分析】设所求直线方程为y=【详解】设直线l的方程为y=kx+1所以12×1×−1k所以直线l的方程为y=−14故答案为：x【变式6-1】2.（2023·上海·高二专题练习）将直线l:y=2x+1绕其与y轴的交点M逆时针旋转π【答案】1【分析】在直线l:y=2x+1中，令x=0，得M0,1，设直线l的倾斜角为α，则tanα=2，l【详解】在直线l:y=2x+1中，令x直线l:y=2x+1绕其与y轴的交点M设直线l的倾斜角为α，则tanα=2，则l′∴l′的斜率k∴l′的方程为y−1=−3x令y=0，得x=13，∴l′∴l′S△故答案为：16【变式6-1】3.（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）已知直线x＋y－k＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不小于8，则k的取值范围为______．【答案】k≥4或【分析】先求出直线的横纵截距，再利用三角形的面积公式求解即可.【详解】令x=0,得y令y=0,得x由题意知k≠0，由直线x则12解得k≥4或k故实数k的取值范围为k≥4或k故答案为：k≥4或【变式6-1】4.（2021秋·浙江绍兴·高二诸暨中学校考阶段练习）已知直线l过点M(2,1)(1)BM=2(2)当△AOB【答案】(1)x(2)x+2【分析】（1）根据条件BM=2AM可知点M是（2）利用截距式找出两截距关系，再根据代入三角形面积计算中即可找出面积的最小值，继而求出方程.【详解】（1）作MN⊥OA，则由三角形相似，AMAB=ANAO=∴AB方程为x3+y（2）根据题意，设直线l的方程为xa+yb=1∵l过点M(2,1)，∴2a+1b=1，解得化简，得a2∴Δ=4S2−16S⩾0∴S的最小值为4，将S=4代入①式，得a2−8∴b=aa【变式6-1】5.（2022秋·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）设直线l的方程为((1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，△AOB【答案】(1)3x+y(2)−∞,−1(3)△AOB面积的最小值是6，此时直线l的方程为【分析】（1）根据直线过原点、直线与不过原点两种情况进行分类讨论，由此求得直线l的方程.（2）将直线方程化为斜截式，再结合l不经过第二象限列不等式组，解不等式组求得实数a的取值范围.（3）根据A,B两点的位置确定A,B的坐标以及a的取值范围，求得【详解】（1）当直线过原点时满足条件，此时2−a=0,解得a=2当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故a+1=1,解得a=0,可得直线l的方程为:综上所述，直线l的方程为3x+y（2）y=−∵l不经过第二象限,∴−a+1≥0∴实数a的取值范围是−∞,−1.（3）令x=0,解得y=a令y=0,解得x=a−2a综上有a<−1∴S≥3+1当且仅当a=−4∴△AOB(O为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程−3x题型7直线过定点问题【例题7】（2023秋·高二课时练习）不论m取何值，直线(mA．1,−12 B．(−2,1) C．(2,3) 【答案】B【分析】根据题意整理得mx+2−【详解】因为(m−1)x令x+2=0x+所以直线过定点(−2,1).故选：B.【变式7-1】1.（2023·江苏·高二假期作业）不论a取何值时，直线a−3【答案】四【分析】化简直线方程为ax+2y【详解】直线a−3x+2由x+2y=0所以直线a−3x+2因为2,−1在第四象限，故直线a−3故答案为：四.【变式7-1】2.（2022秋·高二课时练习）已知实数a,b满足a+2【答案】(【分析】根据题意化简直线方程为(x+3y【详解】由实数a,b满足a+2代入直线方程ax+3y+联立方程组2x−1=0x所以直线ax+3y+故答案为：(1【变式7-1】3.（2023·高二单元测试）若4A+5B【答案】2【分析】由条件根据直线方程的定义求解.【详解】因为4A+5B所以点23,5所以直线l:Ax+故答案为：23【变式7-1】4.（2022秋·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知向量a=x−3n，1，bA．−2，3 B．3，−2 C．−3，2 D．2，−3【答案】A【分析】根据向量垂直可得数量积为0，得出轨迹方程即可求出轨迹过定点.【详解】∵a∴a即x+2+所以点x，y的轨迹方程为显然不论n取何值，总有x=−2,即点x，y的轨迹过定点故选：A【变式7-1】5.（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知直线l1:x−my+1=0过定点A，直线l2:mx+y【答案】13【分析】根据题意求点A,【详解】对于直线l1:x令y=0，则x+1=0，则x=−1y=0对于直线l2:mx令x−1=0，则y+3=0，则x=1y=−3因为1×m+−m×1=0所以PA2故答案为：13.

【变式7-1】6.（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若直线kx−y+2k−1=0恒过点A，点A也在直线mxA．14 B．12 C．1【答案】B【分析】根据直线的定点可得A−2,−1，进而可得2【详解】因为kx−y+2令x+2=0y+1=0即直线kx−y+2又因为点A也在直线mx+ny+2=0可得2m+n则2m+n=2≥22所以mn的最大值为12故选：B.【变式7-1】7.（2023春·湖南常德·高二常德市一中校考期中）已知直线l的方程为a+1(1)求直线l过的定点P的坐标；(2)直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于点A，B，当△AOB面积最小时，求直线l【答案】(1)2,3；(2)3【分析】（1）将直线l的方程变形，列出方程组即可求解；（2）利用直线的截距式方程设出直线l的方程，根据（1）的结论及基本不等式，结合三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）由题意，直线l的方程可化为a+1联立方程组x−2=0x+所以直线l过的定点P2,3（2）设直线xa+y由（1）知，直线l过的定点P2,3，可得2因为a>0,所以1=2a+当且仅当2a=3b且所以△AOB面积为S此时对应的直线方程为x4+y题型8一般式方程与象限问题【例题8】（2023秋·贵州贵阳·高二统考期末）已知直线l：Ax+By+C=0A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据题意，求出直线在坐标轴上的截距，即可求解.【详解】当x=0时，y=−CB，由即点(0,−C当y=0时，x=−CA，由即点(−C又直线l过点(0,−CB)所以直线l不经过第三象限.故选：C.【变式8-1】1.（2023·高二单元测试）直线ax−by+c=0，其中a【答案】四【分析】依题意可得a，b，c均不为0，令x=0、y【详解】解：因为直线ax−by+c=0其中a显然a，b，c均不为0，令x=0，解得y=cb，令即直线过点0,cb，因为a，b，c符号相同，所以cb>0，所以直线与y轴交于正半轴，与x轴交于负半轴，故直线过一、二、三象限，不过第四象限.故答案为：四【变式8-1】2.（2023秋·高二课时练习）已知直线Ax+A．A>B B．A<B C．【答案】D【分析】分别令x=0、y【详解】由已知A≠0,令x=0得直线在y轴的截距为y令y=0得直线在x轴的截距为x由直线Ax+By+即CA故选：D.【变式8-1】3.（2023秋·广东江门·高二统考期末）直线Ax+By+A．无论A,B取任何值，直线都存在斜率 B．当A=0，且BC．当A≠0，或B≠0时，直线与两条坐标轴都相交 D．当A≠0，且B=0，且【答案】D【分析】结合直线的方程依次分析各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，当A≠0，且B对于B选项，当A=0，且B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交；当A=0，且B≠0对于C选项，当A≠0，且B对于D选项，当A≠0，且B=0，且C=0时，直线方程为x故选：D【变式8-1】4.（多选）（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）已知直线l的方程是Ax+A．A2+B2C．若A⋅B>0，则直线l必过第三象限 D．若A【答案】ABD【分析】根据直线方程的一般式特征即可判断A,B，将一般式转化为斜截式即可判断C,D.【详解】选项A：因为A，B不同时为0，所以A2选项B：若C=0，当x=y选项C、D：若A⋅B>0且A故选:ABD．【变式8-1】5.（2022·高二课时练习）已知直线l:(1)当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值：(2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围.【答案】(1)a=1或(2)1【分析】（1）先求出a≠0且a（2）考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，列出不等式组，求出实数a的取值范围.【详解】（1）由条件知，a≠0且a在直线l的方程中，令y=0得x=a−1∴a−1a=a−1经检验，a=1，1（2）当a=12时，l的方程为：1当a≠12l不通过第四象限，即−a1−2综上所述，当直线不通过第四象限时，a的取值范围为1【变式8-1】6.（2022·高二课时练习）（1）“点P(x0,y0)在直线l（2）是否存在这样的直线l使其满足条件：若点Px,y在直线l上，则点Q4x【答案】（1）充要条件；（2）存在满足条件的直线l，直线l的方程为x+y=0【分析】（1）先证明充分性，将点P(x0,y0)代入直线l并通过整理即可证明，再证明必要性，将Ax−x0（2）先用一般式设出直线方程，再利用待定系数法求直线方程，即可求解【详解】（1）因为点P(x0,y所以Ax0+将C=−Ax0−By因为直线l的方程可表示为Ax−x令C=−Ax将x=x0代入Ax+By所以点P(x0,y综上所述，“点P(x0,y0)在直线l（2）假设存在，则设点Px,y因为点Q4x+2所以A(4x+2方程①②表示同一条直线，若C≠0时，则A=4A若C=0时，所以4A+BB=2当B=A时，直线l:当B=−2A时，l:故所求直线的方程为x+y题型9图像选择问题【例题9】（2022秋·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考期中）直线l1:yA． B．C． D．【答案】D【详解】根据直线方程斜截式与图像的关系进行判断即可．【分析】对于A选项：由l1得a>0，b<0，由l2得对于B选项：由l1得a<0，b>0，由l2得对于C选项：由l1得a>0，b<0，由l2得对于D选项：由l1得a>0，b>0，由l2得故选：D．【变式9-1】1.（2022秋·高二校考课时练习）直线l1:axA．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】化简直线方程分别为l1:y【详解】化简直线方程分别为l1:y显然l1的斜率是l2的纵截距,l1对于A中，由l1的图象，可得−a<0,−由l2的图象，可得−b<0,−对于B中，由l1的图象，可得−a<0,−由l2的图象，可得−b<0,−对于C中，由l1的图象，可得−a>0,−由l2的图象，可得−b>0,−对于D中，由l1的图象，可得−a>0,−由l2的图象，可得−b<0,−故选：B.【变式9-1】2.（2022·高二课时练习）直线l1:axA． B．C． D．【答案】C【分析】将两直线的方程均化为斜截式，先固定l1【详解】直线l1可化为y=ax+bA中，由l1可知，a>0,bB中，由l1可知，a>0,bC中，由l1可知，a<0,bD中，由l1可知，a>0,b故选：C【变式9-1】3.（2022·全国·高三专题练习）方程y=A． B．C． D．【答案】A【分析】分析直线y=ax+【详解】当a>0时，直线y=ax+1a的斜率故选：A.【变式9-1】4.（2023秋·广东惠州·高二统考期末）已知直线l1的方程是y=mx+n，l2的方程是A． B．C． D．【答案】D【分析】有条件知，两直线的斜率均存在且不为0，写出它们的斜截式方程后再进行判断．【详解】解：∵mn≠0，∴直线l1∴直线l1的斜截式方程为y=mx+对于A选项，根据直线l1的图象可知m>0，且n<0，因此直线l对于B选项，根据直线l1的图象可知m>0，且n>0，因此直线l对于C选项，根据直线l1的图象可知m<0，且n>0，因此直线l对于D选项，根据直线l1的图象可知m<0，且n>0，因此直线l故选：D．题型10最值问题【例题10-1】（2023·安徽蚌埠·统考二模）若直线xa+yb=1(【答案】7+43/【分析】由直线xa+yb=1(【详解】∵直线xa+y∴2∴2a+b=2a+∴2a+b故答案为：7+43【变式10-1】1．（2021秋·高二课时练习）已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy（

）A．无最小值,且无最大值 B．无最小值,但有最大值C．有最小值,但无最大值 D．有最小值,且有最大值【答案】D【分析】利用截距式写出线段AB的方程为x3+y【详解】线段AB的方程为x3于是y=4从而xy=4显然当x=32当x=0或3时,xy取最小值0.故选：D【点睛】本题考查了直线的截距式方程、二次函数的图像与性质，属于基础题.【变式10-1】2．（2022·高二课时练习）过点P2,1作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B(1)当OA⋅OB取最小值时，求出最小值及直线(2)当PA⋅PB取最小值时，求出最小值及直线【答案】(1)x4(2)x3【分析】（1）设A(a,0),B(0,b)（2）由(1)可得b=aa−2,则可推出（1）解：根据题意可设直线l的方程为xa+y∵直线l过点P(2,1),∴又2a+1b≥2∴22ab≤1∴|OA|⋅|OB（2）解：由（1）可知2a+1