2025年仁爱科普版高一数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年仁爱科普版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、在△ABC中，已知a=2，b=x；B=30°．如果△ABC有两个解，那么x的取值范围（）

A.x＞1

B.0＜x＜1

C.1＜x＜2

D.1＜x≤2

2、设是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.3、记a，b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程有两个不同实根的概率为（）A.B.C.D.4、【题文】函数f(x)＝的定义域是（）A.－∞，0]B.[0，＋∞C.（－∞，0）D.（－∞，＋∞）5、下列命题正确的是(

)

A.overset{a/!/b}{asubsetalpha}}?b/!/娄脕B.overset{aperpalpha}{bperpalpha}}?a/!/bC.overset{aperpalpha}{aperpb}}?b/!/娄脕D.overset{a/!/alpha}{aperpb}}?b隆脥娄脕评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)6、如图，在⊙O中，∠ACB=∠D=60°，OA=2，则AC的长为____．7、在锐角三角形ABC中，cos（A+B）=sin（A-B），则tanA=____．8、设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离为____．9、若函数与函数在区间上都是减函数，则实数的取值范围是.10、【题文】设集合若则=____11、若方程|2x﹣1|=a有唯一实数解，则a的取值范围是____12、已知函数f（x）=（）x的图象与函数g（x）的图象关于直线y=x对称；令h（x）=g（1﹣|x|），则关于h（x）有下列命题：

①h（x）的图象关于原点对称；

②h（x）为偶函数；

③h（x）的最小值为0；

④h（x）在（0；1）上为减函数．

其中正确命题的序号为：____．13、如果函数y=x2+（1﹣a）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是____14、若向量的夹角为60°，则=______．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)15、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．16、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．17、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．18、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．19、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．20、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．21、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．评卷人得分四、计算题(共1题，共9分)22、设A（x1，2012），B（x2，2012）是二次函数y=ax2+bx+2009（a≠0）的图象上的两点，则当x=x1+x2时二次函数的值为____．评卷人得分五、解答题(共2题，共6分)23、函数f（x）=a2x+2ax-1（a＞0；且a≠1）

（1）若a=2；求y=f（x）的值域。

（2）若y=f（x）在区间[-1；1]上有最大值14．求a的值；

（3）在（2）的前题下，若a＞1，作出f（x）=a|x-1|的草图；并通过图象求出函数f（x）的单调区间．

24、【题文】设集合．

（1）若求实数的取值范围；

（2）若且求实数的取值范围．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、A【分析】

根据正弦定理=得：=即x=

∵△ABC有两个解；sinA＜1；

∴1＜x＜2．

故选A

【解析】【答案】由正弦定理列出关系式；表示出x，根据sinA的范围及三角形有两解即可求出x的范围．

2、D【分析】试题分析：根据单位向量的定义：把模为1的向量称为单位向量，依题可知而这两个向量的方向并没有明确，所以这两个单位向量可能共线，也可能不共线，所以A、B、C错误，D正确.考点：平面向量的基本概念.【解析】【答案】D3、B【分析】试题分析：记分别是投掷两次骰子所得的数字，总事件一共种；方程有两个不同实根则∴当时，当时，当时，当时，共9种情况，所以概率为考点：古典概型.【解析】【答案】B4、A【分析】【解析】本题考查的是已知函数求定义域。由条件可知，函数f(x)＝应满足即解得所以应选A。【解析】【答案】A5、B【分析】解：对于A{a鈯�伪a//b?b//娄脕

或b?娄脕

故错；

对于B{b鈯�伪a鈯�伪?a//b

故正确；

对于C{a鈯�ba鈯�伪?b//娄脕

或b?娄脕

故错；

对于D{a鈯�ba//伪

则b

与娄脕

的位置关系不定；故错；

故选：B

利用空间中线线；线面、面面间的位置关系求解．

本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．【解析】B

二、填空题(共9题，共18分)6、略

【分析】【分析】根据圆周角定理先求∠AOB=120°，再求得∠OAB=∠OBA=30°，根据垂径定理可求AD=BD=，即可求AB=．【解析】【解答】解：过点0作OE⊥AC于E；

∵∠ACB=∠D=60°；

∴∠BAC=60°；

∴∠OAC=30°；

∵OA=2；

∴OE=1

∴AE=

∴AC=．

故答案为．7、略

【分析】

∵cos（A+B）=sin（A-B）；

∴cosAcosB-sinAsinB=sinAcosB-cosAsinB

∴两边同除cosA；可得cosB-tanAsinB=tanAcosB-sinB

∴（tanA-1）（cosB+sinB）=0

∴tanA=1

故答案为：1

【解析】【答案】利用和角；差角公式展开；再两边同除cosA，可得结论．

8、略

【分析】

M为AB的中点设为（x；y，z）；

∴x==2，y=z==3；

∴M（2，3）；

∵C（0；1，0）；

∴MC==

故答案为：．

【解析】【答案】设出点M的坐标；利用A，B的坐标，求得M的坐标，最后利用两点间的距离求得答案．

9、略

【分析】【解析】试题分析：因为f(x)和g(x)在[1,2]上都是减函数，所以a应满足考点：二次函数与反比例函数的单调性.【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】就是两直线平行，所以【解析】【答案】-211、a≥1或a=0【分析】【解答】解：作函数y=|2x﹣1|的图象如下；

结合图象可知；

当a=0时，方程|2x﹣1|=a有唯一实数解；

当0＜a＜1时，方程|2x﹣1|=a有两个实数解；

当a≥1时，方程|2x﹣1|=a有唯一实数解；

故答案为：a≥1或a=0．

【分析】作函数y=|2x﹣1|的图象，从而结合图象讨论方程的根的个数即可．12、②③【分析】【解答】解：根据题意可知g（x）=（x＞0）

∴（1﹣|x|）＞0

∴﹣1＜x＜1

∴函数h（x）的图象为。

∴②③正确．

【分析】根据题意画出h（x）的图象就一目了然．13、a≥9【分析】【解答】解：函数y=x2+（1﹣a）x+2的开口向上，对称轴为：x=函数在区间（﹣∞，4]上是减函数；

可得≤4；

解得a≤9．

故答案为：a≤9．

【分析】判断函数的开口方向，求出对称轴，列出不等式求解即可．14、略

【分析】解：

故答案为．

用向量的数量积公式求值，将则展开后；用内积公式与求模公式求值．

考查内积公式及向量模的公式，属于向量里面的基本题型．【解析】三、证明题(共7题，共14分)15、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．16、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．17、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．18、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．19、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．20、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．21、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．四、计算题(共1题，共9分)22、略

【分析】【分析】据x=x1+x2=-，将x=-代入y=ax2+bx+2009即可求出．【解析】【解答】解：由x=x1+x2=-；

则y=ax2+bx+2009=a（-）2+b（-