高中数学讲义（人教B版2019必修三）第20讲专题8-1向量的奔驰定理

专题81向量的奔驰定理TOC\o"13"\h\u题型1奔驰定理不需要变形 ②S∆BOCS∆ABC由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理.知识点二.奔驰定理的证明奔驰定理：是内一点，且，则法一：证明过程：已知是内的一点，的面积分别为，，，求证：延长与边相交于点则法二：延长OA到OA1，OB到OB1,OC到OC1使得，O为△A1B1C1的重心.题型1奔驰定理不需要变形【方法总结】奔驰定理x【例题1】在ΔABC中，O为其内部一点，且满足OA+OC+3OB=0A．3：4 B．3:2 C．1:1 D．1:3【答案】D【详解】取AC中点M,则由OA+OC+3OB=0得2OM=−3OB【变式11】1．设点O在ΔABC的内部，且2OA+3OB+4OCA．9 B．8 C．152 【答案】A【解析】延长OC到D，使得OD=2OC,以OA，OD为边作平行四边形OAED,对角线交点为F,OE交AC于H,证明OH=13BH，即得ΔAOC的面积是ΔABC面积的【详解】延长OC到D，使得OD=2OC,因为2OA所以OA+以OA，OD为边作平行四边形OAED,对角线交点为F,OE交AC于H,因为OD=2所以OE=−因为OC:AE=1:2,所以OH:HE=1:2,所以3OH所以OH=所以ΔAOC的面积是ΔABC面积的13所以ΔAOC的面积为9.故选A【点睛】本题主要考查平面向量的几何运算和数乘向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.【变式11】2．已知等边△ABC边长为4，O为其内一点，且4OA+7OB+3OCA．437 B．637 C．【答案】B【分析】根据已知条件作出图形，利用向量的关系，求出△AOB与△ABC的面积关系即可求解.【详解】∵4OA+7OB延长OB到点E，使得OE=74OB，分别以OA,OE为邻边作平行四边形OAFE，则∴OD=411∴S△AOB故选:B.【变式11】3．已知P为△ABC内一点，且3PA+2PB+PCA．1:2 B．1:3 C．1:5 D．1:6【答案】D【分析】作AB，AC的中点，连接PD，PE，利用题中条件，化简得到BC与PD的关系，即可得到结果.【详解】如图，设D,E分别为AB，AC的中点，连接PD，PE，则PA+∵3PA∴2（故点P在DE上，∵3PA∴PC∴BC∴P到AB的距离等于C到AB的距离的16∴S△PAB:故选：D.【变式11】4．（2023·全国·专题练习）已知O是△ABC内的一点，若△BOC,△AOC,△AOB的面积分别记为S1,S2,S3A．1:2:3 B．1:2:4 C．2:3:4 D．2:3:6【答案】A【分析】延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，利用同底的两个三角形面积比推得tan∠BAC【详解】O是△ABC则CP⊥AB,因此，S1S2于是得tan∠BAC又OA+2OB+3OC=则OC=−S1S3⋅OA−S2S所以tan∠BAC故选：A【变式11】5．（2023·全国·专题练习）点P菱形ABCD内部一点，若2PA+3PBA．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】设AB中点为E，BC中点为F，根据向量关系可得PF=−2【详解】如图，设AB中点为E，BC中点为F，因为2PA+3PB+PC即PF=−2则S△所以ABCD的面积与△PBC故选：B.【变式11】6．（2023春·高一单元测试）已知O是△ABC内部一点，且满足OA+OB+OC=0，又【答案】1【分析】根据平面向量数量积定义和三角形面积公式可求得S△ABC，由已知关系式可知O为△ABC【详解】∵AB⋅AC∴S∵OA+OB+OC=0，故答案为：1.题型2奔驰定理需要变形◆类型1点在三角形内部【例题21】（2023春·广东深圳·高一校考阶段练习）设M为△ABC内一点，且AM=14ABA．15 B．14 C．49【答案】A【分析】做出图形，则两三角形的面积比等于两三角形高的比，转化为AEAC【详解】如图所示，∵点M是△ABC所在平面内一点，且满足AM=以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，延长EM交BC与F，AE=则EF//所以S△故选：A【变式21】1．（2023春·江苏宿迁·高一校考阶段练习）若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3AM－AB－AC＝0→A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5【答案】B【分析】由平面向量的加法结合已知可得M为AD的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得.【详解】如图，D为BC边的中点，则AD因为3AM－AB－AC＝所以3AM所以AM所以S△故选：B【变式21】2．（2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，点P满足AB+AC=4AP【答案】14/【分析】由平面向量的加法法则可得到P点的位置，再用面积公示，即可得到面积的比值.【详解】取BC边的中点D，连接AD，如图所示，因为AB+AC=4AP，即AB+AC=2AD=4故答案为：1【变式21】3．（2023春·吉林·高一东北师大附中校考阶段练习）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足OP=A．5:6 B．3:4 C．2:3 D．1:2【答案】D【分析】利用重心的性质和已知线性关系可得2OP【详解】由O是△ABC的重心，得OA+OB+则OB+OC=6所以点P为OA中点，即点P、点O为BC边中线的两个三等分点，所以S△ACO=所以△ACO与△CBP面积比为1:2.故选：D【变式21】4．（2023春·安徽六安·高一六安二中校考阶段练习）点P是△ABC所在平面上一点，若AP=12ABA．32 B．3 C．13 【答案】D【分析】如图，延长AP交BC于点D，设AD=λAP，则AD=λ【详解】如图，延长AP交BC于点D，设AD=λAP因为B,所以λ2+λ所以AP=56则S△由AD=得35AD−所以BDCD所以S△所以S△故选：D.【变式21】5．（2022·全国·高一专题练习）设P、Q为△ABC内的两点，且AP=25AB+1A．45 B．85 C．43【答案】D【分析】利用平行四边形法则作出P，利用同底的三角形的面积等于高的比求出△ABP的面积与△ABC的面积之比，同理可得△ABQ的面积与△ABC的面积之比，从而即可求得【详解】解：设AM=25∵AP=25AB+由平行四边形法则知NP//∴△ABP的面积与△ABC的面积之比同理由AQ=14AB+23∴△ABP的面积与△ABQ的面积之比为故选：D．◆类型2点在三角形外部【例题22】（2022春·山东东营·高一广饶一中校考阶段练习）P是△ABC所在平面上一点，满足:PA+PB+PC=2AB，△A．S1=4S2 B．S1=3【答案】B【分析】根据PA+PB+PC=2AB得出【详解】解：由题意得：∵∴3∴AP∥BC设AP与BC的距离为ℎ∵又∵∴故选：B【变式22】（2022春·河南濮阳·高一统考期中）P是△ABC所在平面上的一点，满足PA+PB+PC【答案】12【分析】根据向量的线性运算的法则及向量的共线定理，结合三角形的面积公式即可求解.【详解】因为PA+PB+PC=2AB，所以因为3|AP|=|BC所以S△ABCS所以△ABC的面积为12故答案为：12.◆类型3点在三角形边上【例题23】（2023春·陕西西安·高一西安市第六中学校联考阶段练习）已知点P是△ABC所在平面内一点，若AP=35ABA．3:1 B．2:3 C．1:3 D．1:2【答案】B【分析】先依据共线向量几何意义判断出点P的位置，再去求△ABP与△【详解】由AP可得PC=3则△ABP与△ACP的面积之比等于BP故选：B【变式23】1．（2022春·山东菏泽·高一校考期中）在△ABC中，△ABC的面积为3，若AD=A．35 B．34 C．33【答案】D【分析】根据向量运算可得BD,DC的关系，然后可得三角形△ABD【详解】因为AD=14AB所以BD所以S故选：D【变式23】2．（2021春·高一课时练习）在△ABC所在平面上有一点P，满足PA+PB+4【答案】1∶2【分析】利用平行向量，根据数乘向量的几何意义，分析出点P在AC边上，且AP=2PC，进而求解出△PBC与△PAB的面积比.【详解】PA+PB+4PC=故答案为：1∶2.题型3奔驰定理解决含参问题【例题3】（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）△ABC所在平面上一点P满足PA+PC=mAB(A．6 B．9 C．12 D．24【答案】C【分析】由已知中P是△ABC所在平面内一点，且满足PA+PC=mAB，我们根据向量加法的三角形法则可得mAB【详解】取AC的中点O，则∵PA+PC=m∴m∴C故S△故选：C.【变式31】1．（2023·全国·高一专题练习）已知O是△ABC所在平面内的一点，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a=3，b=2，c=4，若aOA+bOB+cOC=0，过O作直线l分别交AB、AC(不与端点重合)于A．56 B．13 C．43【答案】D【分析】根据△PAO与△QAO的面积之比为32可得OP=−3【详解】因为△PAO与△QAO的面积之比为32，易得OP=−32OQ.故2OA+λAB+3故选：D【变式31】2．（2022秋·江苏南京·高三南京市第十三中学校考阶段练习）在△ABC中，D是直线AB上的点.若2BD=CB+λCA，记△ACB的面积为A．λ6 B．λ2 C．13【答案】D【分析】将CA和CB设为基底，将BD用基底表示出来，即可算出点D的位置.【详解】依题意作上图，设BD=由条件BD=∴μ=−12，λ∴点D在AB的延长线上，并且AD=∴S1故选：D.【变式31】3．（2023·陕西商洛·统考一模）已知O是△ABC内部的一点，且OA=mOB+nOCm,【答案】3【分析】分别在边AC,BC上取点D,E，使得AD=35【详解】如图，分别在边AC,BC上取点D,由AD=35AC,又因为S2S1=S则OD=因为O,D,E三点共线，所以所以OA=因为OA=mOB+n故答案为：3.【变式31】4．（2023春·黑