新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1232充要条件课件新人教B版必修1

第2课时充要条件1.充要条件定义如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)记法p⇔q读法“p与q等价”“p当且仅当q”集合观点如果A={x|p(x)}，B={x|q(x)}且A=B，则p(x)⇔q(x)结论一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件【思考】符号“⇔”的含义是什么？提示：“⇔”表示“等价”，如“A与B等价”指的是“如果A，那么B”，同时有“如果B，那么A”，或者说“从A推出B”，同时可“从B推出A”.2.充分性、必要性的其他情况推出关系充分性、必要性p⇒q且qpp是q的充分不必要条件pq且q⇒pp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的既不充分也不必要条件【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立. (

)(2)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件. (

)(3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件. (

)提示：(1)√.当p是q的充要条件时，p⇒q，且q⇒p，故说成q成立当且仅当p成立，这种说法正确.(2)√.若pq或qp，则p不是q的充分条件，或p不是q的必要条件，故此说法正确.(3)√.因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件.2.“a+b<0”是“a<0，b<0”的 (

)A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当a与b异号且负数绝对值大时，也有a+b<0，所以“a+b<0”

“a<0，b<0”，显然“a<0，b<0”⇒“a+b<0”，所以“a+b<0”是“a<0，b<0”的必要不充分条件.3.点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(

)

A.x<0，y<0 B.x<0，y>0C.x>0，y>0 D.x>0，y<0【解析】选B.第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x<0，y>0.类型一充分条件和必要条件的综合判断【典例】1.“b2=ac”是“=成立”的(

)A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.下列各题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)？ 世纪金榜导学号(1)p：x≠0，q：x+|x|>0.(2)p：a>0，q：关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解.(3)p：ab>0，a，b∈R，q：|a+b|=|a|+|b|.(4)p：c=0，q：y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点.【思维·引】1.依据等式两边同乘以非零实数，等式仍成立判断.2.依据“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”的定义判断.【解析】1.选C.b2=ac=，如b=0，c=0时，b2=ac，而，无意义.但=⇒b2=ac，所以“b2=ac”是“

=”的必要不充分条件.2.(1)因为由x≠0推不出x+|x|>0，如x=-1≠0，但是x+|x|=0，所以pq，由x+|x|>0可得x>0，可推出x≠0，所以q⇒p，所以p是q的必要不充分条件.(2)当a>0时，关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解x=-，所以p⇒q，若关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解，则a≠0，推不出a>0，所以qp，所以p是q的充分不必要条件.(3)当ab>0时，|a+b|=|a|+|b|成立，所以p⇒q，因为a=0时，也有|a+b|=|a|+|b|，所以qp，所以p是q的充分不必要条件.(4)当c=0时，函数y=ax2+bx的图象经过原点；当y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点时，0=a×02+b×0+c，所以c=0，所以p⇔q，所以p是q的充要条件.【内化·悟】根据充分必要条件的定义和判断方法，你能总结一个记忆口诀吗？提示：顺向为充(即若p⇒q，则p是q的充分条件)，逆向为必(即若p⇒q，则q是p的必要条件).【类题·通】从命题角度判断p是q的充分必要条件(1)原理：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.(2)方法：①若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；③若二者都成立，则p与q互为充要条件.【习练·破】下列各题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)？(1)p：x2=3x+4，q：x=.(2)p：a是自然数，q：a是正数.(3)p：a=1，q：a的倒数是其本身.(4)p：点P(2-a，3a-2)到两坐标轴距离相等，q：a=1或a=0.【解析】(1)当x=-1时，x2=3x+4成立，但是x=不成立，所以pq，由x=两边平方可得x2=3x+4，所以q⇒p，所以p是q的必要不充分条件.(2)0是自然数，但是0不是正数，所以pq，1.5是正数，但是1.5不是自然数，所以qp，所以p是q的既不充分也不必要条件.(3)倒数是其本身的数有±1，所以qp，且p⇒q，所以p是q的充分不必要条件.(4)当a=1，点P(1，1)到两坐标轴距离相等；当a=0，点P(2，-2)到两坐标轴距离相等；当点P(2-a，3a-2)到两坐标轴距离相等时，|2-a|=|3a-2|，解得a=1或a=0.所以p⇔q，所以p是q的充要条件.【加练·固】下列各题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)？(1)p：x=y，q：(2)p：∠1=∠2，q：∠1与∠2是对顶角.(3)p：反比例函数y=的图象在第二、四象限，q：m<5.(4)p：a>1，q：a>.【解析】(1)当a=0时，x=y⇒x=y，所以p是q的必要不充分条件.(2)对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，所以pq，且q⇒p，所以p是q的必要不充分条件.(3)反比例函数y=的图象在第二、四象限⇔m-5<0⇔m<5，所以p是q的充要条件.(4)当a>1时，所以a>，所以p⇒q，当a=-时，a>，所以qp，所以p是q的充分不必要条件.类型二充要条件的证明【典例】已知关于x的方程ax2+bx+c=0(※)，判断a+b+c=0是否是方程(※)有一个根为1的充要条件. 世纪金榜导学号【思维·引】从充分性和必要性两个方面进行证明.【证明】因为a+b+c=0，所以c=-a-b，代入方程ax2+bx+c=0中，得ax2+bx-a-b=0，即(x-1)(ax+a+b)=0.所以方程(※)有一个根为1，所以a+b+c=0⇒方程(※)有一个根为1，因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1，所以x=1满足方程ax2+bx+c=0.所以有a×12+b×1+c=0，即a+b+c=0.所以方程(※)有一个根为1⇒a+b+c=0，从而a+b+c=0⇔方程(※)有一个根为1，因此a+b+c=0是方程(※)有一个根为1的充要条件.【素养·探】在与充要条件的证明有关的问题中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过命题真假的证明，判断充分、必要条件，提高分析、推理、论证的能力.将本例的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”，“a+b+c=0”改为“ac<0”，如何判断？【证明】因为ac<0，所以Δ=b2-4ac>0，方程ax2+bx+c=0中有两个不等实根，由根与系数关系可知这两个根的积为<0，所以方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，所以ac<0⇒方程(※)有一个正根和一个负根，因为方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，由根与系数关系可知这两个根的积为<0，所以ac<0.所以方程(※)有一个正根和一个负根⇒ac<0，从而ac<0⇔方程(※)有一个正根和一个负根，因此ac<0是方程(※)有一个正根和一个负根的充要条件.【类题·通】充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.【习练·破】已知x，y都是非零实数，且x>y，判断xy>0是否是的充要条件.【证明】由xy>0及x>y，得所以xy>0⇒即<0，又由x>y，得y-x<0，所以xy>0.所以⇒xy>0，从而xy>0⇔，所以xy>0是的充要条件.【加练·固】求关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负实根的充要条件.【解析】①当a=0时，解得x=-1，满足条件；②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<0；若方程有两个负的实根，则必须满足综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤.反之，若a≤，则方程至少有一个负的实根.因此，关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负实根的充要条件是a≤.类型三用集合观点解充分条件、必要条件问题【典例】1.已知p：点M(1-a，2a+6)在第四象限，q：a<1，则p是q的 (

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 世纪金榜导学号【思维·引】1.第四象限内的点横坐标大于0，纵坐标小于0.依据“小范围”推“大范围”，“大范围”推不出“小范围”判断；2.先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于m的不等式(组)进行求解.【解析】1.选A.因为点M(1-a，2a+6)在第四象限，所以解得a<-3.因为(-∞，-3)

(-∞，1)，所以p⇒q，qp，所以p是q的充分不必要条件.2.p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0).因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即[1-m，1+m]

[-2，10]，故有解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为(0，3].【素养·探】在与用集合观点解充分条件、必要条件问题中，经常利用核心素养中的直观想象，通过研究充分条件和必要条件与集合关系，培养借助集合解决问题的能力.将本例2的“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.【解析】p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0).因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以A

B.所以解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，即