2024年广东省肇庆市某中学高考数学模拟试卷（附答案解析）

2024年广东省肇庆市香山中学高考数学仿真试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.(5分)已知集合4={讣：2-2%>0},^={x|-V5<x<V5},则()

A.AUB=RB.ACB=0C.BEAD.AQB

2X,x>0

2.（5分）已知函数/（%）=，则/(-3)=(

/(%+2),%<0

A.1B.2C.4D.8

/y2

3.（5分）已知双曲线/一言=l（a〉0,b〉0）的一条渐近线与直线第+百丫-4=0垂直，则该双曲线

的离心率为（）

2V34

A.——B.-C.2D.4

33

4.（5分）已知等比数列｛即｝的前三项和为56,02-。5=14,贝I」。8=（）

11

A.4B.27D.-

4

―>

5.（5分）如图，在平行四边形/BCD中，"为5c的靠近点C的三等分点，/C与必）相交于点尸，若AP=

—>T

2934

A.-B.—CyD.-

3169

6.（5分）核酸检测分析是用荧光定量尸CR法，通过化学物质的荧光信号，对在尸CR扩增进程中成指数

级增加的靶标QM4实时监测，在尸CE扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，。犯4的数量为,

与扩增次数〃满足位的=吨（ltP）+/乡心，其中夕为扩增效率，8为QM4的初始数量.已知某被测标

本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率P约为（）（参考数据：10°2

-1.585,10°-2^0.631)

A.0.369B.0.415C.0.585D.0.631

7.（5分）已知函数/（%）=2siv2（jL）x+Bsi九23%（3〉0）在（0,冗）上恰有两个零点，则3的取值范围是（）

22

A.6，1]B.(1，1]C.冷1)D.[1，|)

第1页（共16页）

8.（5分）若制作一个容积为目的圆锥形无盖容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，则该圆锥的

高是（）

A.V2B.2C.V6D.4

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

（多选）9.（6分）广东省湛江市2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则（）

,常住人口/万

736.00

740.00

730.00

720.00

710.00

700.00

690.00

680.00

670.00

A.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万

B.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势

C.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为703.54万

D.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为717.02万

（多选）10.（6分）已知抛物线C：产=4》的焦点为产，准线为/,过抛物线C上一点尸作/的垂线，垂

足为。，则下列说法正确的是（）

A.准线/的方程为苫=-1

B.若过焦点下的直线交抛物线C于/（xi，月），B（X2,竺）两点，且XI+X2=6,则|48|=7

C.若E（2,1）,则|PE|+|P同的最小值为3

D.延长尸尸交抛物线C于点若|PF|=*贝l]|PM|=¥

（多选）11.（6分）已知定义在R上的函数/（x）满足/（x+2）+f（x）=0,且y=/（2-x）为偶函数，

则下列说法一定正确的是（）

A.函数/（x）的周期为2

B.函数/G）的图象关于（1,0）对称

C.函数/G）为偶函数

第2页（共16页）

D.函数/(x)的图象关于x=3对称

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(5分)已知复数z=l+ai(a€R),且z(2+3z)为纯虚数，其中i是虚数单位，则a=

13.(5分)安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，

则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为.

14.(5分)在△48C中，内角B,C所对的边分别为a,b,c,己知6cosc+ccosB=4acos/,若S为4

S

4BC的面积，则”的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.某校高三年级1000名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间

是[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150].

(1)求图中。的值，并根据频率分布直方图，估计这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位

数；

(2)从这次数学成绩位于[50,70),[70,90)的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方.法抽取9

人,再从这9人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间[70,90)的人数记为X,求X的分布列及数学

22V3L

16.已知椭圆C；r,+v方=l(a>b>0)的禺心率为焦距为2圆

(1)求C的方程；

(2)若斜率为-•^的直线/与椭圆C交于尸，0两点(点尸，。均在第一象限)，。为坐标原点.证明:

直线。尸，PQ,O。的斜率依次成等比数列.

1

17.如图，在三棱台ABC-421cl中，AC±AB,平面人平面4BC,AAr=A1B1=BBr=^AB=1.

(I)证明：A4i_L平面/CCi/i；

V3

(II)若三棱锥/i-ABC的体积为三，求平面ACCiAi与平面BCC\B\的夹角的余弦值.

第3页(共16页)

18.设S”为数列｛即｝的前〃项和，已知公=4,S4=20,且*｝为等差数列.

(1)求证：数列｛斯｝为等差数列；

(2)若数列｛6〃｝满足61=6,且沪=旦-,设6为数列｛瓦｝的前一项和，集合M=｛〃]〃€%*｝,

求M(用列举法表示).

19.设定义在R上的函数/■(x)="-ax(aCR).

(1)若存在xoe[l,+8),使得/(xo)<e-a成立，求实数。的取值范围；

(2)定义：如果实数s,/,厂满足|s-1那么称s比f更接近八对于(1)中的a及问:

工和卢r+a哪个更接近历x?并说明理由.

第4页(共16页)

2024年广东省肇庆市香山中学高考数学仿真试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的

1.（5分）已知集合4={x|/-2x>0},5={x|-V5<x<V5},贝！I（）

A.A^B=RB.AHB=0C.BQAD.AUB

【解答】解：由《中不等式变形得：xG-2）>0,

解得：x<0或x>2,即/={x|x<0或x>2},

，：B={x\-45<x<y/5},

.*./08=任|一瓶<¥<0或2〈工<代},AUB=R,

故选：A.

2X%〉0

-"，则/（-3）=（）

{/（久+2）,x<0

A.1B.2C.4D.8

'2X,x>0

【解答】解:f（久）=

/(久+2),%<0

则/(-3)=/(-2)=/(1)=21=2.

故选：B.

XVL

3.（5分）已知双曲线二—三=l（a>0,6>0）的一条渐近线与直线工+遮丫-4=0垂直，则该双曲线

的离心率为（)

2V34

A.——B.-C.2D.4

33

【解答】解：双曲线※—卷=l（a>0,b>0）的一条渐近线设为>=%,

b

一条渐近线与直线X+V3y-4=0垂直，可得一=0

a

则双曲线的离心率为e=~=J1+,=V1+3=2,

故选：C.

4.（5分）已知等比数列{斯}的前三项和为56,ai-<25=14,则Q8=（）

11

A.4B.2C.一D.

24

第5页（共16页）

【解答】解：设等比数列｛斯｝的公比为公

等比数列｛斯｝的前三项和为56,42-。5=14,

%(1+q+q2)=56—32

则,解得

3

a^q(l—q)=14q弓

11

77

故〃8=ctrq=32X(2)=不

故选：D.

―>

5.（5分）如图，在平行四边形/BCD中，M为5C的靠近点C的三等分点，NC与必）相交于点尸，若AP=

—>—>

+yAD,则孙=()

34

7D.-

9

【解答】解：•・,平行四边形45C。中，M为5c的靠近点。的三等分点，4C与V。相交于点尸，

APAD

••——D,

PCCM

—>Q—>Q—>—>O—>O—>—>—>—>

.•.4P=34C=NG4B+AD）=[AB+IAD,又力P=xAB+yAD,

4444

.39

..x=y=^,xy=^.

故选：B.

6.（5分）核酸检测分析是用荧光定量PCT?法，通过化学物质的荧光信号，对在尸CR扩增进程中成指数

级增加的靶标ZW实时监测，在PQ?扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，ON4的数量4”

与扩增次数〃满足（1+p）+lgXo,其中p为扩增效率，刘为。N4的初始数量.已知某被测标

本。N4扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（）（参考数据：10°2

-1.585,10°-2^0.631）

A.0.369B.0.415C.0.585D.0.631

【解答】解：由题意可知，lg（lOOXo）=10/g（1+p）+lgXo,即2+/gX）=10/g（1+p）+lgXo,

.•.l+p=10°-2««1.585,解得/仁0.585.

故选：C.

7.（5分）已知函数/（久）=2sin2cox+V^s讥23x（3〉0）在（0,n）上恰有两个零点，则3的取值范围是（）

第6页（共16页）

2，25

A.6，1]B.(1j]C.[可，1)D.[1,9)

【解答】解：由题意，函数/(x)=1-cos2a)x+V3sin2a)x=l+2sin(2u)x—^),

令/(x)=0,即sin(2cox—4)=一彳

且G)>0,**.一石V2oox—3V2OOTC一石,

又函数/G)在(0,n)上恰有两个零点,

所以T<2am弋197r

解得1<3W*

故选：B.

8.(5分)若制作一个容积为三■的圆锥形无盖容器(不考虑材料的厚度)，要使所用材料最省，则该圆锥的

高是()

A.V2B.2C.V6D.4

【解答】解：根据题意，设该圆锥的高为心底面圆的半径为八

147r4

则171T2%_从而/〃=4,变形可得M

该圆锥的侧面积S=-2nr-V/i2+r2=7iy/(h2+r2)r2=TC

令f(h)=4h+信d>0)=/'(h)=4—第=4(宇)，

九3_g

易知於(0,2)时，——<0,f(〃)<0,/(/z)单调递减,

h

九3_g

he(2,+8)时，---->0,f(A)>0,f(h)单调递增，

h

则当为=2时，/(A)取得最小值；

所以要使所用材料最省，则该圆锥的高是2.

故选：B.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

(多选)9.(6分)广东省湛江市2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则()

第7页(共16页)

本常住人口/万

736.00

740.00

730.00

720.00

710.00

700.00

690.00

680.00

670.00

A.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万

B.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势

C.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为703.54万

D.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为717.02万

【解答】解：由图可知,湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为736.00-698.12-38（万）,

A正确；

这6年的常住人口前3年呈递增趋势，后三年也递增，但后三年的常住人口低于前3年，8错误；

湛江市2017年到2022年这6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为698.12,703.09,703.54,730.50,

732.20,736.00,

70354+73050

6X0.6=36所以第60百分位数为730.50万，中位数为-------------=717.02（万），C错误，。均

正确.

故选：AD.

（多选）10.（6分）已知抛物线C：产=4》的焦点为厂，准线为/,过抛物线C上一点尸作/的垂线，垂

足为。，则下列说法正确的是（）

A.准线/的方程为工=-1

B.若过焦点下的直线交抛物线C于/（XI，yi）,B（X2,/）两点，且XI+X2=6,则|48|=7

C.若E（2,1）,则|尸耳+|尸尸|的最小值为3

D.延长尸歹交抛物线C于点跖若|PF|=*贝IJ|PM|=¥

【解答】解：因为抛物线C的方程为炉=4x,所以p=2,所以准线/的方程为x=—刍=—1,/正确；

由题意可知|4B|=xi+x2+p=6+2=8,2错误；

由抛物线C上的点到焦点厂与到准线的距离相等可知|尸耳+『尸|=|尸。

第8页（共16页）

所以当。，P,£三点共线时，|尸£|+干尸|取得最小值,

即为点E到准线的距离，所以最小值为3,C正确;

如图所示，不妨设P在第一象限，过P作轴于点

过M作轴于点N,

过M作准线/的垂线，垂足为D,

设准线与X轴的交点为G,则凹=股|=聿2

\FG\=2,\FH\=^,\FM\=\MD\,\FN\=\DM\-\FG\=\FM\

-2,

42

Ipi7\IJ-fI7\

易知丛PHFsAMNF,则有扁=温，即,33,解得MF|=4,^\\MP\=\MF\+\PF\=^

\MF\\MF\-2

D正确.

(多选)11.(6分)已知定义在R上的函数/(x)满足/(x+2)+f(x)=0,且y=/(2-x)为偶函数,

则下列说法一定正确的是()

A.函数f(x)的周期为2

B.函数/G)的图象关于(1,0)对称

C.函数f(x)为偶函数

D.函数/(x)的图象关于x=3对称

【解答】解：因为/G)的定义域为R,且/(x+2)+fCx)=0,

所以/G+2)=-f(x),

所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

所以函数/(x)的周期为4,故/错误;

又因为y=/(2-x)为偶函数,

第9页(共16页)

所以/(2-x)=/(2+x),

所以/(x)的图象关于x=2对称，故。错误；

所以/(2-x)=/(2+x)=-f(x),

所以/(x)的图象关于(1,0)对称，故3正确；

由/(2-x)=f(2+x),可得/(-x)=/(4+x)=f(x),

所以/(x)为R上的偶函数，故C正确.

故选：BC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

2

12.(5分)已知复数z=l+ai(aCR),且z(2+3z)为纯虚数，其中i是虚数单位，则a=

【解答】解：依题意，z(2+3z)=(I+ai)(2+3z)=(2-3a)+(2a+3)i为纯虚数，

所以心算】解得a]

故答案为：3

13.(5分)安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，

则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为一福—.

【解答】解：5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，

当分为3,1,1人时，有2题=60种实习方案，

C2c2

当分为2,2,1人时，有安•吊=90种实习方案，

所以共有60+90=150种实习方案，

其中甲、乙到同一家企业实习的情况有吗用+《用=36种，

故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为二；=《.

15025

故答案为：白.

14.(5分)在中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知6cosc+ccos3=4acos/,若5为4

S,V15

48C的面积，则-7的最大值为■一.

a乙12

【解答】解：由题设及正弦定理边角关系，sin5cosc+sinCcos5=4siiL4cos4,

即sin(B+C)=4siih4cos4,而/+5+C=n,故sirU=4sirUcos4,

-i

又siih4W0,则cosZ=4,故sinZ=7—,

第10页(共16页)

而次=fo2+c2—2bccosA=b2+c2—ihc,S=^bcsinA=."灰,

ZZo

〜,SV15bcV15bcV15

所以=---5---5-------<------------当且仅当b=c时等号成立,

a28(b2+c2)-4bc16bc—4bc12

故多的最大值为:当.

az12

故答案为：吟.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.某校高三年级1000名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间

是[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150].

(1)求图中。的值，并根据频率分布直方图，估计这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位

数；

(2)从这次数学成绩位于[50,70),[70,90)的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方.法抽取9

人，再从这9人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间[70,90)的人数记为X,求X的分布列及数学

期望.

【解答】解：(1)由频率分布直方图可得(0.0025+0.0075+0.015X2+2。)X20=l,

解得a=0.005.

前4个矩形面积之和为(0.0025+0.0075+0.015X2)X20=0.8,

前5个矩形面积之和为0.8+0.005X20=0.9.

设这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为m,

则0.8+(«?-110)XO.OO5=O.85,解得，加=120,

所以这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为120.

(2)数学成绩位于[50,70),[70,90)的学生人数之比为：0.0075：0.015=1：2,

所以所抽取的9人中，数学成绩位于[50,70)的学生人数为9x/=3人，

数学成绩位于[70,90)的学生人数为9义|=6人，

第11页(共16页)

由题意可知，随机变量X的可能取值有0,1,2,3,

「31rlr2&

则尸（X=0）=者=京，P（X=l）=甘=/，

P---15p（Y—3）_琮_5

P（X-2）一可一而，P（X-3）-^3-21-

所以X的分布列为:

X0123

P13155

84142821

1315s

E（X）=0x瓯+1XR+2X函+3x五=2-

22V3一

16.已知椭圆C：r次+v方=l（a〉Z?〉0）的离心率为三，焦距为2技

（1）求。的方程；

（2）若斜率为-★的直线/与椭圆。交于P,。两点（点P,。均在第一象限），。为坐标原点.证明:

直线OP,PQ,。。的斜率依次成等比数列.

【解答】解；（1）由题意可得$=李百，解得｛:二窑，

又b2=a2-。2=1,

所以椭圆方程为了+/=1.

4

1

（2）证明：设直线/的方程为y二一讶％+血，P（Xi，yi），Q（12,>2）,

（1,

y=­jx+m

2

由，2，消去y，得f-2加x+2（m-1）=0,

信+y2=i

222

贝!J△=4加2-8（m-1）=4（2-m）>0且XI+%2=2加>0,x1x2=2（m—l）>0,

故VU2=（―9%i+加）（一±%2+加）=_、（（％]+%2）+馆？=1，

koPkoQ=m=轴一如巧+0+加另

2%1%2xlx24PQ

即直线OP,PQ,。。的斜率依次成等比数列.

1

17.如图，在三棱台ABC-NLBCI中，/C_L4B,平面ABBE_L平面ABC,A&=A1B1=BBr==1.

（I）证明：R4i_L平面/CCi/i；

V3

（II）若三棱锥/i-ABC的体积为w，求平面ACCiAi与平面BCCiBi的夹角的余弦值.

第12页（共16页）

【解答】证明：（I）如图所示，在等腰梯形中，连接A41,

又=A1B1=BB1=^AB=1,

可以解得=遮，

在三角形加小中，411=1,

：.BAi±AAi,

又：平面ABB1/1_1_平面ABC,

且平面ABBiAiQ平面ABC=AB,

AC±AB,且平面ZCCMi，

，/C_L平面：.BAi±AC.

又S.AC,Mu平面/CCi/i，

平面NCCi/i.

解：（II）由（I）可知，VAx-ABC—^C-ABAr'

.11/-V3

.x—x1XA/3xAC=—，AC=3,

32v2

以/为原点，以NC,48为x,y轴，建立如图所示的空间直角坐标系/-平.

可得C（3,0,0）,8（0,2,0）,4（0,字），8式0,电）.

易知平面/CC1/1的一个法向量为=（0,-|,年），

设平面BCCLBI的法向量为£=（X,y,z）,

又..•品=（3,-2,0）,丽=（0,-1,

（TT1J?

71,BB1=-,Qy4—Q-Z=0，

由《NN

、几•BC=3x—2y=0/

'%=2

令z=V3,解得平面BCC\Bx的一个法向量为-y=3,

z=V3

即：71=（2,3/V3）,

第13页（共T6页）

—T

・YD募t、BA^n1—=一旦,

••cos<BA1,n>=-_»t

IMIWI।n1o4

V3

•・•平面/CCM与平面8"向的夹角的余弦值为不

18.设为数列｛即｝的前〃项和，已知公=4,S4=20,且*｝为等差数歹!].

(1)求证：数列｛劭｝为等差数列；

(2)若数列｛加｝满足61=6,且与1=工,设"为数列｛a｝的前"项和,集合M=eN*｝,

bnan+2

求M(用列举法表示).

【解答】解：(1)证明：由｛%｝为等差数列，可设园=切+6,即S“=初2+加，

nn

2

当n=l时，ai=S1=k+b,当〃三2时，an=Sn-Sn-X—kr^+bn-左(〃-1)-b(〃-1)=2kn-k+b,

上式对〃=1也成立，则斯=2切-左+b,〃EN*,所以数列｛斯｝为等差数列;

(2)由42=4,54=20,可得3k+6=4,16左+46=20,解得左=6=1,即即=2%

+7/口*+1CL2nn

由bi=6,且二一=---n-

如an+22(n+2)n+2

比bbnTb”

则bn=b\•-3•-••----•----

bib2bn_2bn-i

12n—2n—11211

=6X^X-T9...9-----•------=—-----=12(一一---

34nn+1n(n+l)nn+1

11111I7

可得T〃=12(1-2+2一可+-“+而一申)=12一申，

当“+1=2,3,4,6,12,即〃=1,2,3,5,11时，Tn=6,8,9,10,11,

所以M=｛6,8,9,10,11).

19.设定义在R上的函数/(x)=ex-ax(a£R).

(1)若存在xoe[l,+8),使得/Go)