2024年人教版高考数学一轮复习综合测试卷四（含解析）

综合测试卷(四)

时间：120分钟分值：150分

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.(2024山东潍坊模拟)已知集合上｛矛3-120｝,庐3尸e｝则/C6=()

A.(0,+8)B.(-°0,1]

C.[1,+°°)D.(-°°,-1]U[1,+8)

答案C因为/-120,所以矛21或后-1,所以/=(-8,-1]口[1,+8).又因为尸6*>0,所以

庐(0,+8),所以/C庐[1,+8),故选a

2.(2024安徽马鞍山二模,3)已知复数z满意zi=3+4i,则复数z在复平面内对应的点位于

()

A.第一象限B.其次象限

C.第三象限D.第四象限

(3+4i)(i)=

答案D由zi=3+4i,得=2-4-3i,复数z在复平面内对应的点的坐标为

1-1

(4,-3),该点位于第四象限.故选D.

3.(2024陕西汉中重点中学第一次联考,7)若Iog2x+log4产1,则()

A./尸2B./尸4C.xy-2D.xy-\

1111

答案BIog2^+log4y=log2^+-log27=log2^+log22=log2(x2)=1,所以x5=2,两边平方得

xy=4.故选B.

4.(2024河南安阳二模,7)已知得/是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，则下列可以

推出的是()

A.ml,7,g£,/J_aB.mil,aCl归a

C.m//2,mVa,/_L£D.71

答案D在A中,£,八。，则。与£相交或平行，故A错误；

在B中,aC8:1,应。，则。与£有可能相交但不垂直，故B错误；

在C中,加〃，则q〃£,故C错误；

在D中，/J_a,m//7,则ml_Q、又m//B,则。_L£，故D正确.故选D.

5.（2024山东烟台一模,7）设户为直线3『4y+4=0上的动点,用,分为圆C:（x-2）2+y=l的两条

切线,46为切点，则四边形/咖面积的最小值为（）

A.V3B.2V3

C.V5D.2V5

答案A如图所示.圆。:（矛-2y+/=1的圆心为C（2,0）,半径为1,为=9则S四娜

|阳•|阳，又•••△70为直角三角形，|以"|2-2-1,

因此12一1,若四边形月必，的面积最小，则防。最小，当配垂直于直线

3『4片4=0时，|①取最小值，即点C到直线3『4尹4=0的距离，回%1n也注出=2,故四边

5

形面积的最小值为亚可=展.故选A.

22/o

6.已知椭圆C:—+—=l（a>A>0）的左、右焦点分别为F”&图心率为A过庄的直线/交。于

A,6两点,若△掰8的周长为4V3,则。的方程为（）

999

A-+T=1B.丁户1

2222

C.—-+-T--1D.—-+—=1

128124

答案A的周长为4g,.•.由椭圆的定义可知

4a=4通,：e=-=冬c=l,9=2,；.方程为丁丁1,故选A.

7.（2024广东广州综合测试一，10）已知点户（司,川）是曲线C:y=x-x+\上的点，曲线C在点P

处的切线与直线产8矛-11平行，则（）

4

A.8二2B.Ab=--

「4

C.刘二2或xo=--4D.荀=-2或_p.照不

答案B由尸Y-f+l可得/=上乙2%则切线斜率公_=3介2茄,又切线平行于直线

产8x-n,；.3台2荀=8,...荀=2或q.①当刘=2时,切点为⑵5）,切线方程为厂5=8（矛-2）,即

8x-广11=0,与已知直线重合,不合题意,舍去;②当为制时,切点为卷）,切线方程为

鸿1=8（+小，即产8x+警与尸8尸H平行，故选B.

8.（2024天津,8,5分）如图，在平面四边形ABCD中,ABLBC,ADLCD,ZBAD=12,0:AB=AD=1.

若点£为边切上的动点,则一（•一>的最小值为（）

噫D.3

答案A本题主要考查数量积的综合应用.

解法一:如图，以〃为原点,加所在直线为x轴,加所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则

/（1,0）,犯，与，。（0,煦），设£（0,。，te

_V3

：0,V3],/.(-1,t),(E0,㈣".当二京4

’取得最小值，C

解法二:令=A）（0W4W1）,由已知可得〃年服,

>+*+X

>=(------>+A---0*(--->+--->+A

=3A2--2+-,

当时,—>-一）取得最小值义故选A.

ZXJ410

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要

求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.

9.定义:若函数6(x)在区间［a,6］上的值域为［a,b］,则称区间［a,⑸是函数尸(x)的“完备区

间”，另外，定义区间［a,6］的“复区间长度”为2(Aa),已知函数则()

A.［0,1］是f(x)的一个“完备区间”

B.［展竽］是F(x)的一个“完备区间”

C.f(x)的全部“完备区间”的“复区间长度”的和为3+痣

D.f(x)的全部“完备区间”的“复区间长度”的和为3+2小

答案AC当xe［0,1］时,f(x)=14,易知/1(x)在［0,1］上单调递减,/(0)=1,/-(1)=0,故值域

为［0,1］,所以［0,1］是/'(X)的一个“完备区间”，故A正确.

由于1〈0,F(x)20恒成立,故B错误.

由定义域为［a,6］,f(x)》0,可知OWa(瓦

当庆1时，［a,［0,1］,此时汽入)=，算|=1-片则函数f(x)在［0,1］上单调递减，所以函数

F(x)在区间应切上单调递减，

因为函数f(x)在区间［a,6］上的值域为［a,6］,

所以f!!=1I=，所以3+乐炉+a=l,则>舁甘f

2、2

所以才-对二夕一始,即(-0，所以二归或W6,整理得己+为1或46(舍去)，

又因为a+Z?2=l,所以左4,解得80(舍去)或左1,则-左0,此时3+左0+1=1,所以a=0,左1

是方程组j’的唯一解，

(()=1-=

故此状况下存在年0,左1,使得区间［a,6］是函数f(x)的“完备区间”，此区间［a,b］的“复区

间长度”为2X(1-0)=2.

当b>l时，

①若0Wa〈l,则1G［a,b\,此时f(x)ma=f(l)=0,若函数f(x)在区间［a,6］上的值域为［a,方］,

则a=0,f(6)=6,

因为b>l,所以/"(6)=1炉-1|=炉-1=6,即炉-61=0,解得房子(舍去)或反竽，

故此状况下存在a=0,炉竽,使得区间［a,6］是函数f(x)的“完备区间”，此区间［a,b］的“复

区间长度”为2X(竽-0>1+述.

②当司21时，F(x)二9-1,［a,b\,函数f(x)在［昆6］上单调递增,

若函数?（王）在区间居"］上的值域为良,6］,贝讣jJ=27='

所以a与6是方程/-^-1=0的两个不等实根，

解得为二十,苞=苧,所以|因为a=［但<1,所以此状况不满意题意.

乙乙1+V5乙

、-2，

综上所述，函数F（x）=|x2-I|的全部“完备区间”的“复区间长度”的和为2+（1+质）=3+逐,

故C正确,D错误.

故选AC.

22

10.已知双曲线。:F—F=1Q>0">0）与直线尸Ax交于46两点，点尸（Xo,㈤为。上随意一点，

且直线序，外的斜率分别为扇，及，且扇•3,则下列结论正确的是（）

A.双曲线的渐近线方程为产土）

B.双曲线的渐近线方程为产士|x

C.双曲线的离心率为当

D.双曲线的离心率为:

4

2222

答案AC设点/（x,力，B{-x,-y）,贝又•••甘-*=1，；•两式相减得

2-22_22_22八_八!Q2nq

二^—=「.又泓,人」-----匚="••双曲线的渐近线方程

乙zo0_o+4Z42

为产土gx,故选项A正确,选项B错误；

又♦.—=上二=/-13,聋,故选项C正确,选项D错误.

故选AC.

2q

思路分析设点A（x,力，B—利用点差法得到3kP^—即可得到一卷,从而求出双曲

线的渐近线与离心率.

11.（2024山东百师联盟测试五,9）函数F（x）=/sin（。户0）（4〉0,。>0,|。|〈”）的部分图象

如图所示,则下列结论正确的是（）

A.函数f(x)的周期为Ji

B.函数f(x)图象的一条对称轴方程为用

C.函数f(x)的递减区间为[一称，n+百(右Z)

D.当xG/,引时,函数f(x)的值域为卜今1]

答案AC由题中图象知，中1/=彳*\今六五，所以°="二2,依据五点作图法得

2义丁"0=0今0=-三,则/'(x)=sin(2-7),对称轴方程为后万m+记#ez,单调减区间为

["-箸，"+总'Z.当时,2kV：,5],F(x)=sin(2七)e

卜今耳.故选AC.

12.(2024福建泉州毕业班适应性线上测试)已知F(x)是定义在R上的奇函数,f(l+x)=『(1-x),

若『⑴=1,则()

A.f(x)是周期函数

B.当〃为偶数时，f(〃)=0

C.r(l)+2V(2)+32(3)+—+62r(6)=16

D.f(l)+22/(2)+3*(3)+…+(4A+2)5(4力*2)=87+8加1

答案ABD因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x).

又/'(l+x)=『(l-x),所以f(x+2)=f(-X)=-r(x),

所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),可得函数f(x)的周期为4,选项A正确；f(-2)=-f(2)=-f(0)=0,

即F(-2)=f(2)=F(0),又因为函数f{x)的周期为4,所以当〃为偶数时,『5)=0,选项B正确;

因为/(-i)=-r(i)=-i,周期芹4,

所以/1⑴+2%(2)+32/(3)+-+62/(6)=1-32+52=17,

所以选项C是错的；

『(1)+23(2)+3"承⑶+•••+(4/74-2)5(4加2)=1-32+52-72+92—•+(4加1)2

=1+(52-32)+(9-72)+•••+[(4774-1)-(4^1)2]

=1+2[3+5+7+9+…+(4/2-1)+(4/2+1)]

=1+2*？(":+0=1+2〃(4加4)=8/+8加1,

所以选项D正确，故选ABD.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.已知coscos(a+£)=—；,且a,6G(0,j),贝Ucos(a-£)=.

答案g

V

解析GG(O,y),.\2oe(0;Ji).

197

Vcos^=-,/.cos2a=2cos^-1=—,

3'9，

sin2^=A/1-COS22一二邛，

而a,££(0,3,I.q+££(0,JI),

sin(q+£)=V1-cos2(+7=^,

.'.cos(a-£)=cos[2a-(a+£)]

=cos2acos(a+£)+sin2asin(a+£)

14.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气号(gui)

长损益相同(号是依据日影测定时刻的仪器,号长即为所测量影子的长度)，夏至、小暑、大暑、

立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长

依次成等差数列,经记录测算,夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺,这十二个

节气的全部日影子长之和为84尺,则夏至的日影子长为尺.

答案1.5

解析设此等差数列U)的公差为4前〃项和为S,

,C"Jc.12x11c._

由题意得[12j8416耳即1।丁‘解得｛]=J5'

1

(1+5+9=16-5,心5=3(1+4)=16.5,=1•

所以夏至的日影子长为L5尺.

15.(2024天津南开中学第五次统练，13)已知函数/1(x)=xlnkaf+Qa-Dx,若函数f(x)在

A=1处取得极大值,则实数a的取值范围是.

答案+8)

f

解析f(^r)=lnx-2ax+2af令g(x)=lru^2ax+2a(x>0),:・g'(x)=L-2a,

若aWO,则g｛x｝—~2a>Q恒成立,故g(x)在(0,+8)上单调递增,g(l)=0,当(0,1)

时,g(x)=f'(x)<0,广(x)单调递减,当(1,+8)时,g(x)二6(x)>0,F(x)单调递增,故函数

Hx)在下1处取得微小值,不符合题意.

若a>0,则0<x/时,gf(x)=--2a>0,g(x)单调递增,吐g'(x)二上-2水0,g(x)单调递

减,g⑴=£⑴=0,

•・"(x)在尸1处取得极大值，.・.★1时,g(x)=f'(x)>0,x>\时,g(x)=f在x)<0,即函数F(x)在

户1的两侧先增后减,则'1,解得a>\.综上,a的取值范围是&+8).

16.(2024山东第一次仿真联考,15)在四棱锥上ABCD中,四边形是边长为2的正方

形,P仁PD=亚,平面上让平面ABCD,则四棱锥RZ时外接球的表面积为.

答案

解析取切的中点区连接阳

因为峭缁1,所以PELCD,则止2,

连接力©能交于点a,则a为四边形相功的中心，

过四边形的中心a作平面切的垂线71,过三角形尸切的外心a作平面尸切的垂线12,

设hw则。为四棱锥p/az?外接球的球心，

设oa=h,四棱锥氏/四外接球的半径为R,

则庐方+2=(2-犷+1,解得A=|,则正*4卷，

故四棱锥尸四切外接球的表面积为4K始=牛.

四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知回｝是递增的等差数列,且a%&是方程春5X+6=0的根,数列伉｝的前n项和

为S,且S=26「2(/?eN,).

⑴求数列｛a｝,｛4｝的通项公式；

(2)若c萨•6"(AGN*),求数列｛4｝的前n项和T„.

解析(1)因为〃。用-(加l)a〃=l,

所以T―f

所以———y---T-_（〃，2）,

-i-i

所以---a1=1--2）.

又^1=1,所以------所以^=277-1（77^2）.

又当二1也符合上式，

所以a=2/7-1（〃£N*）.

⑵结合⑴得知泞，

所以£=*+*+*+看+・••+彳—」,①

OOOOO

-3s，4314342+33-+—3,>②

所以$=3-3-1.

18.（12分）（2024山东烟台一中期末，17）在条件：

①（a+Z））（sin/-sin而=（L6）sing②asin庐Acos（+孑）,③6sin:=asin8中任选一个，补

充到下面问题中，并给出问题解答.

在△48C中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,Mc-6,a=2巡,.求△/回的面积.

解析若选①：

由正弦定理得（a+6）（a-6）=（56）c,即tj+（f-a=bc,

―2*2_21

所以cosA=--------二二-，

“222

因为/G（0,JI）,所以J=y,

又a=li+c-bc^（Zr<-c）2-3be,a=2,yj6,什c=6,

所以bc=4,

所以S/\AB（r~bcsin/二;X4Xsiny=V3.

若选②：

由正弦定理得sinZsin庐sin氏os（+彳）.

因为0<B<兀,所以sin身0,所以sin/=cos（+彳），

化简得sin/4cos4-；sin4即tan/二日，

因为0<A<Ji,所以又因为才二4+3-26ccosg,

00

所以b/+）；2=6：：,即力c-24-126，

2+V32+V歹3

所以Sk^|z?csin^=|x（24-12禽）x|=6-3V3.

若选③：

由正弦定理得sinBsin:=sinZsinB,

因为0〈水兀，所以sin身0,

所以sin-i—=sinJ,又因为B+O兀-A,

所以cos5二2sin万cos万，

因为0<水兀，所以0<—,所以cos—7^0,

所以sin-=1,即彳W所以A=^.

22263

贝!Ja-ID+c-bc=2~3be,又近2般,所以6c=4,所以S^ABc=­bcsin^jX4Xsiny=V3.

19.（12分）（2024广东湛江一模,17）在等差数列｛a｝和等比数列伉｝中，&=0,&=1,且

a^b>,a=Z?4.

（1）求为和bn；

（2）求数列｛刀4｝的前n项和£.

解析（1）设等差数列｛a｝的公差为d等比数列｛口的公比为。,,・,功=0,益=1,且

所二勾国二瓦.•・"+占0,617=1,ai+2*bi6,为+3/力i/,四式联立解得

4二-2,户2,61二;,疔2,.,・劣=-2+2（hl）=2/7-4,4=2".

（2）数歹!J｛〃4｝的前刀项和S=$2+3X2+4X22+・・・+T7・2",

25=1+2X2+3*2,…+(hl)•2”,

.•.-5>=i+1+2+22+-+2"2-77•)_〃•2弋

21-2J

即S=31)•2个.

20.(12分)(2016课标/理,19,12分)某公司安排购买2台机器,该种机器运用三年后即被淘

汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器

运用期间,假如备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损

零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年运用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记才

表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,〃表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(1)求才的分布列；

(2)若要求P(XWri)NO.5,确定n的最小值；

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在行19与厅20之中选其一,应选用哪个?

解析(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为

8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.可知X的全部可能取值为

16,17,18,19,20,21,22,

P(^16)=0.2X0.2=0.04;

一(闫7)=2X0.2X0.4=0.16;

9018)=2X0.2X0.2+0.4X0.4=0.24;

产(#49)=2X0.2X0.2+2X0.4X0.2=0.24;

9020)=2X0.2X0.4+0.2X0.2=0.2;

产(游21)=2X0.2X0.2=0.08;

户(斤22)=0.2X0.2=0.04.

所以X的分布列为

z16171819202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

(2)由⑴知18)=0.44,尸(收19)=0.68,故n的最小值为19.

(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).

当上19时，

止19X200*0.68+(19X200+500)X0.2+(19X200+2X500)X0.08+(19X200+3X500)X0.

04=4040.

当上20时，

£片20X200X0.88+(20X200+500)X0.08+(20X200+2X500)X0.04=4080.

可知当上19时所需费用的期望值小于上20时所需费用的期望值,故应选上19.

21.(12分)(2024天津七中一模，19)已知椭圆〃:二+―=l(a>6>0)的离心率为g,点｛1,在椭

圆〃上.

(1)求椭圆〃的方程；

(2)经过椭圆〃的右焦点尸的直线，与椭圆〃交于，两点,46分别为椭圆〃的左、右顶

点,记△/劭与△居0的面积分别为S和S,求|s-s|的取值范围.

解析⑴由一口^总得3-二南①,将41,3代入椭圆方程,得与六勺②，由①②得

22

a=2,Z>=V3,所以椭圆"的方程为了+彳二L

⑵当直线1的斜率不存在时,直线方程为下1,

△Z初与比的面积相等，|S-S|=o,当直线1的斜率存在(明显AW0)时,设直线方程为

=(T),

产A(xT),设。(X1,%),〃(晶㈤，联立］22

I4---1--3--=---1-,'

消掉P得(3+42)/-8^+4A-12=0,

明显/>0,方程有根，

口,_