高中数学同步讲义（人教B版2019必修四）第16讲 第10章 复数章末测试卷

第10章章末测试卷（解析版）时间120分钟，满分150一、单选题1．已知i为虚数单位，下列说法正确的是（

）A．若x2+1=0，则xC．z=x2+1i可能是实数【答案】C【分析】根据复数的概念即可求解.【详解】A.x=±iB.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；C.当x=i时，zD.复数z=2+i故选：C.2．已知平面直角坐标系中O是原点，向量OA,OB对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量A．－5＋5i B．5－5iC．5＋5i D．－5－5i【答案】B【分析】根据向量的运算，结合复数的几何意义求解即可【详解】向量OA,OB对应的复数分别记作z1根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA=(2,−3)，OB由向量减法的坐标运算可得向量BA=根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA对应的复数是5－5i.故选：B3．“a=1”是“复数aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】a2+i1−i=a2−12+【详解】a2a=1时a2+i1−i是纯虚数，充分；故选：A4．设iz=4−3i，则复数A．−3−4i B．−3+4i C．3−4i D．3+4i【答案】A【分析】由题意结合复数的除法运算法则即可求得z的值.【详解】由题意可得：z=故选：A.5．设复数z=1−2iiA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据复数的除法运算求得z，从而求得z，进而求得结果.【详解】复数z=1−2ii=i故选：B.6．若复数z满足z⋅(1+i)=i+3（i是虚数单位），则i⋅A．1 B．2 C．3 D．5【答案】D【分析】给z⋅(1+i)=i+3两边同除i+1，然后根据复数的除法运算求出z，再求出根据复数的模运算求解即可.【详解】因为z所以z所以z所以i⋅故i⋅z的模长为故选：D7．已知i为虚数单位，若复数a+i2−iaA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用纯虚数化简，求出参数a，得复数z在复平面上对应点的坐标即可.【详解】因为复数a+i由a+i2−i=所以a=12所以复数z在复平面上对应的点为1,−1，位于第四象限.故选：D8．在复平面内，复数z对应的点为1,−1，则z1+iA．i B．－i C．2i D．－2i【答案】B【分析】由题可得z=1−i【详解】因为复数z对应点的坐标为1,−1，所以z=1−i所以z1+i故选：B.二、多选题9．已知复数z1，z2，则下列有关复数运算正确的是（

）A．|z1+C．|z1⋅【答案】CD【分析】根据复数乘法和除法的运算法则，结合复数模的运算公式、特例法逐一判断即可.【详解】当z1=1+i,z显然有|z1|=|设z1z1|z|zz1z1所以|z故选：CD10．以下四种说法正确的是（

）A．i9B．复数z=3−2i的虚部为C．若z=(1+i)2，则复平面内zD．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数【答案】ABD【分析】利用复数的乘方运算计算判断A，C；利用复数的意义判断B；利用复数的几何意义判断D作答.【详解】对于A，i9对于B，复数z=3−2i的虚部为−2对于C，z=(1+i)2=2i，则对于D，复平面内，实轴上的点对应的复数是实数，D正确.故选：ABD11．若复数z=i+i2022A．z=2 B．zC．z2为纯虚数 D．【答案】ACD【分析】由i的幂运算的周期性可求得z=−1+i【详解】z=i+对于A，z=对于B，由虚部定义知：z的虚部为1，B错误；对于C，z2对于D，由共轭复数定义知：z=−1−i故选：ACD.12．设复数z=A．z+z=1C．z是方程x2−x+1=0的一个根【答案】ACD【分析】由共轭复数的定义写出z，应用复数加法、乘方运算判断A、B；在复数域内求x2−x+1=0的根判断C；应用复数的三角表示有【详解】由题设，z=12−3所以A正确，B错误；由x2−x由z=12+3故选：ACD三、填空题13．已知复数z满足|z|=5,argz=arctan2．若【答案】9【分析】根据题意求出z=1+2i，然后根据z是实系数一元二次方程3【详解】设z=x+所以yx=2，且复数又复数z满足|z|=5因为z是实系数一元二次方程3x则有3(1+2i)2+所以12+2b=0b故答案为：9.14．复数z1与z2在复平面上对应的向量分别为OZ1与OZ2，已知z1【答案】1−3i【分析】求出OZ1的坐标，再设【详解】依题意，OZ1=(由OZ1⊥OZ2得：联立解得x=1y=−3或x=−1所以z2=1−3故答案为：1−3i15．若a−2i2+i=b−i（a【答案】73【分析】根据复数乘法运算及复数相等求出a,【详解】因为a−2i所以2a+2=b则a2故答案为：7316．已知z1=3，z2=5，【答案】4【分析】设z1=a+bi，【详解】设z1=a∵z1=a2+b∴z解得：ac+∴z∴z故答案为：42四、解答题17．（1）求1+i1−i（2）若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个根是【答案】（1）−1+i；（2）m【分析】（1）由复数的乘法和除法运算化简复数即可得出答案.（2）将1+2i代入方程，根据实部、虚部为0求得【详解】（1）1+i1−i=1+i2+所以1+i1−i（2）因为1+2i为方程所以1+2i2所以n+m−1=0且2所以m18．对于复数z，z1z1≠0，称复数zz(1)计算复数2aia(2)若复数2+2i关于cosθ+isin【答案】(1)a(2)π【分析】（1）根据题目信息计算可得.（2）求出复数2+2i关于cosθ+isinθ0<【详解】（1）因为2a即复数2aia∈R关于（2）∵2+2=(2cosθ因为0<θ所以θ+π4又因为2cos故θ=19．求同时满足下列两个条件的所有复数z．①1<z②z的实部和虚部都是整数．【答案】z=1±3i或z【分析】设z=x+yi(x【详解】设z=则z+∵1<z+10z由①得y=0或x将y=0代入②，得1<则x>0，则x+10∴y≠0，将x2+y又x，y为整数，∴x1=1y故z=1±3i或z20．已知复数z=3x−(1)若f(x)=8，且x(2)当f(x)【答案】(1)6(2)−【分析】（1）由复数的实部、虚部的运算，可得f(x)=x2（2）先求出函数取最小值时x对应的值，再结合复数的除法运算即可得解.【详解】（1）由题意可得f(因为f(x)=8又x>0，所以x=2，即则iz所以复数iz的虚部为6（2）因为f(x)=x2此时，z=−3−2i则z1+2i所以z1+2i的实部为−21．复数z=(1+i)2(1)求z及z；(2)若z2+az+【答案】(1)z=−1+3i，(2)a【分析】（1）首先根据复数的运算求解出复数z，进而根据复数的模长公式求解z；（2）首先将z=−1+3i代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数a，b【详解】（1）∵z=∴z=（2）由（1）可知z=−1+3i，由z2+a即(−8−a+b)+(−6−322．已知复数z1=2c