2025年湘教版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教版高一数学上册月考试卷936考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、【题文】已知集合A={x|其中}，B={x|}，且AＵB=R，则实数的取值范围（）A.B.C.D.2、【题文】设则是的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3、【题文】在正方体ABCD－A1B1C1D1中；给出以下结论：

①AC∥平面A1C1B②AC1与BD1是异面直线。

③AC⊥平面BB1D1D④平面ACB1⊥平面BB1D1D

其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.44、【题文】函数是定义域为R的奇函数，当时则当时，=A.B.C.D.5、下列各组中的两个函数是相等函数的为（）A.y=x2﹣2x﹣1与y=t2﹣2t﹣1B.y=1与C.y=6x与D.与6、若全集A={0，1，2}，则集合A的真子集共有（）A.3个B.5个C.7个D.8个7、已知是两单位向量，下列命题中正确的是（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、如果函数f（x）=（3-a）x，g（x）=logax它们的增减性相同，则a的取值范围是____．9、已知向量若则____.10、若函数f（x）=lgx+x﹣3的零点在区间（k，k+1），k∈Z内，则k=____11、以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是____12、已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L的方程是____．13、已知函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）；给出下列命题：

①函数f（x）有最小值；

②当a=0时；函数f（x）的值域为R；

③若函数f（x）在区间（﹣∞；2]上单调递减，则实数a的取值范围是a≤﹣4．

其中正确的命题是____．评卷人得分三、证明题(共9题，共18分)14、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．15、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．16、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．17、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．18、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．19、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．20、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．21、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．22、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．评卷人得分四、解答题(共2题，共6分)23、已知定义域为的函数是奇函数。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求的取值范围；24、【题文】设a>0且a≠1，(x≥1)

(Ⅰ)求函数f(x)的反函数f－1(x)及其定义域；

(Ⅱ)若求a的取值范围评卷人得分五、计算题(共1题，共10分)25、函数中自变量x的取值范围是____．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、A【分析】【解析】

试题分析：根据题意，由于集合A={x|其中}=｛x|｝，B={x|}={x|},根据数轴法可知，且AＵB=R，则可知故选A.

考点：并集。

点评：本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型【解析】【答案】A2、B【分析】【解析】p真：q真：显然是的充要条件.【解析】【答案】B3、C【分析】【解析】本题考查空间线面位置关系。①正确，因为AC∥A1C1，②不正确，AC1与BD1是相交直线，③、④正确。【解析】【答案】C4、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B5、A【分析】【解答】解：A．y=x2﹣2x﹣1与y=t2﹣2t﹣1的定义域和对应法则相同，是相等函数，B.=1；（x≠0），两个函数的定义域不相同，不是相等函数；

C.=6|x|；两个函数的定义域相同，但对应法则不相同，不是相等函数；

D.=x，（x≥0），=x；两个函数的定义域不同，不是相等函数；

故选：A

【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．6、C【分析】解：集合{0；1，2}的真子集有：

∅；{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}共7个．

故选C．

集合{0；1，2}的真子集是指属于集合的部分，包括空集．

本题考查集合的真子集个数问题，对于集合M的真子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的真子集共有（2n-1）个【解析】【答案】C7、D【分析】解：根据单位向量的定义可得=1，=1，∴=

故选D．

根据单位向量的定义可得=1，=1；从而得到结论．

本题考查单位向量的定义，两个向量的数量积的定义，是一道基础题．【解析】【答案】D二、填空题(共6题，共12分)8、略

【分析】

函数f（x）=（3-a）x，g（x）=logax它们的增减性相同；

当函数是增函数时，解得1＜a＜2；

当函数是减函数时，无解；

所以a的范围是1＜a＜2．

故答案为：（1；2）．

【解析】【答案】通过指数函数与对数函数的单调性；求出a的取值范围即可．

9、略

【分析】因为所以解之得，n=3.【解析】【答案】310、2【分析】【解答】因为函数y=lgx与y=x﹣3都是定义域上的增函数；所以函数f（x）=lgx+x﹣3也为定义域上的增函数．

因为f（2）=lg2+2﹣3＜lg10+2﹣3=0；f（3）=lg3+3﹣3＞0；

所以由零点存在性定理可得函数f（x）=lgx+x﹣3的近似解在区间（2；3）上，所以k=2．

故答案为：2．

【分析】确定函数f（x）=lgx+x﹣3也为定义域上的增函数．计算f（2）=lg2+2﹣3＜lg10+2﹣3=0，f（3）=lg3+3﹣3＞0，由零点存在性定理可得函数f（x）=lgx+x﹣3的近似解在区间（2，3）上，即可得出结论．11、x﹣y﹣2=0【分析】【解答】解：直线AB的斜率kAB=﹣1；所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1）；

所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0；

故答案为x﹣y﹣2=0．

【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．12、x=﹣4和4x+3y+25=0【分析】【解答】解：圆心（﹣1，﹣2），半径r=5；弦长m=8

设弦心距是d

则由勾股定理。

r2=d2+（）2

d=3

若l斜率不存在；是x=﹣4

圆心和他距离是﹣3；符合。

y+3=k（x+4）

kx﹣y+4k﹣3=0

则d==3

9k2﹣6k+1=9k2+9

k=﹣所以x+4=0和4x+3y+25=0

故答案为：x=﹣4和4x+3y+25=0

【分析】求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦心距，通过直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离求解，求出直线的方程即可．13、②【分析】【解答】解：∵函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）（a∈R）；

∴①如果x2+ax﹣a﹣1＜0有解；

则函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）（a∈R），的值域为R，无最小值，故①不正确，②当a=0时，函数f（x）=lg（x2﹣1）（a∈R）；定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），值域为R；

故②正确．③若f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，则解得：a＞﹣3；

故③不正确；

故答案为：②

【分析】根据如果x2+ax﹣a﹣1＜0有解，可判断函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）（a∈R），的值域为R，无最小值，②当a=0时求出值域为R，③运用求解即可．三、证明题(共9题，共18分)14、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．15、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=16、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．17、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．18、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．19、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．20、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．21、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．