2024-2025学年上海市宝山区高三上册9月月考数学教学检测试卷（含解析）

2024-2025学年上海市宝山区高三上学期9月月考数学教学检测试卷一.填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1.若（其中i表示虚数单位），则______．2.在等差数列中，前7项和，则___________.3.已知，则曲线处的切线方程是___________.4.在的展开式中，的系数为______．5.已知直线与直线相互平行，则实数的值是________．6.已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．7.已知平面向量，满足且向量，夹角为则在方向上的投影数量为_____.8.已知且，则的最小值是_________．9.在中，角所对的边分别为．已知，则的面积为____．10.已知，函数若该函数存在最小值，则实数的取值范围是________11.已知曲线由抛物线及抛物线组成，若，，，是曲线上关于轴对称的两点，，，，四点不共线，其中点在第一象限，则四边形周长的最小值为__．12.设an与bn是两个不同无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：①若an与bn均为等差数列，则M中最多有②若an与bn均为等比数列，则M中最多有③若an为等差数列，bn为等比数列，则M中最多有④若an为递增数列，bn为递减数列，则M中最多有1其中正确结论的序号是______.二.选择题(本大题共4题，13-14每题4分，15-16每题5分，共18分)13.已知，则“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要14.设、为两个平面，、为两条直线，且.下述四个①若，则或②若，则或③若且，则④若与、所成的角相等，则，其中所有真命题的编号是（）A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④15.设函数图像的一条对称轴方程为，若是该函数的两个不同的零点，则不可能取下述选项中的（）.A. B. C. D.16.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的值是（）A. B. C.0 D.三.简答题(本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分)17.已知,（1）求函数的单调递减区间;（2）若,求函数值域.18.如图，已知平面，，直线与平面所成角为，且.（1）求三棱锥的体积；（2）设为的中点，求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）19.2024年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了500名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求x的值，并估计这500名观众每个月阅读时长的平均数和中位数；（2）用分层抽样的方法从这两组观众中随机抽取12名观众，再若从这12名观众中随机抽取4人参加抽奖活动，求所抽取的4人中两组均有的概率.20.已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点F₂到双曲线.渐近线的距离为（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线与椭圆C交于A、B两点.①若直线过椭圆右焦点F₂，且△AF₁B的面积为求实数k的值；②若直线过定点P(0,2)，且k>0，在x轴上是否存在点T(t,0)使得以TA、TB为邻边的平行四边形为菱形?若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由.21.设函数，其中a为常数．对于给定的一组有序实数，若对任意、，都有，则称为的“和谐数组”．（1）若，判断数组是否为的“和谐数组”，并说明理由；（2）若，求函数的极值点；（3）证明：若为的“和谐数组”，则对任意，都有．2024-2025学年上海市宝山区高三上学期9月月考数学教学检测试卷一.填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1.若（其中i表示虚数单位），则______．【正确答案】1【分析】计算，即可得到虚部.【详解】因为，根据复数的概念可知，虚部为1.故1.2.在等差数列中，前7项的和，则___________.【正确答案】【分析】根据等差数列前n项的和公式，结合等差数列下标的性质进行求解即可.【详解】因，所以有，故3.已知，则曲线处的切线方程是___________.【正确答案】【分析】利用导数的几何意义求出导数值，再由点斜式方程可得答案.【详解】易知，可得；又，所以切点坐标为；因此切线方程为，即.故4.在的展开式中，的系数为______．【正确答案】【分析】根据二项式定理展开式的通项公式即可求解.【详解】的二项展开式为，令，解得，故所求即为．故答案为.5.已知直线与直线相互平行，则实数的值是________．【正确答案】【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之即可.【详解】因为直线与直线相互平行，则，即，解得.故答案为.6.已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．【正确答案】【分析】根据离心率求得，即可求得渐近线方程.【详解】因为双曲线的离心率为2，则，解得，故双曲线的渐近线方程为.故答案为.7.已知平面向量，满足且向量，的夹角为则在方向上的投影数量为_____.【正确答案】【分析】利用数量积来计算投影数量即可.【详解】因为且向量，的夹角为所以，则在方向上的投影数量为：，故答案为.8.已知且，则最小值是_________．【正确答案】4【分析】根据绝对值三角不等式，即可容易求得结果.【详解】因为，当且仅当时取得等号；又当时，；当时，，故，当且仅当时取得等号；则，当且仅当或时取得等号.故答案为.9.在中，角所对的边分别为．已知，则的面积为____．【正确答案】；【详解】∵△ABC中，a＝3，b＝5，c＝7，∴由余弦定理，得cosA，∵A∈（0，π），∴sinA，∴由正弦定理的面积公式，得：△ABC的面积为SbcsinA5×7．故答案为．10.已知，函数若该函数存在最小值，则实数的取值范围是________【正确答案】【分析】就分段函数的每一段判断其单调性，求出值域，根据题意得到关于的不等式，解之即得.【详解】当时，因，为减函数，故；当时，因，为减函数，故.依题意，该函数存在最小值，需使，解得.故实数取值范围是.故答案为.11.已知曲线由抛物线及抛物线组成，若，，，是曲线上关于轴对称的两点，，，，四点不共线，其中点在第一象限，则四边形周长的最小值为__．【正确答案】【分析】设抛物线的焦点为，则利用抛物线的定义得到，从而求出其最小值.【详解】设抛物线的焦点为，则，所以，根据对称可知四边形为等腰梯形，四边形周长，当且仅当，，三点共线时，等号成立，又，四边形周长的最小值为.故12.设an与bn是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合①若an与bn均为等差数列，则②若an与bn均为等比数列，则③若an为等差数列，bn为等比数列，则④若an为递增数列，bn为递减数列，则其中正确结论的序号是______.【正确答案】①③④【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确.对于②，取则均为等比数列，但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误.对于③，设，，若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解，若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾；若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，当有偶数解，此方程即为，方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，否则，因单调性相反，方程至多一个偶数解，当有奇数解，此方程即为，方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即否则，因单调性相反，方程至多一个奇数解，因为，不可能同时成立，故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确.对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.故①③④.思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.二.选择题(本大题共4题，13-14每题4分，15-16每题5分，共18分)13.已知，则“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【正确答案】C【分析】由充分条件，必要条件定义，结合即可判定.【详解】，若，则，又，所以，若，，故，即，所以“”是“”的充要条件.故选：C14.设、为两个平面，、为两条直线，且.下述四个①若，则或②若，则或③若且，则④若与、所成的角相等，则，其中所有真命题的编号是（）A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④【正确答案】A【分析】对于①，根据线面平行的判定定理可证明；对于②，借助正方体可知与、不一定垂直；对于③，由线面平行的判定定理及性质定理，即可证明；对于④，借助③的结论，即可说明.【详解】对于①，由题意，当，因为，，，故；当，因为，，，故；当且，因为，，，则且，故①正确；对于②，正方体中，，则与、不垂直，故②错误；对于③，如图，过直线分别作两平面与、分别交于直线、，因为，，，则，同理可证，则，因为，，故，又，则，又，故，故③正确；对于④，若且，此时与、所成的角相等，由③知，故④错误.故选：A15.设函数图像的一条对称轴方程为，若是该函数的两个不同的零点，则不可能取下述选项中的（）.A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用给定函数及其对称轴求出，进而求出函数的周期，再利用正弦函数的性质列式求解即得.【详解】依题意，，解得，而，则，于是原函数的周期，因为是该函数的两个不同的零点，因此，显然选项ACD分别是的1，2，4倍，而不是的整数倍.故选：B16.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的值是（）A. B. C.0 D.【正确答案】D【分析】将原方程根的问题转化为函数图像交点问题，结合函数性质求解答案即可.【详解】由于函数是定义在上的奇函数，所以讨论情况如下：作图像如下图所示，关于的方程，解得或，由于与图像有一个公共点，则图像与图像有三个公共点，如图所示，，同理，时，，所以实数的值是.故选：D方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.三.简答题(本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分)17.已知,（1）求函数的单调递减区间;（2）若,求函数的值域.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数y=fx（2）先由求得整体角，结合正弦函数的图象即可求其值域.【小问1详解】,由，可得，即函数y=fx的单调递减区间为.【小问2详解】当，，则，故函数y=fx的值域为.18.如图，已知平面，，直线与平面所成的角为，且.（1）求三棱锥的体积；（2）设为的中点，求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由题目条件可得BD，后可由三棱锥体积公式得答案；（2）取中点，连接，则，即为异面直线与所成角，后可由余弦定理得答案.【小问1详解】因为平面，所以即为直线与平面所成的角，所以，所以，所以三棱锥的体积；【小问2详解】取中点，连接，则，所以即为异面直线与所成角，又平面，平面，则，得..则在中，，所以，所以异面直线与所成角的大小为.19.2024年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了500名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求x的值，并估计这500名观众每个月阅读时长的平均数和中位数；（2）用分层抽样的方法从这两组观众中随机抽取12名观众，再若从这12名观众中随机抽取4人参加抽奖活动，求所抽取的4人中两组均有的概率.【正确答案】（1），平均数为，中位数为（2）【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再求出阅读时长的平均数，结合中位数的定义及求法，即可求解；（2）求出抽取的12名观众中，区间内的人数，再利用古典概型根据要求求概率即可.【小问1详解】由频率分布直方图得：，解得，阅读时长在区间内的频率分别为，所以阅读时长的平均数.其中前两组频率之和，前三组频率之和，所以阅读时长的中位数在这组内，设中位数为，则，解得，所以中位数为.【小问2详解】用分层抽样方法从这两组观众中随机抽取12名观众，由频率分布直方图，得数据在两组内的频率比为，则在内抽取人，在内抽取人，从这名观众中所抽取的人中两组均有的概率为.20.已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点F₂到双曲线.渐近线的距离为（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线与椭圆C交于A、B两点.①若直线过椭圆右焦点F₂，且△AF₁B的面积为求实数k的值；②若直线过定点P(0,2)，且k>0，在x轴上是否存在点T(t,0)使得以TA、TB为邻边的平行四边形为菱形?若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由.【正确答案】（1）（2）①;②【分析】（1）利用点到直线的距离公式求解椭圆参数即可；（2）①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线距离公式，即可求出面积等式，最后求解k的值；②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为，通过这个等式转化为的函数，即可求解取值范围.【小问1详解】由双曲线.的渐近线方程为，再由椭圆的右焦点分别为到渐近线的距离为可得：，因为，所以解得，再由椭圆的一个顶点为，可得，所以由，即椭圆C的标准方程为；【小问2详解】①直线过椭圆右焦点F₂可得：，即，所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得：，设两交点Ax1所以，又椭圆左焦点F1−1,0到直线的距离为，所以，解得：或（舍去），即；②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形，由于直线过定点，且，可知直线方程为，与椭圆联立方程组，消去得：，由，且，解得，设两交点Ax1,y1,B所以，即，整理得，又因