第4电路定理2培训课件

第4章电路定理4.1叠加定理和齐性定理4.2替代定理4.3戴维宁定理和若顿定理4.4

最大功率传输定理4.5

对偶原理4.6特勒根定理和互易定理

前几章介绍了几种常用的电路元件，电路的基本定律和各种分析方法。本章介绍线性电阻电路的几个网络定理，以便进一步了解线性电阻电路的基本性质。利用这些定理可以简化电路的分析和计算。4.l叠加定理和齐性定理由独立电源和线性电阻元件(线性电阻、线性受控源等)组成的电路，称为线性电阻电路。描述线性电阻电路各电压电流关系的各种电路方程，是以电压电流为变量的一组线性代数方程。作为电路输入或激励的独立电源，uS和iS总是作为与电压电流变量无关的量出现在这些方程的右边。求解这些电路方程得到的各支路电流和电压(称为输出或响应)是独立电源uS和iS的线性函数。电路响应与激励之间的这种线性关系称为叠加性，它是线性电路的一种基本性质。

现以图(a)所示双输入电路为例加以说明。

列出图(a)电路的网孔方程+电流i1的叠加+电压u2的叠加从上可见:电流i1和电压u2均由两项相加而成。第一项i

1

和u

2是该电路在独立电流源开路(iS=0)时，由独立电压源单独作用所产生的i1和u2。第二项i

1和u

2是该电路在独立电压源短路(uS=0)时，由独立电流源单独作用所产生的i1和u2。

以上叙述表明，由两个独立电源共同产生的响应，等于每个独立电源单独作用所产生响应之和。线性电路的这种叠加性称为叠加定理。

叠加定理陈述为：由全部独立电源在线性电阻电路中产生的任一电压或电流，等于每一个独立电源单独作用所产生的相应电压或电流的代数和。也就是说，只要电路存在惟一解，线性电阻电路中的任一结点电压、支路电压或支路电流均可表示为以下形式式中uSk(k=1,2,…,m)表示电路中独立电压源的电压;

iSk(k=1,2,…,n)表示电路中独立电流源的电流。

Hk(k=1,2,…,m)和Kk(k=1,2,…,n)是常量，它们取决于电路的参数和输出变量的选择，而与独立电源无关。

在计算某一独立电源单独作用所产生的电压或电流时，应将电路中其它独立电压源用短路(uS=0)代替，而其它独立电流源用开路(iS=0)代替。式(4－1)中的每一项y(uSk)=HkuSk或y(iSk)=KkiSk是该独立电源单独作用，其余独立电源全部置零时的响应。这表明y(uSk)与输入uSk或y(iSk)与输入iSk之间存在正比例关系，这是线性电路具有“齐次性”的一种体现。式(4－1)还表明在线性电阻电路中，由几个独立电源共同作用产生的响应，等于每个独立电源单独作用产生的响应之和，这是线性电路具有可“叠加性”的一种体现。利用叠加定理反映的线性电路的这种基本性质，可以简化线性电路的分析和计算，在以后的学习中经常用到。

值得注意的是：线性电路中元件的功率并不等于每个独立电源单独产生功率之和。例如在双输入电路中某元件吸收的功率

需要说明的是叠加定理仅仅适用于存在惟一解的线性电路。例4－l电路如图所示。

(l)已知I5=1A，求各支路电流和电压源电压US。解：用2b方程，由后向前推算1A3A4A4A8A80V(2)若已知US=120V，再求各支路电流。1A3A4A4A8A80V解：当US=120V时，它是原来电压80V的1.5倍，根据线性

电路齐次性可以断言，该电路中各电压和电流均增加

到1.5倍，即120V12A6A6A4.5A1.5A例4－2电路如图(a)所示。若已知：试用叠加定理计算电压u

。解：画出uS1和uS2单独作用的电路，如图(b)和(c)所示，

分别求出根据叠加定理代入uS1和uS2数据，分别得到例4－3电路如图(a)所示。已知r=2

，试用叠加定理求电

流i和电压u。

解：画出12V独立电压源和6A独立电流源单独作用的电路

如图(b)和(c)所示。(注意在每个电路内均保留受控源，

但控制量分别改为分电路中的相应量)。由图(b)电路，

列出KVL方程

求得由图(c)电路，列出KVL方程

求得

最后得到

例4－4用叠加定理求图(a)电路中电压u。解：画出独立电压源uS和独立电流源iS单独作用的电路，

如图(b)和(c)所示。由此分别求得u’和u”,然后根据叠

加定理将u’和u”相加得到电压u

●使用叠加定理时，应注意下列几点：

1）叠加定理只适用于线性电路，不能用于非线性电路。

4）叠加时要注意电流和电压的参考方向，求和时要注意各电流和电压的正负。（各响应分量的参考方向与其总响应的参考方向相同时取正“+”，相反时取负“—”）

3）叠加定理只能用来计算线性电路的电流和电压，不能用来计算电路的功率。

2）各独立源单独作用时，电路的联接，电路中所有的电阻、受控源及其控制量（电流或电压）的方向或极性都不允许更动。（受控源不能单独作用，也不能象独立源那样用“短路”、“开路”替代。）

●

叠加定理的推论——齐性定理

齐性定理：线性电路中，当所有激励（电压源和电流源）都增大或缩小K倍（K为实数），响应（电流和电压）也将同样增大或缩小K倍。

应用齐性定理时，注意：①激励是指独立源；②必须全部激励同时增大或缩小K倍，否则将导致错误的结果。

特例：当电路中只有一个激励时，响应将与激励成正比。

思考题：电路如图所示，已知当US=5V时，I=1A；问当US=10V时，I=2A，对吗？只含电阻和独立源网络+–USIiR1R1R1R2RL+–usR2R2例采用倒推法：设i'=1A则求电流iRL=2

R1=1

R2=1

us=51V，+–2V2A+–3V+–8V+–21V+–us'=34V3A8A21A5A13Ai'=1A解

替代定理：如果网络N由一个电阻单口网络NR和一个任意单口网络NL连接而成图(a)，则:1．如果端口电压u有唯一解，则可用电压为u的电压源来替代单口网络NL，只要替代后的网络[图(b)]仍有惟一解，则不会影响单口网络NR

内的电压和电流。4.2替代定理

2．如果端口电流i有唯一解，则可用电流为i的电流源来替代单口网络NL，只要替代后的网络[图(c)]仍有唯一解，则不会影响单口网络NR

内的电压和电流。替代定理的价值在于：一旦网络中某支路电压或电流成为已知量时，则可用一个独立源来替代该支路或单口网络NL，从而简化电路的分析与计算。替代定理对单口网络NL并无特殊要求，它可以是非线性电阻单口网络和非电阻性的单口网络。例求图示电路的支路电压和电流解替代替代以后有：替代后各支路电压和电流完全不变。＋－i310

5

5

110V10

i2i1＋－u注意＋－i310

5

5

110Vi2i1＋－

替代前后KCL,KVL关系相同，其余支路的u、i关系不变。用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支路电流也不变，故第k条支路ik也不变(KCL)。用ik替代后，其余支路电流不变(KCL)，其余支路电压不变，故第k条支路uk也不变(KVL)。原因替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。注意替代后其余支路及参数不能改变。替代后电路必须有唯一解。无电压源回路；无电流源结点(含广义结点)。1.5A2.5A1A注意10V5V2

5

＋－－＋10V5V2

＋－－＋2.5A5V+－？？3.替代定理的应用求电流I1解用替代：6

5

7V3

6

I1–+1

＋－2

+－6V3V4A4

2

4

4A＋－7VI1例1例2已知:uab=0,求电阻R解用替代：用结点法：R8

3V4

b＋－2

+－a20V3

IR8

4

b2

+－a20V1AcI1IR例3图(a)电路中g=2S。试求电流I。解：先用分压公式求受控源控制变量U

用电流为gU=12A的电流源替代受控电流源，得到图(b)电路，该电路不含受控电源，可以用叠加定理求得电流为4.3戴维宁定理和诺顿定理目的与要求1理解戴维南定理和诺顿定理2会用戴维南定理和诺顿定理分析电路重点与难点重点：戴维宁定理和诺顿定理的内容

难点：

等效电阻的计算4.3戴维宁定理和诺顿定理

工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路),使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。1.戴维宁定理：含独立电源的线性电阻单口网络N，就端口特性而言，可以等效为一个电压源和电阻串联的单口网络[图(a)]。电压源的电压等于单口网络在负载开路时的电压uoc；电阻Ro是单口网络内全部独立电源为零值时所得单口网络N0的等效电阻[图(b)]。4.3.1戴维宁定理

uoc

称为开路电压。Ro称为戴维宁等效电阻。在电子电路中，当单口网络视为电源时，常称此电阻为输出电阻，常用Ro表示；当单口网络视为负载时，则称之为输入电阻，并常用Ri表示。电压源uoc和电阻Ro的串联单口网络，称为戴维宁等效电路。

在单口网络端口上外加电流源i,根据叠加定理，端口电压可以分为两部分组成。一部分由电流源单独作用(单口内全部独立电源置零)产生的电压u’=Roi[图(b)]，另一部分是外加电流源置零(i=0)，即单口网络开路时，由单口网络内部全部独立电源共同作用产生的电压u”=uoc[图(c)]。由此得到

当单口网络的端口电压和电流采用关联参考方向时，其端口电压-电流关系方程可表为

戴维宁定理可以在单口外加电流源i，用叠加定理计算端口电压表达式的方法证明如下。此式与式(4－3)完全相同，这就证明了含源线性电阻单口网络，在端口外加电流源存在唯一解的条件下，可以等效为一个电压源uoc和电阻Ro串联的单口网络。只要分别计算出单口网络N的开路电压uoc和单口网络内全部独立电源置零(独立电压源用短路代替及独立电流源用开路代替)时单口网络N0的等效电阻Ro，就可得到单口网络的戴维宁等效电路。2.定理的应用（1）开路电压Uoc

的计算

等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。常用下列方法计算：（2）等效电阻的计算

戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。23方法更有一般性。当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和△－Y互换的方法计算等效电阻；开路电压，短路电流法。外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）；uabi+–NReqiabReqUoc+-u+-abui+–NReq外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。注意例求图(a)所示单口网络的戴维宁等效电路。解：在单口网络的端口上标明开路电压uoc的参考方向，

注意到i=0，可求得将单口网络内1V电压源用短路代替，2A电流源用开路代替，得到图(b)电路，由此求得根据uoc的参考方向，即可画出戴维宁等效电路，如图(c)所示。例

求图(a)所示单口网络的戴维宁等效电路。解:标出单口网络开路电压uoc的参考方向，用叠加定理求

得uoc为将单口网络内的2A电流源和电流源分别用开路代替，10V电压源用短路代替，得到图(b)电路，由此求得戴维宁等效电阻为根据所设uoc的参考方向，得到图(c)所示戴维宁等效电路。其uoc和Ro值如上两式所示。例求图(a)单口网络的戴维宁等效电路。

解：uoc的参考方向如图(b)所示。由于i=0，使得受控电流

源的电流3i=0，相当于开路，用分压公式可求得uoc为为求Ro，将18V独立电压源用短路代替，保留受控源，在a、b端口外加电流源i，得到图(c)电路。通过计算端口电压u的表达式可求得电阻Ro

例求(a)所示电桥电路中电阻RL的电流i

。解：断开负载电阻RL，得到图(b)电路，用分压公式求得将独立电压源用短路代替，得到图(c)电路，由此求得

用戴维宁等效电路代替单口网络，得到图(d)电路，由此求得

从用戴维宁定理方法求解得到的图(d)电路和式(4－6)中，还可以得出一些用其它网络分析方法难以得出的有用结论。例如要分析电桥电路的几个电阻参数在满足什么条件下，可使电阻RL中电流i为零的问题，只需令式(4－6)分子为零，即

由此求得

这就是常用的电桥平衡(i=0)的公式。根据此式可从已知三个电阻值的条件下求得第四个未知电阻之值。4.3.2诺顿定理一、诺顿定理

诺顿定理：含独立源的线性电阻单口网络N，就端口特性而言，可以等效为一个电流源和电阻的并联[图(a)]。电流源的电流等于单口网络从外部短路时的端口电流isc；电阻Ro是单口网络内全部独立源为零值时所得网络No的等效电阻[图(b)]。

isc称为短路电流。Ro称为诺顿电阻，也称为输入电阻或输出电阻。电流源isc和电阻Ro的并联单口，称为单口网络的诺顿等效电路。

在端口电压电流采用关联参考方向时，单口的VCR方程可表示为

诺顿定理的证明与戴维宁定理的证明类似。在单口网络端口上外加电压源u[图(a)]，分别求出外加电压源单独产生的电流[图(b)]和单口网络内全部独立源产生的电流i″=-isc[图(c)]，然后相加得到端口电压－电流关系式

上式与式(4－9)完全相同。这就证明了含源线性电阻单口网络，在外加电压源存在唯一解的条件下，可以等效为一个电流源isc和电阻Ro的并联。例4求图(a)单口网络的诺顿等效电路。

解：为求isc，将单口网络从外部短路，并标明短路电流isc

的参考方向，如图(a)所示。由KCL和VCR求得

为求Ro，将单口内电压源用短路代替，电流源用开路代替，得到图(b)电路，由此求得

根据所设isc的参考方向，画出诺顿等效电路[图(c)]。例

求图(a)所示单口的戴维宁-诺顿等效电路。解：为求isc,将单口网络短路，并设isc的参考方向如图(a)所

示。用欧姆定律先求出受控源的控制变量i1

得到

为求Ro，将10V电压源用短路代替，在端口上外加电压源u，如图(b)所示。由于i1=0，故

求得或

由以上计算可知，该单口等效为一个4A电流源[图(c)]。该单口求不出确定的uoc，它不存在戴维宁等效电路。若一端口网络的等效电阻Req=0，该一端口网络只有戴维宁等效电路，无诺顿等效电路。注意若一端口网络的等效电阻Req=

，该一端口网络只有诺顿等效电路，无戴维宁等效电路。abAReq=0＋－UocabAReq=

Isc教学方法讲授法思考题1.一个无源二端网络的戴维南等效电路是什么？如何求有源二端网络的戴维南等效电路？

4.4最大功率传输定理4.4最大功率传输定理

本节介绍戴维宁定理的一个重要应用。在测量、电子和信息工程的电子设备设计中，常常遇到电阻负载如何从电路获得最大功率的问题。这类问题可以抽象为图(a)所示的电路模型来分析

网络N表示供给电阻负载能量的含源线性电阻单口网络，它可用戴维宁等效电路来代替，如图(b)所示。电阻RL表示获得能量的负载。此处要讨论的问题是电阻RL为何值时，可以从单口网络获得最大功率。

写出负载RL吸收功率的表达式

欲求p的最大值，应满足dp/dRL=0，即

由此式求得p为极大值或极小值的条件是

由于

由此可知，当Ro>0,且RL=Ro时，负载电阻RL从单口网络获得最大功率。

最大功率传输定理：含源线性电阻单口网络(Ro>0)向可变电阻负载RL传输最大功率的条件是：负载电阻RL与单口网络的输出电阻Ro相等。满足RL=Ro条件时，称为最大功率匹配，此时负载电阻RL获得的最大功率为

满足最大功率匹配条件(RL=Ro>0)时，Ro吸收功率与RL吸收功率相等，对电压源uoc

而言，功率传输效率为

=50%。对单口网络N中的独立源而言，效率可能更低。电力系统要求尽可能提高效率，以便更充分的利用能源，不能采用功率匹配条件。但是在测量、电子与信息工程中，常常着眼于从微弱信号中获得最大功率，而不看重效率的高低。例

电路如图(a)所示。

试求：(l)RL为何值时获得最大功率；

(2)RL获得的最大功率；

(3)10V电压源的功率传输效率。解：(l)断开负载RL，求得单口网络N1的戴维宁等效电路参

数为

如图(b)所示，由此可知当RL=Ro=1

时可获得最大功率。

(2)由公式求得RL获得的最大功率

(3)先计算10V电压源发出的功率。当RL=1

时

10V电压源发出37.5W功率，电阻RL吸收功率6.25W，其功率传输效率为例求图(a)所示单口网络向外传输的最大功率。解：为求uoc，按图(b)所示网孔电流的参考方向，列出网

孔方程：

整理得到

解得：

为求isc,按图(c)所示网孔电流参考方向，列出网孔方程

整理得到解得isc=3A

得到单口网络的戴维宁等效电路，如图(d)所示。由公式求得最大功率。

为求Ro，求得最大功率传输定理用于一端口电路给定,负载电阻可调的情况;一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是50%;计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便.注意4.5对偶原理4.5对偶原理在对偶电路中，某些元素之间的关系(或方程)可以通过对偶元素的互换而相互转换。对偶原理是电路分析中出现的大量相似性的归纳和总结。1.对偶原理根据对偶原理，如果在某电路中导出某一关系式和结论，就等于解决了和它对偶的另一个电路中的关系式和结论。2.对偶原理的应用+_R1Rn+_u

ki+_u1+_unuRkinR1R2RkRni+ui1i2ik_例1串联电路和并联电路的对偶将串联电路中的电压u与并联电路中的电流i互换，电阻R与电导G互换，串联电路中的公式就成为并联电路中的公式。反之亦然。这些互换元素称为对偶元素。电压与电流；电阻R与电导G都是对偶元素。而串联与并联电路则称为对偶电路。结论＋－im1R1us1＋－us2R3R2im2网孔电流方程结点电压方程例2网孔电流与结点电压的对偶un1G1is1is2G3G2un2

把R和G，us和is，网孔电流和结点电压等对应元素互换，则上面两个方程彼此转换。所以“网孔电流”和“结点电压“是对偶元素，这两个平面电路称为对偶电路。结论定理的综合应用例1图示线性电路，当A支路中的电阻R＝0时，测得B支路电压U=U1,当R＝时，U＝U2,已知ab端口的等效电阻为RA，求R为任意值时的电压UU–+RRAabAB线性有源网络应用替代定理：应用叠加定理：U–+RRAabAB线性有源网络应用戴维宁定理：解RabI+–UocRA解得：4.6特勒根定理和互易定理

4.6特勒根定理和互易定理

4.6.1定理Ⅰ：具有b条支路，n个节点的任意集中参数网络，在任何瞬间各支路电压与电流乘积的代数和为零。设网络的支路电压为Uk，支路电流为Ik(k=1,2,…b),具有

关联参考方向，则有任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。表明功率守恒4651234231应用KCL:123支路电压用结点电压表示定理证明：定理Ⅱ：具有n个节点，b条支路的同样向图的两个集中参数网络N和。支路电压分别为表示为Uk和，支路电流分别为表示为和,，则有

拟功率定理定理证明：对电路2应用KCL:123例1

R1=R2=2,Us=8V时,I1=2A,U2=2V

R1=1.4

,R2=0.8,Us=9V时,I1=3A,求此时的U2解把两种情况看成是结构相同，参数不同的两个电路，利用特勒根定理2由(1)得：U1=4V,

I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A–+U1+–UsR1I1I2–+U2R2无源电阻网络

–+4V+–1A–+2V无源电阻网络

2A–+4.8V+––+无源电阻网络

3A例2解已知：

U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A–+U1–+U2I2I1P2

–+–+P应用特勒根定理：电路中的支路电压必须满足KVL;电路中的支路电流必须满足KCL;电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向；（否则公式中加负号）定理的正确性与元件的特征全然无关。注意4.6.2互易定理

对一个仅含电阻的二端口电路NR，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。图互易定理一互易定理一：对互易双口网络Nr，当在端口ab施加一电压源激励us时，在另一端口cd产生的短路电流icd(如图(a)所示)，等于将同一us接到端口cd时在端口ab所产生的短路电流iab(如图(b)所示)。图互易定理二互易定理二：对互易双口网络Nr，当在端口ab施加一电流源激励is时，在另一端口cd产生的开路电压ucd(如图(a)所示)，等于将同一is接到端口cd时在端口ab所产生的开路电压uab(如图(b)所示)。图互易定理三互易定理三：对互易双口网络Nr，当在端口ab施加一电流源激励is时，在另一端口cd产生的短路电流icd(如图4(a)所示)，等于将一数值与is相等的电压源接到端口cd时在端口ab所产生的开路电压uab(如图(b)所示)。情况1

激励电压源电流响应当

uS1=

uS2时，i2=

i1则端口电压电流满足关系：i2线性电阻网络NR+–uS1abcd(a)线性电阻网络NR+–abcdi1uS2(b)注意证明:由特勒根定理：即：两式相减，得：将图(a)与图(b)中端口条件代入，即:即：证毕！i2线性电阻网络NR+–uS1abcd(a)线性电阻