高二数学讲义（人教A版2019）331抛物线及其标准方程（五大题型）

3．3．1抛物线及其标准方程目录TOC\o"12"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 2【知识点梳理】 2【典型例题】 4题型一：抛物线的定义 4题型二：抛物线的标准方程 6题型三：轨迹方程—抛物线 7题型四：抛物线距离和与差的最值问题 10题型五：抛物线的实际应用 14

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．知识点诠释：（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值（2）定义中的隐含条件：焦点不在准线上，若在上，抛物线变为过且垂直与的一条直线．（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化．知识点二、抛物线的标准方程标准方程的推导如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系．设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为．设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合，将上式两边平方并化简，得．①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是．抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式，，，．知识点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是．一般情况归纳：方程图象的开口方向焦点准线时开口向右时开口向左时开口向上时开口向下④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论．⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况．【典型例题】题型一：抛物线的定义【典例11】（2024·高二·青海·期末）已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（

）A．6 B．5 C．4 D．【答案】C【解析】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6，所以点M到y轴的距离为.故选：C．【典例12】（2024·高二·全国·课后作业）动点满足方程，则点的轨迹是（）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】D【解析】由得，等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离，整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线.故选：D.【变式11】（2024·高二·全国·课后作业）方程所表示的曲线为（

）A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．直线【答案】A【解析】化简得，即动点到定点的距离与到直线的距离相等，且点不在直线上，故方程表示的曲线为抛物线．故选：A.【变式12】（2024·高二·上海·单元测试）设是直线l的法向量，A、B为两个定点，，，P为一动点，若点P满足：，则动点P的轨迹是（

）．A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线【答案】B【解析】表示点P到直线l的距离，表示点P到点B的距离，由，得动点P到直线l的距离等于到点B的距离，且点B不在直线l上，故点P的轨迹为抛物线，故选：B【变式13】（2024·高三·贵州贵阳·阶段练习）已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（

）A．1或2 B．2或4 C．2或8 D．4或8【答案】C【解析】由题意得，，其中，故，解得或8，故选：C【变式14】（2024·高二·陕西宝鸡·期末）抛物线上与焦点的距离等于7的点的横坐标是（

）A．6 B． C． D．3【答案】C【解析】抛物线的焦点坐标为，设点到的距离等于7，则，解得.故选：C.题型二：抛物线的标准方程【典例21】（2024·高二·山东青岛·期末）已知抛物线的准线与圆相切，请写出一个抛物线的标准方程为．【答案】（任意一个均可以）【解析】与圆相切且与坐标轴平行或垂直的直线有，对应的抛物线方程有：故答案为：（任意一个均可以）【典例22】（2024·高二·上海·期中）顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为.【答案】【解析】由题意，可设抛物线方程为，又抛物线经过，所以，解得，所以所求抛物线方程为，故答案为：【变式21】（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，若到轴的距离为5，且，则该抛物线的标准方程为．【答案】【解析】由抛物线，可得准线方程为，因为，根据抛物线定义可知点到准线的距离为，又因为到轴的距离为5，可得，解得，所以抛物线的标准方程为．故答案为：．【变式22】（2024·高三·江西南昌·阶段练习）已知抛物线的焦点关于其准线的对称点为，则抛物线的标准方程为.【答案】【解析】根据题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，不妨设抛物线的标准方程为，可知焦点坐标为，准线方程为，由焦点关于其准线的对称点为可知，解得，所以抛物线的标准方程为.故答案为：【变式23】（2024·高三·北京·期中）已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，使得抛物线开口向右，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点；②经过点.你所选的条件是，得到的一个抛物线标准方程是.【答案】②【解析】顶点在原点，坐标轴为对称轴，开口向右的抛物线焦点在轴的正半轴上，因此条件①不可选，选择条件②，设抛物线方程为，由抛物线经过点，得，解得，所以所求抛物线标准方程是.故答案为：②；【变式24】（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的标准方程为．【答案】【解析】由椭圆的方程可得，所以椭圆的右焦点为2,0，所以，即，所以抛物线的标准方程为．故答案为：.题型三：轨迹方程—抛物线【典例31】（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为.【答案】【解析】设，可得以线段为直径的圆的圆心为，半径为，由以线段为直径的圆与轴相切，可得，整理得．故答案为：．【典例32】（2024·高三·福建宁德·期末）已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为.【答案】【解析】设，动圆与圆外切且与直线相切，则有，化简得.故曲线的方程为.故答案为：【变式31】（2024·高三·全国·专题练习）已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程；【答案】【解析】设外心为，且，，，由点在的垂直平分线上知由，得故即点G的轨迹S为：，故答案为：.【变式32】（2024·高二·辽宁沈阳·期中）已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则，点的轨迹点的方程为．【答案】或【解析】依题意，得，即①，则，两边平方得，则②，两边平方得，整理得，即，可得或．当时，②转化为，所以，此时①转化为，所以，所以点的轨迹的方程为或．故答案为:或．【变式33】（2024·陕西咸阳·模拟预测）写出一个与直线相切，且与圆外切的圆的方程.【答案】（答案不唯一，只需满足即可）【解析】如下图所示：设所求圆的圆心为，圆的圆心为，半径为，设圆的半径为，则，且圆心到直线的距离为，所以，点到点的距离等于点到直线的距离，所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，设点的轨迹方程为，则，可得，所以，圆心的轨迹方程为，则，所以，圆心的坐标可表示为，则圆的半径为，所以，圆的方程为，故满足条件的一个圆的方程为.故答案为：（只需满足即可）.题型四：抛物线距离和与差的最值问题【典例41】（2024·高三·甘肃白银·阶段练习）已知动点在抛物线上，，则该动点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为.【答案】/【解析】由抛物线的方程为知，焦点为，准线方程为，由抛物线定义知动点到点的距离与到轴的距离之和可化为，当三点共线，且在线段上时，有最小值，最小值为.故答案为：【典例42】（2024·高三·湖南·开学考试）设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点，且点恰为的中点，则.【答案】14【解析】由题意可得，设Ax1,过分别作准线的垂线，垂足分别为，根据抛物线的定义，得，故，因为的中点为，所以，可得，所以.故答案为：.【变式41】（2024·高二·上海·课后作业）已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为.【答案】8【解析】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则，当垂直于抛物线的准线时，最小，此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，，半径为，所以的最小值为.故答案为：8.【变式42】（2024·重庆九龙坡·三模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为.【答案】【解析】设Px,y则，化简整理得，所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆，抛物线的焦点，准线方程为，则，当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，所以的最小值为.故答案为：.【变式43】（2024·西藏林芝·模拟预测）抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是．【答案】4【解析】根据抛物线方程，可得，准线方程为，作准线l，M为垂足，又知，由抛物线的定义可得，故当P，A，M三点共线时，取最大值，最大值为．故答案为：4.【变式44】（2024·陕西渭南·二模）若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为.【答案】【解析】抛物线的焦点，准线，设，则，解得，显然，不妨设，关于直线的对称点为，则因此，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为.故答案为：【变式45】（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线方程为，点，点在抛物线上，则的最小值为.【答案】3【解析】由题知点为焦点，由抛物线定义知就是点到准线的距离，如图，设点在准线的射影为D，则，此时三点共线，即当点纵坐标为时，的值最小，最小值为.故答案为：3【变式46】（2024·广东梅州·一模）已知点P，Q分别是拋物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为【答案】【解析】由抛物线，可得焦点坐标为F1,0，又由圆，可化为，可得圆心坐标为，半径，设定点，满足成立，且，即恒成立，其中，代入两边平方可得：，解得：，，所以定点满足恒成立，可得，如图所示，当且仅当在一条直线上时，此时取得最小值，即，设Px,y，满足，所以，，当时，等号成立.所以的最小值为.故答案为：题型五：抛物线的实际应用【典例51】（2024·高二·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（

）

A．50m B． C．55m D．【答案】A【解析】以为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知，设抛物线方程为，其中为点到桥面的距离，则,解得．故选：A【典例52】（2024·高一·江苏·期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（

）

A．40米 B．30米 C．25米 D．20米【答案】A【解析】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：

∴A(-40,0)，B(40,0)，E设抛物线的解析式为，将E0,200代入，得：200=a(0+40)(0-40)，解得：，∴抛物线的解析式为，将代入得：，解得：，∴C（20，150），D(20,150)，∴CD=40m故选：A【变式51】（2024·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（

）

A．3m B．4m C．5m D．6m【答案】B【解析】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为x轴，垂直于轴，且方向向上，建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为．易知抛物线过点，则，得，所以，所以．故选：B．【变式52】（2024·山西晋城·一模）吉林雾淞大桥，位于