高一数学讲义（人教A版2019）543正切函数的性质与图象（十一大题型）

5．4．3正切函数的性质与图象目录TOC\o"12"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 2【知识点梳理】 2【典型例题】 4题型一：正切函数的定义域问题 4题型二：正切函数的对称性问题 6题型三：正切函数的周期性问题 8题型四：正切函数的单调性问题 10题型五：正切函数的最值与值域问题 13题型六：正切函数的奇偶性问题 15题型七：正切函数的图像问题 17题型八：解不等式问题 21题型九：比较大小问题 23题型十：正切函数的综合问题 26题型十一：根据正切函数单调性求参数的范围问题 30

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一：正切函数的图象1、正切函数，且，图象：知识点二：正切函数的性质1、定义域：2、值域：由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线．3、周期性：周期函数，最小正周期是4、奇偶性：奇函数，即．5、单调性：在开区间，内，函数单调递增知识点诠释：1、观察正切函数的图象还可得到：点是函数，，且的对称中心，正切函数图象没有对称轴2、正切函数在开区间，内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．知识点三、正切函数型的性质1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．2、值域：3、单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围．4、周期：【典型例题】题型一：正切函数的定义域问题【典例11】（2024·高一·陕西宝鸡·期末）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由正切函数的定义域，令，即，所以函数的定义域为.故选：C.【典例12】（2024·高一·湖南株洲·阶段练习）函数的定义域为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据正切函数的性质，可得函数有意义，则满足，所以函数的定义域为.故选：C.【方法技巧与总结】求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象求得解集．【变式11】（2024·高一·全国·专题练习）函数的定义域是()A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意得，即，所以，，所以，，故B项正确.故选:B.【变式12】（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）函数的定义域是（

）A． B．C． D．或且【答案】C【解析】由已知可得且，解得且，所以函数的定义域是.故选：C.【变式13】（2024·高一·内蒙古包头·期末）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可得：，解得，函数的定义域为.故选：A.题型二：正切函数的对称性问题【典例21】（2024·高一·山东潍坊·期末）函数的图象关于点中心对称，则常数的一个取值为.【答案】（答案不唯一，满足即可）【解析】因为的图象关于点中心对称，所以，解得，故答案为：（答案不唯一，满足即可）【典例22】（2024·高一·山东威海·阶段练习）已知函数，的图象的对称中心是．【答案】【解析】由函数可得，，解得：，即的图象的对称中心是.故答案为：.【方法技巧与总结】正切曲线与轴的交点及其渐近线与轴的交点都是正切曲线的对称中心，正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．【变式21】（2024·高一·陕西·阶段练习）已知函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则．【答案】2【解析】由题意可得，即，则.故答案为：2.【变式22】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数图象的一个对称中心为，则的值为．【答案】或【解析】由，得．又，则或．故答案为：或．【变式23】（2024·高一·广东茂名·期末）已知函数，其最小正周期为，则的一个对称中心的坐标为．【答案】，（答案不唯一，横坐标只需符合）【解析】根据，得，则，令，即，所以．故答案为：（答案不唯一，横坐标只需符合）【变式24】（2024·高一·全国·课后作业）已知，若函数为奇函数，则最小正数m的值为.【答案】【解析】因为，若函数为奇函数，且正数m取到最小值，即把位于y轴右侧的第一个对称中心平移至坐标原点，令，解得，当时，则，即位于y轴右侧的第一个对称中心为，所以正数m取到最小值.故答案为：.题型三：正切函数的周期性问题【典例31】（2024·高一·全国·课后作业）函数的最小正周期为.【答案】【解析】依题意可知，故函数的最小正周期.故答案为：【典例32】（2024·高一·全国·单元测试）已知函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则，．【答案】40【解析】的图象的相邻两支截直线所得线段的长度即为的一个周期，∴，，，∴．故答案为：4；0.【方法技巧与总结】一般地，函数的最小正周期为，常常利用此公式来求周期．【变式31】（2024·高一·上海·随堂练习）函数的最小正周期为．【答案】【解析】函数的最小正周期为：故答案为：.【变式32】（2024·高一·江西吉安·期末）函数的最小正周期为．【答案】4【解析】设的最小正周期为，而.故答案为：4【变式33】（2024·高一·辽宁大连·期中）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则函数y=fx的解析式为.【答案】【解析】如图所示.区域①和区域③面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，可得，设函数的最小正周期为，则，由题意可得，解得，故，可得，即，又的图象过点，即，因为，所以，解得.故.故答案为：.【变式34】（2024·高一·河南许昌·阶段练习）已知函数，y=fx的部分图象如图，则.【答案】【解析】由题意可知：的最小正周期，且，可得，又因为，且，则，可得，即，且，即，可得，所以．故答案为：．题型四：正切函数的单调性问题【典例41】（2024·高一·全国·课后作业）函数的单调减区间为．【答案】【解析】先求出函数的定义域，然后利用复合函数求单调区间的方法求解即可由，得，令，则，因为在(0,+∞)上为减函数，而在上为增函数，所以的单调减区间为，故答案为：．【典例42】（2024·高一·全国·课后作业）函数的单调递增区间是．【答案】【解析】根据正切函数的单调区间可得，.故答案为：【方法技巧与总结】求函数（，，都是常数）的单调区间的方法若，由于在每一个单调区间上递增，故可用“整体代换”的思想，令，，解得的范围即可．若，可利用诱导公式先把的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可．【变式41】（2024·高一·上海·专题练习）函数的单调递减区间是．【答案】．【解析】令，，解得，故函数的单调递减区间是:．故答案为:．【变式42】（2024·高一·上海·期中）函数包含的一个严格增区间是．【答案】【解析】令，解得，可知函数严格增区间是，又因为包含，可知，所以函数包含的一个严格增区间是.故答案为：.【变式43】（2024·高一·全国·课堂例题）函数的单调递减区间为．【答案】【解析】．由，故函数的单调递减区间为故答案为：【变式44】（2024·高一·江西南昌·阶段练习）函数的单调递减区间为.【答案】【解析】,解得，,当时，是增函数，是减函数，即的单调递减区间为，故答案为：题型五：正切函数的最值与值域问题【典例51】（2024·高一·全国·课后作业）函数的最小值为.【答案】2【解析】因为，由于，所以当时，函数取最小值2.故答案为：2【典例52】（2024·高一·上海·期中）函数，的最大值为.【答案】【解析】当时，所以在上单调递增，所以当时取得最大值，即.故答案为：【方法技巧与总结】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质．【变式51】（2024·高一·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为.【答案】【解析】令，，，则，因为对称轴为，所以，在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，当时，，函数的最大值与最小值之和为.故答案为：.【变式52】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·期末）函数在上的最大值为4，则实数的值为.【答案】【解析】函数在上单调递增，则当时，，因此，解得，所以实数为.故答案为：.【变式53】（2024·高一·上海·课堂例题）求函数的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x的集合.【解析】令（，），则.当时，；当时，，当且仅当，即时，取等号，所以，所以，时取到等号；当时，所以，，当且仅当，即时，所以，所以，时取到等号.所以，y的最小值为，此时，；y的最大值为3，此时，.所以当时，函数为常数函数；当时，函数取得最小值，自变量的集合为，当时，函数取得最大值，自变量的集合为.【变式54】（2024·高一·上海·专题练习）求函数的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量的集合.【解析】因为，令，则，，因为，所以，即时，即，，即当时函数取得最大值题型六：正切函数的奇偶性问题【典例61】（2024·高一·甘肃兰州·阶段练习）函数是（

）A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数【答案】B【解析】函数，定义域为，，函数为奇函数，其最小正周期.故选：B.【典例62】（2024·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若0在定义域内，由时，得，；若0不在定义域内，由时，无意义，得．综上，．故选：C．【方法技巧与总结】奇函数，即．【变式61】（2024·高一·湖北武汉·期中）已知函数与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好为奇函数，则的值为（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】因为函数与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，可得函数的最小正周期为，所以，所以，将函数的图象向左平移个单位长度，得到，又因为为奇函数，可得，即，因为，当时，可得；当时，可得，所以的值为或.故选：D.【变式62】（2024·高一·全国·专题练习）把函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】函数的图象向右平移个单位后，得因为为奇函数，所以，；因此，，结合，取得的最小值为2.故选：A.【变式63】（2024·浙江·模拟预测）已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知函数的最小正周期，则，得，.将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，要使该图象关于原点对称，则，，所以，，又，所以当时，取得最大值，最大值为．故选：A【变式64】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）已知，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】，则.故.故选：A题型七：正切函数的图像问题【典例71】（2024·高一·北京昌平·期末）函数的部分图象如图所示，则（

）A．1 B． C．3 D．【答案】C【解析】由图知，得到，又由图知，由，得到，又，所以，由，得到，所以，得到，故选：C.【典例72】（2024·高二·宁夏石嘴山·期末）有一个函数的图象如图，其对应的函数解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由图象知，函数定义域为，，对于A选项，定义域为，故A错误；对于B选项，，当时，，故B错误；对于C选项，，当时，无意义，故C错误；对于D，的定义域为，，且，则的图象关于轴对称，所以符合题意.故选：D.【方法技巧与总结】作正切型函数图象应注意的问题作的图象一般是先作出其在一个周期内的图象，由于在一个周期内是单调函数，不需要使用五点法，直接利用单调性作图即可．【变式71】（2024·安徽·模拟预测）如图，函数的部分图象与轴相交于两点，与轴相交于点，且的面积为，则的值为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根据题意，当时，，又的面积为，函数的周期为，可得周期，故选：B.【变式72】（2024·湖北武汉·模拟预测）函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，可得，设函数的最小正周期为，则，由题意得，解得，故，得，即，的图象过点，即，∵，则，∴，解得．∴∴.故选：A【变式73】（2024·高一·江西景德镇·期末）函数在一个周期内的图像是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】的周期为，排除A、C，当时，，排除D.故选：B.题型八：解不等式问题【典例81】（2024·高一·广西钦州·期中）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意，得，解得，所以不等式的解集为.故选：A【典例82】（2024·高一·贵州遵义·期中）不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，，得.故选：C【方法技巧与总结】整体法，再利用图像解决．【变式81】（2024·高一·四川成都·期中）已知角为斜三角形的内角，，则的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】角为斜三角形的内角，则，，即，故.故选：D.【变式82】（2024·高一·安徽阜阳·阶段练习）满足的x的取值范围是（

）A． B．C．， D．，【答案】D【解析】由，，故选：D【变式83】（2024·高三·北京丰台·期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，令，且，解得，，令，则，则hx在上单调递增，，则，则当时，，，则满足，即，当时，，且单调递减，，且hx单调递增，则x∈0,1时，，即；时，，即；综上所述：的解集为，故选；C.【变式84】（2024·高一·陕西渭南·期末）已知且，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为在上单调递增，当时，则即，解得，所以，当时，则即，解得，所以，当时，此时无意义，故舍去，综上可得.故选：B题型九：比较大小问题【典例91】（2024·高一·北京延庆·期中）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为是钝角，所以，，，因为，在0,π上是减函数，所以，而在上是增函数，可得，所以，所以，故选：A.【典例92】（2024·高一·山东东营·期末）下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，由知，故A错误；对于B，显然有，故B错误；对于C，由有，故C错误；对于D，由有，故D正确.故选：D.【方法技巧与总结】比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．【变式91】（2024·高一·辽宁大连·期中）设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，由函数在上单调递增得，由函数在上单调递减得，所以.即.故选：D【变式92】（2024·高一·北京门头沟·期中）比较、、的大小关系（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，因为函数在上单调递增，且，所以，即.故选：D【变式93】（2024·高一·河南商丘·阶段练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数在上单调递增，所以，函数在上单调递减，所以，又，且所以，故选：D.【变式94】（2024·高一·安徽·阶段练习）已知函数，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由函数，因为，所以函数为偶函数，令，其在上为单调递增函数，因为在上为单调递减函数，所以函数在上为单调递减函数，令在上为单调递增函数，当时，可得且，根据对勾函数的性质，可得函数在上为单调递增函数，所以函数在上为单调递减函数，所以函数在上为单调递减函数，又由，，，根据单位圆图形易知，则，所以.故选：A.题型十：正切函数的综合问题【典例101】（2024·高一·河南·阶段练习）函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称．(1)求的单调区间；(2)求不等式的解集．【解析】（1）由题意知，函数的最小正周期为，因为，所以，所以因为函数y=fx的图象关于点对称，所以，，即，，因为，所以，故．令，，得，，所以函数的单调递增区间为，，无单调递减区间．（2）由（1）知，．由，得，，即，

所以不等式的解集为：.【典例102】（2024·高一·安徽铜陵·期中）已知函数（）的最小正周期为．(1)求的单调递增区间；(2)若，，求．【解析】（1）由题可知，解得，所以，令，，可得，，所以的单调递增区间为，；（2），即，因为，所以，所以，所以．【变式101】（2024·高一·重庆铜梁·阶段练习）已知函数，，其中．(1)当时，求函数的最大值和最小值；(2)求函数在区间上单调时的取值范围．【解析】（1）当时，函数，而，则当时，，当时，，所以函数的最大值和最小值分别为和.（2）函数图象的对称轴为，依题意，或，解得或，又，解得或，所以的取值范围是.【变式102】（2024·高一·广东潮州·阶段练习）已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为4.(1)求的定义域（用区间表示）；(2)若是定义在上的函数，求关于的不等式的解集.【解析】（1）根据题意可得，解得，则.由，得，即的定义域为.（2）由（1）得，其定义域为.关于的不等式即，即.当时，，则，因为，所以成立.当时，因为函数在0,2上单调递增，函数在0,2上单调递增，所以hx在0,2上单调递增，因为，所以.综上，关于的不等式的解集为.【变式103】（2024·高一·河南南阳·阶