2024年四川省广元市中考数学试题（含答案解析）

广元市2024年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试

数学

说明：全卷满分150分，考试时间120分钟.

第I卷选择题（共30分）

一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意.每小题3分，共30分）

1.将-1在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（

-----1----1------------>

-10

A.-1B.1C.-3D.3

2.下列计算正确的是（）

A.+a3-a6B.a6a3=a2C.+=a2+b2D.（加了://

3.一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（）

P

1视方向

\、

、、

D.\

、»

4.在“五・四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91,96,9：5,92,94,95,95,分析这组

数据，下列说法错误的是（）

A.中位数是95B.方差是3C.众数是95D.平均数是94

5.如图，已知四边形A3CD是。的内接四边形，E为A。延长线上一点,ZAOC=128°,则NC£）£

等于（）

&

A.64°B.60°C.54°D.52°

6.如果单项式-必">3与单项式2x4,2-"的和仍是一个单项式，则在平面直墀J坐标系中点（租,力在（）

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.如图，将一ABC绕点A顺时针旋转90°得到VADE,点、B,C的对应点分别为点。，E,连接CE,点

。恰好落在线段CE上，若CD=3,BC=1,则A。的长为（）

B.5C.2D.2&

8.我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插

绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”.现需要购买A、8两种绿植，已知A种绿植单价是8种绿

植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株.设2种绿植单价是尤元,

则可列方程是（）

6750uc3000300056750

3xx3xx

6750s30003000s6750

C.------+50=-------D.------+50=-------

3xx3xx

9.如图①，在一ABC中，NACB=90。，点P从点A出发沿A—C—3以lcm/s的速度匀速运动至点5,图

②是点尸运动时,的面积y（cm2）随时间无（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边A3的长为

C.3行D.2A/3

10.如图，已知抛物线丁=加+以+。过点。（0,-2）与x轴交点的横坐标分别为毛，巧，且

-1<XJ<0,2<x2<3,则下列结论：

@a—b+c<0；

②方程依2+6x+c+2=0有两个不相等的实数根;

③〃+/?>0；

2

@a>~；

⑤k―4函>4/.其中正确的结论有（）

2

A.1个B.2个C.3个D.4个

第n卷非选择题(共120分)

二、填空题(把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分)

11.分解因式：(a+1)2—4a=.

12.2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产

生阿秒光脉冲的实验方法”.什么是阿秒？1阿秒是KT"秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一.目前世

界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒.将43阿秒用科学记数法表示为秒.

13.点尸是正五边形A5CDE边。E的中点，连接3歹并延长与延长线交于点G,则/5GC的度数为

/、111

14.若点Q(x,y)满足一+—=一，则称点。为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标____.

xyxy

15.已知y=6x与y="(x>0)的图象交于点,点B为y轴上一点，将,(MB沿OA翻折，使

k

点B恰好落在y=—(%>0)上点C处，则B点坐标为.

16.如图，在ABC中，AB=5,tanZC=2,则+的最大值为

5

3

三、解答题(要求写出必要的解答步骤或证明过程.共96分)

17.计算：(2024—兀)°+|6—，+tan60°—.

18.先化简，再求值：，+尸一",_立,其中小匕满足力―勿=0.

a-ba"-2ab+ba+b

(1)尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交CD于点、E,交A3于点长(不写作法，保留作图痕迹)

(2)连接AE、CF.求证：四边形AFCE是菱形.

20.广元市开展“蜀道少年”选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道、了解蜀道、热爱蜀道、宣传蜀道，

进一步挖掘和传承古蜀道文化、普及蜀道知识.为此某校开展了“蜀道文化知识竞赛”活动，并从全校学

生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析(竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等

级：A：90<x<100；B-80<x<90；C：70<x<80；D-.60Vx<70；E-.50<^<60).并绘制了如下

尚不完整的统计图.

抽取学生成绩等级人数统计表

等级ABCDE

人数m2730126

抽取学生成墙等爆扇形统H■图

其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是120。.

(1)样本容量,m=；

(2)全校1200名学生中，请估计A等级的人数；

(3)全校有5名学生得满分，七年级1人，八年级2人，九年级2人，从这5名学生中任意选择两人在国

4

旗下分享自己与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法，求这两人来自同一个年级的概率.

21.小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角々的正弦值与折射角夕的正弦值的

比值诉叫做介质的“绝对折射率”’简称“折射率”.它表示光在介质中传播时’介质对光作用的一种

特征.

（1）若光从真空射入某介质，入射角为c，折射角为夕，且cosa="，〃=30。，求该介质的折射

4

率；

（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A,B,C,。分别是长方体棱的中

点，若光线经真空从矩形对角线交点。处射入，其折射光线恰好从点C处射出.如图②，已知

a=60°,CD=10cm,求截面ABCD的面积.

22.近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩.某服装店直接从工厂购进

长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表：

价格/类别短款长款

进货价（元/件）8090

销售价（元/件）100120

（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；

（2）第一次购进两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都

不变），且第二次进货总价不高于16800元.服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最

大销售利润是多少？

23.如图，己知反比例函数乂=勺和一次函数%="优+〃的图象相交于点4（—3,a），Ba+»,-2）两

X

点，O为坐标原点，连接Q4,OB.

5

X

(2)当％〉当时，请结合图象直接写出自变量尤的取值范围；

(3)求_403的面积.

24.如图，在.ABC中，AC=BC,/ACB=90。，。经过A、C两点，交A5于点。，CO的延长线交

AB于点EDE〃CF交BC于点、E.

(2)若AC=4,tanNCED=2,求；。的半径.

25.数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的

一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形(如图1)产生了如下问

题，请同学们帮他解决.

在中，点。为边A5上一点，连接CD.

(1)初步探究

6

如图2,若NACD=4,求证：AC2=ADAB；

(2)尝试应用

如图3,在(1)的条件下，若点。为A5中点，BC=4,求CD的长；

(3)创新提升

如图4,点£为CD中点，连接3E,若NCDB=NCBD=30。,ZACD=ZEBD,AC=2币,求BE

长.

26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线Ry=-必+6x+c经过点4(-3,-1),与y轴交于点

5(0,2),

(1)求抛物线的函数表达式；

CD

(2)在直线AB上方抛物线上有一动点C,连接0c交AB于点。，求——的最大值及此时点C的坐标；

0D

(3)作抛物线尸关于直线y=T上一点的对称图象b'，抛物线/与F只有一个公共点E(点E在y轴右

侧)，G为直线A3上一点，X为抛物线尸'对称轴上一点，若以8,E,G,X为顶点的四边形是平行四边形，

求G点坐标.

7

答案解析

第I卷选择题（共30分）

一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意.每小题3分，共30分）

1.【答案】B

【详解】根据题意：数轴上T所对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是1.

2.【答案】D

【详解】解：A.。3+。3=2。3,故该选项不正确，不符合题意；

B.故该选项不正确，不符合题意；

C.（a+by=a2+2ab+b~,故该选项不正确，不符合题意；

D.（tz&2）2=a2^4,故该选项正确，符合题意.

3.【答案】C

【详解】解：从上面看，如图所示：

4.【答案】B

【详解】解：将数据从小到大排列为91,92,94,95,95,95,96,共7个数据，居中的一个数据是95,

...中位数是95,故A选项正确；

这组数据中出现次数最多的数据是95,故众数是95,故C选项正确；

这组数据的平均数是工（91+92+94+95+95+95+96）=94,故D选项正确；

这组数据的方差为工［（91一94）2+（92-94）2+（94-94）2+（95-94）2x3+（96-94『］=弓，故B选项

错误；

5.【答案】A

【详解】解：•NA5C是圆周角，与圆心角/AOC对相同的弧，且NAOC=128°,

ZABC=-ZAOC=-xl28°=64°,

22

又・四边形A3CD是。的内接四边形，

:.ZABC+ZADC=18Q°,

又・ZCDE+ZAZ)C=180°,

8

ZCDE=ZABC=64°,

6.【答案】D

【详解】解：:.单项式-必",〉3与单项式2/y2f的和仍是一个单项式,

单项式-X2^3与单项式2/y2f是同类项，

2m=4,2—〃=3,

解得,m=2,n=-l,

.•.点（和⑼在第四象限，

7.【答案】A

【详解】解：由旋转得△ABC之△ADE,ZC4E=90°,

/.AC=AE,ZCAE=90°,DE=BC=1,

AACE是等腰直角三角形，CE=CD+DE=3+1=4,

过点A作AHLCE于点X,

2

•••HD=HE-DE=2-1=1,

AD=A/AH2+HD1=72?+12=y/5,

8.【答案】C

【详解】解：设8种绿植单价是x元，则A种绿植单价是3%元，根据题意得:

675053000

------+50=-------,

3xx

9.【答案】A

【详解】解：由图象可知，面积最大值为6

由题意可得，当点P运动到点C时，.ABP的面积最大，

：.-ACBC=6,即AC6c=12,

2

由图象可知，当％=7时，y=O,此时点P运动到点8,

AC+BC=1,

•/ZC=90°,

9

22222

AB=AC+BC=(AC+JBC)-2ACBC=7-2X12=25,

：.AB=5.

10.【答案】c

【详解】解：①，抛物线开口向上，—1<%<0,2<x2<3,

...当％=—1时，y=a-b+c>Q,故①不符合题意；

②，;抛物线y=ax1+bx+c过点C(0,-2),

函数的最小值y<—2,

cue2+bx+c=-2有两个不相等的实数根；

；•方程办2+陵+。+2=0有两个不相等的实数根；故②符合题意；

(3)V-1<<0,2<x2<3,

b1b3

.•.抛物线的对称轴为直线x=———，且一<——<-,

2a22a2

b

1・1<—<3,而a>0,

a

••-3d<b<—a,

：.a+b<0,故③不符合题意；

@V抛物线y=ax2+/zx+c过点

c=—2,

1=1时，y=a-b+c>0,

即3〃—3〃+3c>0,

当工=3时，y=9a+3b+c>0,

...12a+4c>0,

A12a>8,

2

・•・〃〉一，故④符合题意；

3

(5)V-l<xt<0,2<x2<3,

x2-xr>2,

hc

由根与系数的关系可得：X[+X=----，玉%2=—,

2aa

io

.b2-4ac

［（石+%）2—4X/2

.b2-4ac

,•----------—>1

.t•b2-4ac>4a2>故⑤符合题意；

第n卷非选择题(共120分)

二、填空题(把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分)

11.【答案】(a—1-##(—1+4

【详解】(«+1)2-4a=«2+1+2«-4a=«2-2tz+1=(«-1)2.

12.【答案】4.3x10”

【详解】解：根据题意1阿秒是10*秒可知,

43阿秒=43x10-18=4.3x1。-0秒,

13.【答案】18°##18度

【详解】解：连接BD，BE,

:五边形ABCDE是正五边形，

:.AB=BC=CD=AE,ZA=ZC

；」ABE会CBD(SAS),

BE=BD,

:点尸是DE的中点，

/.BG是DE的垂直平分线，

ZDFG=90°,

11

（5—2）x180°

•.,在正五边形ABCDE中，NCDE=\----1--------=108°,

5

/.ZFDG=180°-ZCDE=72°,

ZG=180°-ZDFG-ZFDG=180°-90°-72°=18°.

14.【答案】（2,—1）（答案不唯一）

【详解】解：等式两边都乘以孙，得x+y=l,

令x=2,则y=-l,

“美好点”的坐标为（2,—1）,

故答案为（2,—1）（答案不唯一）

15.【答案】（0,4）

【详解】解：如图所示：过点A作轴，过点C作CDLx轴,

：y=氐与y=&（x>0）的图象交于点A（2,m）,

**•把A（2,加）代入y=,得出m=x2=2,

・・・A（2,2⑹，

把A（2,26）代入y=K（x>0）,

解得左=2x2j?=4百，

设C

12

在Rt=AHO,tanZ1=四====走，

OH263

Z1=30°,

:点2为y轴上一点，将，。AB沿。4翻折,

AZ2=Z1=3O°,OC=OB,

Z3=900-Zl-Z2=30°,

473

解得根=2百（负值已舍去）,

...点8的坐标为（0,4）,

16.【答案】572

【详解】解：过点8作BDLAC,垂足为D,如图所示:

.,.在RtBCD中，设£）C=x,则应＞=2x,由勾股定理可得BC=

,DC=x=2/5；即@BC=DC，

BCy/5x55

•••AC+~BC=AC+DC，

5

延长DC到E，使EC=CD=x,连接BE,如图所示:

13

E

•••AC+—BC=AC+DC=AC+CE=AE，

BDLDE,DE=2x=BD,

.•—5DE是等腰直角三角形，则NE=45°,

在，ABE中，AB=5,NE=45°,由辅助圆-定弦定角模型，作，ABE的外接圆，如图所示:

由圆周角定理可知，点E在。上运动，AE是（0的弦，求AC+好3C的最大值就是求弦AE的最

5

大值，根据圆的性质可知，当弦AE过圆心。，即AE是直径时，弦最大，如图所示：

人石是（。的直径，

ZABE=90°,

■ZE=45°,

ABE是等腰直角三角形,

AB=5,

•.BE=AB=5,则由勾股定理可得AE=JAB?+BE2=5女，即AC+^BC的最大值为5近，

三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程.共96分）

17.【答案】—1

【详解】解：原式=1+2—百+6—4=3—4=—1.

b2

18.【答案】

a+b"3

a(a+b)(a—b)a-b

【详解】原式二

ci—b(a—Z?)2a+b

a(a-b)2a-b

-------x--------------------------------

a-b(a+b)(a—b)a+b

aa-b

a+ba+b

b

a+b

b-2a=0,

:.b—2a,

原式=3—=2

a+2a3

19.【答案】

【小问1详解】

解：如图1所示，直线所为所求;

【小问2详解】

证明：如图2,设石尸与AC的交点为

由（1）可知，直线所是线段AC的垂直平分线.

:・EA=EC,FA=FC,ZCOE=ZAOF=90°,OA^OC,

15

又•..四边形A3CD是矩形,

：.CD//AB,

:.NECO=NFAO,

,COE”AOF（ASA）,

EC=FA,

：.EA=EC=FA=FC,

四边形AHZ是菱形.

20.【答案】（1）90,15；（2）200；（3）

【小问1详解】

解：样本容量为30+理=90,加=90-27-30-12-6=15,

360

故答案为：90,15

【小问2详解】

1200x—=200（名）

90

答：全校1200名学生中，估计A等级的人数有200名.

【小问3详解】

设七年级学生为A,八年级学生为g,B2,九年级学生为C-C2

画树状图如下：

开蛤

由树状图可知一共有20种等可能结果，其中两人来自同一个年级的结果有4种,

41

•••P（选择的两人来自同一个年级）

205

3

21.【答案】（1）—•（2）100V2cm2-

【小问1详解】

在

cosa=

4

如图，

16

设。=缶，则c=4x,由勾股定理得，上={(4%)2_(岳)2=3%，

.a3x3

sina=—————,

c4%4

又•••4=30。,

sin§=sin30°=g,

3

sina_4_3

折射率为:

sin厂［一］

2

【小问2详解】

3

根据折射率与(1)的材料相同，可得折射率为一，

2

'/a=60°,

sinasin6003

sinpsin(52

，sin〃=g.

:四边形A3CD是矩形，点。是AO中点,

AAD=2OD,?D90?)

又：AOCD=p,

sinNOCD=sin/3=,

在中，设OD=6X，OC=3X,

由勾股定理得，CD=J(3光族—(A)?=向,

CD46XV2

又CD=10cm,

17

OP1

To--72

OD=50cm，

AD=loV2cm，

，截面48c。的面积为：10j^xl0=100j5cm2.

22.【答案】（1）长款服装购进30件，短款服装购进20件；

（2）当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元.

【小问1详解】

解：设购进短款服装x件，购进长款服装y件,

x+y=50

由题意可得<

80x+90y=4300

%=20

解得《

。=30’

答：长款服装购进30件，短款服装购进20件.

【小问2详解】

解：设第二次购进机件短款服装，则购进（200-加）件长款服装,

由题意可得80力+90（200—加）（16800,

解得：m>120,

设利润为坟元，则（100-80）m+（120-90）（200-m）=-10m+6000,

V-10<0,

・・.w随机的增大而减小，

:.当加=120时，

w最大=—10x120+6000=4800（元）.

答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元.

92

23.【答案】（1）%=——；%=--%+1

x3

9

⑵一3<%<0或

2

-7

【小问1详解】

18

（3

由题知一3。=-2a+-

\2

••a=3，

••.A（—3,3）,呜­J,

.9

-3m+〃=3

把4（一3,3）,《■|,一2）代入%=蛆+〃得，

9c

-m+n=-2

,2

2

m=——

<3,

n=1

..%=—§x+l；

【小问2详解】

由图象可知自变量x的取值范围为—3<x<0或

【小问3详解】

若A3与y轴相交于点C,

2

当x=0时，y=——x+l=l,

273

/.C（O,1）,即：OC=1,

•1,SAOB=SAOC+SBOC=-0c（4—.）=2x1x+3]=—.

【小问1详解】

19

证明：连接OD.

;AC=BC,ZACB^9Q0,

/.ZkACfi为等腰直角三角形，

ZG4B=45°,

ZCOD=2ZCAB=90°,

•/DECF,

：.ZCOD+ZEDO=1SQ°,

/./EDO=180°-ZCOD=90°,

/.DE为（。的切线.

【小问2详解】

过点C作CH于点X,

「△ACfi为等腰直角三角形，AC=4,

•**AB=4^2，

・•・CH=AH=2亚，

**,tan/CFD-2,

CHc

-----2,

FH

•••FH=亚，

CF2=CH2+FH2,

CF=JlO-

在RtZkFOZ）中，tanNCFD==2,

OF

设半径为r’.••扁:=2'

.2710

..r=------•

3

20

25.【答案】（1）证明见解析（2）CD=20（3）屈

【小问1详解】

证明：：NACD=NB,ZA=ZA，

AACDsAABC,

.ACAD

"AB-AC)

•••AC2=ADAB；

【小问2详解】

解：：点。为AB中点，

设AD=BD=m,

由（1）知△ACDSAA5C,

**•AC2=AD-AB=m-2m—2m2，

•**AC=，

AD1

・・・，ACD与一ABC的相似比为二"二一卮，

AC。2

・CD_1

•,拓一万

,:BC=4

CD=272;

【小问3详解】

解：过点。作EB的平行线交A3的延长线于点“，过C作CVLAB,如图1所示:

:点E为CD中点,

21

:.设CE=DE=a,

'：ZCDB=ZCBD=30°,

/.CB=CD=2a,ZDCB=12G°,

在RtABCY中，