2024-2025学年福建省莆田市高二上册第一次月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年福建省莆田市高二上学期第一次月考数学检测试卷一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线的倾斜角的大小是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用直线斜率与倾斜角关系计算即可.【详解】由题意可知该直线的斜率为，所以其倾斜角为.故选：B2.空间向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据投影向量公式计算即可.【详解】，，由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为，故选：C.3.若直线y＝－ax－与直线y＝3x－2垂直，则a值为()A.－3 B.3 C.－ D.【正确答案】D【详解】由题意得直线垂直的充要条件为：，得－a×3＝－1，∴a＝23.故答案选D．4.已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与，，三点共面，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据点与，，三点共面，可得，从而可得答案.【详解】因为，，三点不共线，点与，，三点共面，又，所以，解得.故选：A.5.如图，是的重心，，则（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据向量的线性运算的定义及重心的性质可得，利用表示可得结论.【详解】是的重心，，，，，，，，．故选：D．6.如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（）A. B. C.4 D.2【正确答案】C【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由二面角的平面角的定义知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故选：C.7.如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，，M，N分别是，AB的中点，设点P是线段DN上的动点，则MP的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据两点距离公式表示，利用二次函数求值域，即可得到本题答案.【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为底面ABCD是边长为2的正方形，，所以，∵点在平面上，∴设点的坐标为，∵在上运动，∴，∴，∴点的坐标为，∴，∵，∴当时，取得最小值.故选：D8.已知，，则的最小值等于（）A. B.6 C. D.【正确答案】D【分析】令，，得到点，分别在直线，上，设线段的中点为，则，且点在直线上，将所求问题，转化为点到原点的距离的倍，根据点到直线距离公式，即可求出结果.【详解】令，，由已知可得点，分别在直线，上，设线段的中点为，则，到原点的距离，依题意点在直线上，所以点到原点的最小距离即为原点到直线的距离，为，因此的最小值为，因此的最小值等于.故选：D.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分.）9.已知、、，则（）A.直线的方程为B.点到直线的距离为C.为等腰直角三角形D.的面积为【正确答案】ABC【分析】利用截距式方程可判断A选项；利用点到直线的距离公式可判断B选项；利用斜率关系以及两点间的距离公式可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项.【详解】对于A选项，直线的方程为，整理得，A对；对于B选项，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，则点到直线距离为，B对；对于C选项，，，则，所以，又，，所以，所以为等腰直角三角形，C对；对于D选项，的面积为，D错误.故选：ABC.10.已知集合直线，其中是正常数，，下列结论中正确的是（）A.当时，中直线的斜率为B.中所有直线均经过同一个定点C.当时，中的两条平行线间的距离的最小值为D.中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面【正确答案】AC【分析】代入特殊值求出直线判断A，利用平行线间距离公式结合放缩法求解最值判断C，举反例判断B，D即可.【详解】对于A，当时，，中直线的方程为，即，故其斜率为，故A正确；对于B，当时，直线方程为，该直线必过，当时，直线方程为，化简得，不一定过，故B错误，对于C，当时，中的两条平行直线间的距离为，而，则，故，即最小值为，故C正确；对于D，点不满足方程，所以中的所有直线不可覆盖整个平面，故D错误，故选：AC.11.材料：在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为．阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为，直线的方程为，直线的方程为，则（）A.平面与垂直B.平面与所成角的余弦值为C.直线与平面平行D.直线与是异面直线【正确答案】AD【分析】首先确定平面的法向量和直线的方向向量；由可知A正确；利用线面角的向量求法可知B错误；由及直线所过点在平面内，可知，得C错误；由与不平行及直线方程构成的方程组无解可知两直线异面，则D正确.【详解】由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直线的方向向量，直线的方向向量；对于A，，，则平面与垂直，A正确；对于B，，平面与所成角的余弦值为，B错误；对于C，，，直线平面或直线平面，直线过点，又满足，直线平面，C错误；对于D，与不平行，直线与直线相交或异面，由得：，此时无解，直线与直线无交点，直线与直线是异面直线，D正确.故选：AD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知向量，，，若，则实数______.【正确答案】【分析】先根据坐标运算求出的坐标，然后利用数量积的坐标运算公式直接求解即可.【详解】因为，，所以，又，所以，解得.故13.已知直线ax+by-2=0，且3a-4b=1，则该直线必过定点_____.【正确答案】(6，-8)【分析】由已知得b=，代入到直线方程中得a(4x+3y)=y+8，根据运算法则：零乘以任何数都得零，联立方程组解之可得该直线过定点.详解】由3a-4b=1，得b=，代入ax+by-2=0，得a(4x+3y)=y+8，令解得，所以该直线过定点(6，-8).故(6，-8).本题考查直线的恒过定点，属于中档题.14.如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，，分别是，上的动点，且，则的最小值是________．【正确答案】##【分析】利用二面角的定义证得就是二面角的平面角，即为，再利用空间向量将的长转化为的模求解，利用空间向量的线性运算和数量积、一元二次函数的图象与性质运算即可得解.【详解】解：连接，如下图，由题意，，，正方形中，正方形中，平面，平面，平面平面，∴就是二面角的平面角，则，∴向量与向量夹角为，且，，设，，，则，且由题意，∴，∴，令，，图象开口向上，且对称轴为，∴当时，取得最小值，即最小值为，∴的最小值是.故答案为.四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.已知直线：，直线.（1）若，求实数a的值；（2）直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为，求直线的斜率.【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据直线垂直的判定列方程求参数；（2）由题意，分别求x、y轴上的截距，结合三角形面积求得，代入直线即可得斜率.【小问1详解】由知：，可得.【小问2详解】由直线与坐标轴正半轴围成三角形，故，令，可得；令，可得，所以，可得，故，故直线的斜率为.16.已知直线过点且在轴上的截距相等（1）求直线一般方程；（2）若直线在轴上的截距不为0，点在直线上，求的最小值．【正确答案】（1）或；（2）.【分析】（1）通过讨论直线截距为0和截距不为0时的情况，即得；

（2）由题可知，根据基本不等式即得．【小问1详解】因为直线过点且在轴上的截距相等，当截距为0时，则；当截距不为0时，可设，则，即，∴；综上，的一般方程：或；【小问2详解】由题意得，，，当且仅当时，等号成立，的最小值为.17.如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）．（1）当侧面底面时，求点到平面的距离；（2）在（1）的条件下，线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）（2）存在；【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到平面的距离.（2）设，求得点坐标，利用二面角的余弦值列方程，求得，进而求得.【小问1详解】∵，，∴．如下图所示，连接，则,所以，所以，结合折叠前后图形的关系可知，故四边形为正方形，∴，即为的中点，∴，∴．∵侧面底面，侧面底面，∴平面，易知，，两两垂直．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示，则，，，，，∴，，．设平面的法向量为，则，取，得，，则为平面的一个法向量，则点到平面的距离．【小问2详解】假设存在满足题意的点，且（）．∵，∴，∴，∴．设平面的法向量为，又∵，，∴，取，则，，取为平面的一个法向量．易知平面的一个法向量为，∵二面角的余弦值为，∴，化简，得，解得或（舍去）．∴线段上存在满足题意的点，且．18.《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，，，，为棱的中点，为棱的中点．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的正切值；（3）求与平面所成角的正弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（2）二面角的正切值为；（3）与平面所成角的正弦值为.【分析】（1）先证明，根据线面平行判定定理证明平面，再证明平面，根据面面平行判定定理证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式求二面角的余弦值，根据同角关系求结论；（3）求直线的方向向量和平面的法向量，由线面夹角公式求结论.【小问1详解】由已知，，因为为棱的中点，为棱的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，连接，因为，，因为为棱的中点，为棱的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，，又，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.【小问2详解】由已知平面，平面，所以，又，所以直线两两垂直，以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A3,0,0，，，，，所以，，设平面的法向量为m=x,y,z，所以，取，可得，，所以为平面的一个法向量，又为平面的法向量，设二面角的平面角为，所以，观察可得，所以，所以，所以二面角的正切值为.【小问3详解】因为，，所以，因为平面平面，为平面的一个法向量，所以为平面的一个法向量，设与平面所成角为，所以，所以与平面所成角的正弦值为.19.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆.（1）求圆的方程；（2）若直线为，证明：无论为何值，直线与圆恒有两个交点；（3）若点，当在上运动时，求的最大值和最小值.【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）最