2024-2025学年高二数学试题（人教A版2019）期中考试押题卷02（考试范围人教A版2019第一章第二章31）

期中考试押题卷02（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第一章、第二章、3.15．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直线l经过点，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，即，所以.故选：B.2．已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，因为，所以，又在圆：上，故，即的方程为．故选：C3．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】在空间四边形中，.故选：B4．平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数，故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，，故，故椭圆的标准方程为.故选：B5．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】将曲线整理可得,因此曲线表示的是以2,3为圆心，半径为2的下半圆，若直线与曲线有公共点，如下图所示：当直线在直线的位置，即时，直线与曲线有一个公共点；当直线在直线的位置，即直线与曲线相切，此时，解得，（舍）；只有直线位于两直线之间时，满足题意，即.故选：A6．，函数的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】设点，和直线，到l的距离分别为，易知，显然.当且仅当重合时取得等号.故选：C7．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过且斜率为3直线交于，两点，则的内切圆半径为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，直线的方程为即，联立解得，所以，从而，的周长为，面积为，又，所以.故选：A8．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图①是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”有两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图②所示的空间直角坐标系，则（

）A．B．点的坐标为C．，，，四点共面D．直线与直线所成角的余弦值为【答案】C【解析】依题意，正方形的对角线，则，，，，对于A，，A错误；对于B，由，得，B错误；对于C，，于是，又为三个向量的公共起点，因此四点共面，C正确；对于D，，，直线与直线所成角的余弦值为，D错误.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（

）A．不能表示过点且斜率为的直线方程B．在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为C．直线与轴的交点到原点的距离为D．设，，若直线：与线段有交点，则实数的取值范围是【答案】AC【解析】对于选项A：由可知，所以不过点，故选项A正确；对于选项B：当时，在轴、轴上的截距分别为0的直线不可用表示，故选项B错误；对于选项C：直线与轴的交点为，到原点的距离为，故选项C正确；对于选项D：直线方程可化为，恒过定点，画出图形，如图所示，，，若直线：与线段有交点，则，或，即或，故选项D错误.故选：AC10．已知椭圆：的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（

）A． B．椭圆的标准方程为C． D．的最大值为【答案】ABD【解析】由题意可知：，解得，∴，A选项正确；∴∴椭圆：，B选项正确；∵，∴，C选项错误；，当且仅当在之间且它们三点共线时等号成立，D选项正确；故选：ABD11．如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（

）A．三棱锥的体积为定值B．存在点，使平面平面C．设直线与平面所成角为，则的最大值为D．平面截正方体所得截面的面积为【答案】AC【解析】对于A，易得平面平面，所以到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥，即三棱锥的体积为定值，故A正确；对于B，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则，，所以.设平面的一个法向量，则，令，解得1，所以平面的一个法向量.又，设，则，所以.设平面的一个法向量，则，令，解得，所以平面的一个法向量.若平面平面，则，设，即，解得，又，不符合题意，所以不存在点，使平面平面，故B错误；对于C，易得平面的一个法向量为，又，所以.因为，所以，所以的最大值为，故C正确；对于D，在上取一点，使得，在上取一点，使得，连接，则平面截正方体所得截面为五边形，如下图所示：易得，所以，所以，故D错误.故选：AC.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．在空间直角坐标系中已知，，，为三角形边上的高，则．【答案】3【解析】，，则，，所以，故答案为：313．已知为椭圆上的左右顶点，设点为椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为，若椭圆离心率为，则为．【答案】/0.25【解析】由题意可得，设Px0,y则由在椭圆上可得，直线与的斜率之积为，椭圆离心率为，可得，即，故．即．故答案为：．14．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题.可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为.【答案】5【解析】由已知表示点Mx1,y表示点Nx2,y所以，过点作，垂足为，因为直线的方程为，，所以，又直线与直线平行，，所以，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以，又，当且仅当三点共线时等号成立，所以当点为线段与直线的交点时，取最小值，最小值为，因为过点与直线垂直的直线的方程为，联立，可得，所以点的坐标为，所以，所以的最小值为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知的顶点，边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为，求：(1)B点和C点的坐标：(2)入射光线经过点，被AB上的中线CM反射，反射光线过，求反射光线所在的直线方程．【解析】（1）直线和直线垂直，故设直线方程为，将代入得，，解得，故直线方程为，联立，解得，故，设，则，将代入中得，又在直线上，故，联立与，解得，故；（2）设关于中线CM对称点坐标为，则反射光线即为所在直线，其中，解得，故，故反射光线方程为，即.16．（15分）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，为的重心.

(1)证明：平面；(2)若为的中点，求线段的长；(3)设为线段上的一个动点，是否存在点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由已知不共面，故为一组基底，由已知，，所以，由已知，因为为的重心，所以，所以，，所以，，即，又平面，，所以平面；（2）因为，，又为的中点，所以，所以，所以，所以线段的长为；（3）设存在点，使得，且，，则，，所以，所以，所以，所以，所以存在点，使得，此时.17．（15分）已知圆心为C的圆经过点，，且圆心C在直线上．(1)求圆C的方程：(2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程．(3)已知点，，且P为圆C上一动点，求的最小值．【解析】（1）,AB的中点为AB的垂直平分线方程为，即,将联立可得,即圆的圆心坐标为.圆的半径为，所以圆的标准方程为.（2）设圆心到直线的距离为d，由弦长公式得，故.若直线的斜率不存在，则x=1，此时圆心到直线的距离为3，符合题意.若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，所以，解得，则直线的方程为.故直线的方程为x=1或.（3）在圆的标准方程上，设,又因为点，，所以，当时，取最小值为.18．（17分）如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.(1)求椭圆的方程；(2)若，求的方程；(3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.【解析】（1）由题意得解得，故椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，由得，由，得，则.，解得或当时，直线经过点，不符合题意，舍去；当时，直线的方程为.（3）直线，均不与轴垂直，所以，则且，所以为定值.19．（17分）类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点.(1)求的值；(2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：；(3)在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.【解析】（1）连接，由已知得平面，，又平面，所以平面平面，所以二面角的大小为，因为四边形为菱形，