2024-2025学年高中数学周练卷3习题含解析新人教A版选修1-1

周练卷(三)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,4)＋y2＝1C.eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1 D.eq\f(y2,4)＋x2＝12．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq\f(1,2)，则C的方程是()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝13．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为eq\f(π,3)的弦AB，则弦AB的长为()A.eq\f(6,7) B.eq\f(16,7)C.eq\f(7,16) D.eq\f(7,6)4．已知F1，F2为椭圆eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<10)的左、右焦点，P是椭圆上一点，若∠F1PF2＝60°且△F1PF2的面积为eq\f(64\r(3),3)，则椭圆的离心率为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(9,25) D.eq\f(16,25)5．假如AB是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的随意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为()A．e－1 B．1－eC．e2－1 D．1－e26．已知F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2＝2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是()A.eq\r(3)－1 B．2－eq\r(3)C.eq\f(\r(3)－1,2) D.eq\f(2－\r(3),2)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)7．设P是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|＝________.8．一个圆经过椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为________．9．已知椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满意0<eq\f(x\o\al(2,0),2)＋yeq\o\al(2,0)<1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为________．10．已知椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满意|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于________．三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)11．(15分)椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的两焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝eq\f(\r(3),2)，焦点到椭圆上点的最短距离为2－eq\r(3)，求椭圆的方程．答案1．A2.D3．B椭圆方程化为标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，所以左焦点为F(－eq\r(2)，0)，又直线斜率k＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，所以弦AB所在直线方程为y＝eq\r(3)(x＋eq\r(2))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x＋\r(2)，,x2＋2y2＝4))可得7x2＋12eq\r(2)x＋8＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(12\r(2),7)，x1x2＝eq\f(8,7)，所以|AB|＝eq\r(1＋\r(3)2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12\r(2),7)))2－4×\f(8,7))＝eq\f(16,7).故选B.4．A因为S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝eq\f(64\r(3),3)，所以|PF1|·|PF2|＝eq\f(256,3)，又|PF1|＋|PF2|＝20，所以|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝400，①由余弦定理知，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos60°＝|F1F2|2＝4(100－b2)，②①－②得，3|PF1|·|PF2|＝4b2，所以b2＝64，所以c2＝100－64＝36，所以c＝6，又a＝10，所以e＝eq\f(3,5).故选A.5．C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，又eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，②①－②并整理可得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，即kAB＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，又kOM＝eq\f(y0,x0)，所以kAB·kOM＝－eq\f(b2,a2)，又e＝eq\r(1－\f(b2,a2))，所以－eq\f(b2,a2)＝e2－1，即kAB·kOM＝e2－1.故选C.6．A依题意知，∠F1PF2＝90°，又∠PF1F2＝2∠PF2F1，所以∠PF1F2＝60°，∠PF2F1＝30°，所以|PF1|＝c，|PF2|＝eq\r(3)c，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝(eq\r(3)＋1)c，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.故选A.7．108.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4)解析：由题圆肯定过短轴两个端点(0，±2)，设圆心(m,0)，若过右顶点，则4－m＝eq\r(m2＋4)得m＝eq\f(3,2)，即圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，半径为eq\f(5,2)，圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4)，若过左顶点，同理得圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4).9．[2,2eq\r(2))解析：因为点P(x0，y0)满意0<eq\f(x\o\al(2,0),2)＋yeq\o\al(2,0)<1，所以点P是椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1内部除原点外的一点，又a＝eq\r(2)，c＝1，所以|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|<2a，即2≤|PF1|＋|PF2|<2eq\r(2).10．8eq\r(2)解析：由eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1知，a＝5，b＝4，则c＝3，即F1(－3,0)，F2(3,0)，故|PF2|＝|F1F2|＝6.又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝10，则|PF1|＝10－6＝4，于是S△PF1F2＝eq\f(1,2)·|PF1|·h＝eq\f(1,2)×4×eq\r(62－\f(4,2)2)＝8eq\r(2).11．解：∵焦点到椭圆上点的最短距离为2－eq\r(3)，∴a－c＝2－eq\r(3).①又已知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，②由①②解得a＝2，c＝eq\r(3)，∴b2＝a2－c2＝1.∴椭圆的方程为eq\f(y2,4)＋x2＝1.————————————————————————————12.(15分)已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短轴长为4，离心率为eq\f(\r(3),2).(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两点，且|AB|＝eq\f(16,5)eq\r(2)，求直线l的方程．13．(20分)已知，椭圆C过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，假如直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．答案12.解：(1)设椭圆C的长半轴长为a(a>0)，短半轴长为b(b>0)，则2b＝4，由eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(3),2)，解得a＝4，b＝2.因为椭圆C的对称轴为坐标轴，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(y2,16)＋\f(x2,4)＝1，))消去y，得5x2＋2mx＋m2－16＝0，由题意，得Δ＝(2m)2－20(m2－16)>0，且x1＋x2＝－eq\f(2m,5)，x1x2＝eq\f(m2－16,5)，因为|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋1)|x1－x2|＝eq\r(2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(16,5)eq\r(2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2m,5)))2－eq\f(4m2－16,5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))2，解得m＝±2，验证知Δ>0成立，所以直线l的方程为x－y＋2＝0或x－y－2＝0.13．解：(1)由题意，c＝1，可设椭圆方程为eq\f(x2,1＋b2)＋eq\f(y2,b2)＝1.因为A在椭圆上，所以eq\f(1,1＋b2)＋eq\f(\f(9,4),b2)＝1，解得b2＝3，b2＝－eq\f(3,4)(舍去)．所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)设直线AE方程为y＝k(x－1)＋eq\f(3,2)，代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－k))2－12＝0设E(xE，yE)，F(xF，yF)．因为点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在椭圆上，所以xE＝eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(