2020-2022年北京市初三一模数学试题汇编：图形的旋转

第1页/共1页2020-2022北京初三一模数学汇编图形的旋转一、单选题1．（2021·北京东城·一模）如图，△ABC经过变换得到△AB'C'，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是（）A． B．C． D．二、填空题2．（2022·北京顺义·一模）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，得到矩形EFCG，连接AE，取AE的中点H，连接DH，则_______．三、解答题3．（2022·北京大兴·一模）已知，如图，，线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AC．连接BC，OA，OC，过点O作于点D．(1)依题意补全图形；(2)求的度数．4．（2022·北京门头沟·一模）如图，在等边△ABC中，将线段AC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜60°），得到线段AD，连接CD，作∠BAD的平分线AE，交BC于E．(1)①根据题意，补全图形；②请用等式写出∠BAD与∠BCD的数量关系，并证明．(2)分别延长CD和AE交于点F，用等式表示线段AF，CF，DF的数量关系，并证明．5．（2022·北京丰台·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BC上（不与点B，C重合），连接AD，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转180°﹣α得到线段AE，连接BE．(1)∠BAC+∠DAE＝°；(2)取CD中点F，连接AF，用等式表示线段AF与BE的数量关系，并证明．6．（2022·北京西城·一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE，连接EA，EC．(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE的面积为______；(2)当点E在正方形ABCD的外部时，①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．7．（2022·北京通州·一模）如图，在中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D是BC延长线上一点，连接AD．将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE．过点E作，交AB于点F．(1)①直接写出∠AFE的度数是______；②求证：∠DAC＝∠E；(2)用等式表示线段AF与DC的数量关系，并证明．8．（2021·北京朝阳·一模）如图，在等腰三角形中，为边的中点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点F．（1）依题意补全图形；（2）求的度数；（3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明．9．（2021·北京石景山·一模）在中，，点E是内一动点，连接，将绕点A顺时针旋转a，使边与重合，得到，延长与射线交于点M（点M与点D不重合）．（1）依题意补全图1；（2）探究与的数量关系为___________；（3）如图2，若平分，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．10．（2021·北京朝阳·一模）对于平面直角坐标系中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”．（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．①若点A的坐标为，则点B的坐标为_______；②若点B的坐标为，则点A的坐标为_______．（2）．线段关于点G的“垂直图形”记为，点E的对应点为，点F的对应点为．①求点的坐标（用含a的式子表示）；②若的半径为，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的长度的最大值．11．（2020·北京·一模）四边形是正方形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，过点作交的延长线于，连接．（1）依题意补全图1；（2）直接写出的度数；（3）连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

12．（2020·北京大兴·一模）已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点．点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：（1）如图2，在正方形ABCD中，点_____为线段BC关于点B的逆转点；（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，0），且x＞0，点E是y轴上一点，点F是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．①补全图；②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明；③若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．13．（2020·北京通州·一模）已知线段AB，过点A的射线l⊥AB．在射线l上截取线段AC＝AB，连接BC，点M为BC的中点，点P为AB边上一动点，点N为线段BM上一动点，以点P为旋转中心，将△BPN逆时针旋转90°得到△DPE，B的对应点为D，N的对应点为E．（1）当点N与点M重合，且点P不是AB中点时，①据题意在图中补全图形；②证明：以A，M，E，D为顶点的四边形是矩形．（2）连接EM．若AB＝4，从下列3个条件中选择1个：①BP＝1，②PN＝1，③BN＝，当条件（填入序号）满足时，一定有EM＝EA，并证明这个结论．14．（2020·北京房山·一模）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点M为BC中点．点P为AB边上一动点，点D为BC边上一动点，连接DP，以点P为旋转中心，将线段PD逆时针旋转90°，得到线段PE，连接EC．（1）当点P与点A重合时，如图2．①根据题意在图2中完成作图；②判断EC与BC的位置关系并证明．（2）连接EM，写出一个BP的值，使得对于任意的点D总有EM＝EC，并证明．15．（2020·北京延庆·一模）如图1，在等腰直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC=3，在边AB上取一点D（点D不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE=AD，连接DE.把△ADE绕点A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图2．（1）请你在图2中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；（2）请你在图3中，画出当α=45°时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积；（3）若AD=1，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段AM的最小值是．

参考答案1．D【分析】分别确定每个选项中的各组对应点，各组对应线段，观察变换前后的位置特征结合轴对称变换与旋转变换的特征逐一分析，从而可得答案.【详解】解：选项A体现的是把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到故A不符合题意；选项B体现的是把△ABC沿某条直线对折得到故B不符合题意；选项C体现的是把△ABC沿某条直线对折得到故C不符合题意；选项D体现的是把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是轴对称变换，旋转变换，掌握轴对称变换与旋转变换的特征是解题的关键.2．【分析】根据题意构造并证明，通过全等得到，再结合矩形的性质、旋转的性质，及可求解；【详解】如图，延长DH交EF于点k，∵H是的中点又则故答案为：【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形的全等证明，掌握相关知识并结合旋转的性质正确构造全等三角形是解题的关键．3．(1)作图见解析；(2)∠DOC=15°．【分析】（1）由题意，只要过点O作于点D即可．(2)过点A作AE⊥BO于E，由题意可得∠1=30°，∠2=15°，∠3=15°，证明AD=DC，可得到∠DOC=∠AOD，从而得解．（1）解：由题意可以补全图形如下：（2）解：如图，过点A作AE⊥BO于E，∴∠AEB=90∘，∵∠ABO=150°，∴∠1=30°，∠BAE=60°，又∵BA=BO，∴∠2=∠3=15°，∴∠OAE=75°，∵∠BAC=90°，∴∠4=75°，∴∠OAE=∠4，∵OD⊥AC于点D，∴∠AEO=∠ADO=90°，在△AOE和△AOD中，，∴△AOE≌△AOD，∴AE=AD，在Rt△ABE中，∠1=30°，∴AE=AB，又∵AB=AC，∴AE=AD=AB=AC，∴AD=CD，又∵∠ADO=∠CDO=90°，∴OA=OC，∴∠DCO=∠4=75°，∴∠DOC=15°．【点睛】本题考查旋转的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形和直角三角形的性质是解题关键．4．(1)①作图见解析；②∠BAD＝2∠BCD，证明见解析(2)AF＝CF+DF，证明见解析【分析】（1）①依照题意画出图形即可；②由等边三角形的性质和等腰三角形的性质分别求出∠BAD和∠BCD的度数，即可求解；（2）由角的数量关系可求∠F＝60°，由直角三角形的性质可求解．（1）解：①补全图形，如图所示：②∠BAD＝2∠BCD，证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∵将线段AC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜60°），得到线段AD，∴AC＝AD，∠CAD＝α，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠BAD＝60°﹣α，∠BCD60°＝30°，∴∠BAD＝2∠BCD；（2）解：AF＝CF+DF，证明：如图，过点A作AH⊥CD于H，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF＝30°，∴∠F＝∠ADC﹣∠DAF（30°）＝60°，∵AH⊥CD，∴∠FAH＝30°，∴AF＝2FH，∵AD＝AC，AH⊥CD，∴DH＝CHCD，∴AF＝2FH＝2（CF﹣CH）＝2（CFCD）＝2[CF（CF﹣DF）]＝CF+DF．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，求出∠F的度数是解题的关键．5．(1)180(2)，证明见解析；【分析】（1）由旋转可知∠DAE=180°-a，所以得到：∠BAC+∠DAE=a+180°-a=180°；（2）连接并延长AF，使FG=AF，连接DG，CG；因为DF=CF，AF=GF；可以得到四变形ADGC为平行四边形；从而有∠DAC+∠ACG=180°，再证∠ACG=∠BAE继而证明△ABE≌△CAG得到BE=AG，即可得线段AF与BE的数量关系；【详解】（1）解：由旋转可知∠DAE=180°-a，∠BAC+∠DAE=a+180°-a=180°故答案为：180（2）解：如图所示：连接并延长AF，使FG=AF，连接DG，CG；∵DF=CF，AF=GF；∴四变形ADGC为平行四边形；∴∠DAC+∠ACG=180°，即∠ACG=180°-∠DAC，∠BAE=∠BAC+∠DAE-∠DAC=180°-∠DAC，所以∠ACG=∠BAE，∵四变形ADGC为平行四边形；∴AD=CG，又∵AD=AE，AE=CG，在△ABE和△CAG中，∴△ABE≌△CAG，∴BE=AG，∴AF=AG=BE，故线段AF与BE的数量关系：AF=；【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转角的定义，以及全等三角形的性质的判定，解题的关键是熟悉并灵活应用以上性质．6．(1)135，(2)①作图见解析，45°；②【分析】（1）过点E作于点K，由正方形的性质、旋转的性质及角平分线的定义可得，再利用等腰三角形的性质和解直角三角形可求出，，继而可证明，便可求解；（2）①根据题意作图即可；由正方形的性质、旋转的性质可得，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质求出，即可求解；②过点B作垂足为H，由等腰三角形的性质得到，再证明即可得到，再推出为等腰直角三角形，即可得到三者之间的关系．（1）过点E作于点K四边形ABCD是正方形BE平分∠ABC，AB=4，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE，，四边形ABCE的面积为故答案为：135，（2）①作图如下四边形ABCD是正方形由旋转可得，②，理由如下：如图，过点B作垂足为H，∠EBC的平分线BF交EC于点G为等腰直角三角形即【点睛】本题属于四边形和三角形的综合题目，涉及正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等，灵活运用上述知识点是解题的关键．7．(1)①；②见解析(2)；证明见解析【分析】（1）①根据AC=BC，∠ACB=90°，得出，根据，得出，即可得出的度数；②延长EF交EF于点G，并得出，由，，得出∠DAC＝∠E；（2）先证明，得出，根据得出，从而得出，即可得出．（1）解：①∵AC=BC，∠ACB=90°，，，，；②延长EF交EF于点G，如图所示：，，，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，，；（2）；理由如下：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，，∵在和中，，，，，，．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解直角三角形，旋转的性质，作出相应的辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．8．（1）见解析；（2）60°；（3），证明见解析【分析】（1）根据画旋转图形的步骤，找旋转中心，确定旋转方向、旋转角画图即可．（2）现根据旋转得出AB=AE，再得出∠BAC+∠ABC+∠E=120°，根据△ABC是等腰三角形利用角一半的关系得出∠BAF+∠ABF=60°，利用三角形外角得出∠AFE的度数．（3）先证明，在利用旋转得出△AFM是等边三角形，得出结论．【详解】（1）解：依题意补全图形，如图．（2）解：，D为边的中点，∴．∵线段绕点A逆时针旋转得到线段，∴．∴，在中，，∴．即．∴．（3）．证明：如图，在上取点M，使，连接．∵AB=AC又AC=AE∴AB=AE∴△ABE是等腰三角形∴∠ABE=∠AEB又BF=EM∴．∴．又∠AFE=60°∴是等边三角形．∴．∴．【点睛】本题考查旋转的知识、等腰三角形、全等三角形的知识．灵活利用角的和差倍分关系是本题的难点．9．（1）图见解析；（2）=；（3），证明见解析．【分析】（1）依据题中语句根据旋转的性质作出图形即可；（2）根据旋转前后对应角相等，再利用邻补角和等角的补角相等即可得出结论；（3）根据角平分线和旋转的性质可证AE//BM，再利用（2）中的结论和平行线的性质进一步证明∠MEA=∠DAE，∠DME=∠MDA，根据等角对等边可得AN=NE,MN=DN，利用线段的和差可得结论．【详解】解：（1）补全图如下：（2）∵绕点A顺时针旋转a，使边与重合，∴∠AEC=∠ADB，∵∠AEC+∠AEM=180°，∠ADB+∠ADM=180°，∴∠ADM=∠AEM，故答案为：=；（3），证明如下：∵绕点A顺时针旋转a，使边与重合，∴EC=BD,AE=AD，∴∠ADE=∠AED，又∵DE平分∠ADB,∴∠ADE=∠BDE，∴∠AED=∠BDE，∴AE//BD，∴∠MDA=∠DAE，∠DME=∠MEA，∵由（2）得∠MEA=∠MDA，∴∠MEA=∠DAE，∠DME=∠MDA，∴AN=NE，MN=DN，∴ME=AD，∴．【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的性质和判定，等角对等边等．（1）中能结合语句作出图形是解题关键；（2）中理解旋转前后对应角相等是解题关键；（3）中能根据旋转和平行线证明角相等从而得出线段相等是解题关键．10．（1）①；②；（2）①；②【分析】（1）①点A在y轴上，则点B在x轴上，且OB=OA=2，从而易得点B的坐标；②由OA=OB，过A、B分别作x轴的垂线于N、M，则可得△ANO≌△OMB，故有AN=OM=2，ON=BM=1，再由点在第二象限，从而可得点A的坐标；（2）①分别过点E、E作x轴的垂线，垂足分别为H、Q，则由，可得,由此可得点的坐标；②由①知，点的两个坐标相等，表明点在第一、三象限的角平分线上，当点位于第一象限的圆上时，最大,此时，从而可得点坐标为，这样可求得的最大值．【详解】解：（1）①因点A在y轴上，故点B必在x轴正半轴上，又OB=OA=2，所以点A坐标为；故答案为：．②如图，过A、B分别作x轴的垂线于N、M．则∠ANO=∠OMB=90，∴∠AON+∠A=90°∵∠AOB=90°，∴∠AON+∠BOM=90°，∴∠A=∠BOM，∵OA=OB，∴△ANO≌△OMB，∴AN=OM=2，ON=BM=1，根据题意，点A必在第二象限，∴A．故答案为：．（2）①如图，过点E作轴于点H，过点作轴于点Q．由题意可知，．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．②∵EF∥x轴∴轴连接，延长交x轴于点H，则轴；过点作x轴的平行线，过点E作y轴的平行线，两线交于点D，则，如图所示；由①知，点的两个坐标相等，∴，表明点在第一、三象限的角平分线上，且位于与圆相交的圆内的一条线段上运动，当点位于第一象限上的圆上时，即时，最大，∵△是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，，在中，由勾股定理得：，即的最大值为：．【点睛】本题考查了新定义，对于新定义这类问题，关键是弄清楚新定义的含义，抓住问题的实质，本题新定义的实质是旋转，通过作x轴的垂线，构造两个全等的直角三角形，问题便容易解决．11．（1）见解析；（2）；（3），理由见解析【分析】（1）按照题中的表述画出图形即可；（2）由题意可知，CD=CE=CB，∠ECD=2α，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，根据题中角度关系推理即可；（3）作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，先通过条件证明△HAB≌△FAD，可得HB=FD，AH=AF，HF=DE，∠H=45°，从而知道HF与AF的数量关系，即可得线段AF与DE的数量关系．【详解】解：（1）补全图形，如图所示．（2），设DF与AB交于点G，如图所示：由题意得，CD=CE=CB，∠ECD=2α，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∴∠EDC=90°-α，∠BCE=90°-2α，∴∠CBE=45°+α，∠ADF=α，∴∠ABE=45°-α．∵BF⊥DE，∴∠BFD=90°．∵∠AGD=∠FGB，∴∠FBG=α∴∠FBE=∠FEB=45°；（3）．证明：如图，作，交的延长线于点，设与交于点，根据题意可知，．．．．，．，．．．，．．．．．．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，数量掌握相关性质及定理是解题的关键．12．（1）A；（2）①补图见解析；②GF⊥x轴；证明见解析；③y=．【分析】（1）根据点C为线段AB关于点A的逆转点的定义判断即可．（2）①按题干定义补图即可．②结论：GF⊥x轴．证明△GEF≌△PEO（SAS），推出∠GFE＝∠EOP＝90°可得结论．③分两种情形：如图4﹣1中，当0＜x＜5时，如图4﹣2中，当x＞5时，分别利用三角形的面积公式求解即可．【详解】解：（1）由题意，点A是线段AB关于点B的逆转点，故答案为A．（2）①图形如图3所示．②结论：GF⊥x轴．理由：∵点F是线段EF关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，∴∠OEF＝∠PEG＝90°，EG＝EP，EF＝EO，∴∠GEF＝∠PEO，∴△GEF≌△PEO（SAS），∴∠GFE＝∠EOP，∵OE⊥OP，∴∠POE＝90°，∴∠GFE＝90°，∵∠OEF＝∠EFH＝∠EOH＝90°，∴四边形EFHO是矩形，∴∠FHO＝90°，∴FG⊥x轴．③如图4﹣1中，当0＜x＜5时，∵E（0，5），∴OE＝5，∵四边形EFHO是矩形，EF＝EO，∴四边形EFHO是正方形，∴OH＝OE＝5，∴y＝•FG•PH＝•x•（5﹣x）＝﹣x2+x．如图4﹣2中，当x＞5时，y＝•FG•PH＝•x•（x﹣5）＝x2﹣x．综上所述，y=．【点睛】此题主要考查旋转，结合题干中新定义，按照旋转法则解题，涉及到求三角形面积问题．13．（1）①补全图形见解析；②证明见解析；（2）③．【分析】（1）①按照题中叙述画出图形即可；②如图，连接AE，AM．由题意可知△ABC是等腰直角三角形，由旋转可知△DPE≌△BPN，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一个角是直角的四边形是矩形进行判断即可；（2）当条件③BN=满足时，一定有EM=EA．先证明四边形FMDE是矩形再证明FE垂直平分AM，从而可得答案．【详解】（1）①补全图形如下：②证明：如图，连接AE，AM．由题意可知：D在BC上，△ABC是等腰直角三角形，则AM⊥BC，AM＝BC，∵旋转，∴△DPE≌△BPN，∴DE＝BN＝BC，∠EDP＝∠PBD．∴∠EDB＝∠EDP+∠PDB＝∠PBD+∠PDB＝90°，∴ED⊥BC，∴ED∥AM，且ED＝AM，∴四边形AMDE为平行四边形．又∵AM⊥BC，∴∠AMD＝90°，∴四边形AMDE是矩形．（2）答：当条件③BN＝满足时，一定有EM＝EA．证明：与（1）②同理，此时仍有△DPE≌△BPN，∴DE＝BN＝，DE⊥BC，取AM的中点F，连接FE，如图所示：∵AB＝4，则AM＝4×sin45°＝2，∴FM＝．∴ED∥FM，且ED＝FM，∴四边形FMDE是平行四边形，又FM⊥BC，∴∠FMD＝90°，∴四边形FMDE是矩形．∴FE⊥AM，且FA＝FM＝，∴EA＝EM．故答案为：③．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定及全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．14．（1）①作图见解析；②EC⊥BC．证明见解析；（2）EM＝EC．证明见解析；【分析】（1）①由题意直接根据要求画出图形即可．②结论：EC⊥BC．证明△BAD≌△CAE，推出∠ACE=∠B=45°即可解决问题．（2）由题意可知当BP=时，总有EM=EC．如图3中，作PS⊥BC于S，作PN⊥PS，并使得PN=PS，连接NE，延长NE交BC于Q，连接EM，EC．通过计算证明QM=QC，利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．【详解】解：（1）①图形如图2中所示：②结论：EC⊥BC．理由：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠EAD＝∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴EC⊥BC．（2）当BP＝时，总有EM＝EC．理由：如图3中，作PS⊥BC于S，作PN⊥PS，并使得PN＝PS，连接NE，延长NE交BC于Q，连接EM，EC．∵PD