2024年高考数学一轮复习 单元检测 数列（含解析）理

单元检测（六）数列

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1.[2024•江西五校联考]在等差数列｛aj中，&=1,生=2,则公差d的值是（）

全

1111

A.一尹尹一产4

2.公比为2的等比数列｛a〃｝的各项都是正数，则a3a“=16,则（）

A.4B.5C.6D.7

3.[2024•蓉城名校高三联考]若等差数列｛a｝的前〃项和为S,且&=20,a=6,则

a2的值为（）

A.OB.IC.2D.3

4.[2024•吉林长春模拟]已知等差数列｛aj的前〃项和为S,若&<0,Sz〉0,则在数

列中肯定值最小的项为（）

A.第5项B.第6项

C.第7项D.第8项

5.已知S为数列｛2｝的前〃项和,且log?（S+1）=〃+1,则数列｛aj的通项公式为（）

[3,77=1,

A.C2=2/7B.o.~\

/7n〔2",n，2

C.a0=2"—'D.a„=2n+l

/!+1

6.若数列｛若的通项公式是a=（―l）•（3/7—2）（77eN*）,则ai+a24----aa）/=

（）

A.-3027B.3027

C.-3030D.3030

7.[2024•广东七校联考]已知等差数列｛aj的前n项和为S„,劣+a=6,£—&=3,

则S取得最大值时〃的值为（）

A.5B.6C.7D.8

8.[2024•山东青岛模拟]设S是等差数列｛&｝的前〃项和，若a?=也I则s詈=（）

<->6O012

3111

A.-B,-C,-D.-

9.在数列｛a｝中，已知对随意正整数有&+&+…+a=2"—1,则石；+1+…+

4=（）

A.(2°-l)2B.1(2"-1)2

J

C.4"-ID.g(4"-1)

10.［2024•湖北武汉部分重点中学联考］等比数列｛aj的前〃项和为S,若对随意的正

整数〃，$+2=45+3恒成立，则&的值为()

A.-3B.1

C.-3或ID.1或3

11.［2024•内蒙古巴彦淖尔月考］定义上上为〃个正数",”…，的的

“均倒数”，已知数列｛a｝的前〃项的“均倒数”为白7•若6产中,则/厂+/厂+…

2/7+14bikbzbi

+—为()

biobn

±911

A11R1112

12.数列｛a｝满意a=|,.J列讣*),若对〃£N*,都有k>—+--\------成立，

Oo，n1Hl石2Hn

则最小的整数才是()

A.3B.4C.5D.6

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)

13.在公差为2的等差数列｛aj中，a3-2a5=4,则a-2a7=.

14.已知等差数列｛cj的首项。=1,若｛2以+3｝为等比数列，则的海=.

15.已知数列｛&｝满意递推关系式d+尸22+2〃一1(〃GN*),且［2受j为等差数列，则

实数/的值是.

16.［2024•安徽五校检测］设数列｛aj满意&=5,且对随意正整数〃，总有(a〃+i+3)(a〃

+3)=4a0+4成立，则数列｛aj的前2024项的和为.

三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

已知｛a〃｝为等差数列，M31+33=8,32+134=12.

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)记｛aj的前〃项和为S,若a,ak,£+2成等比数列，求正整数A的值.

18.（本小题满分12分）

已知由实数构成的等比数列｛aj满意ai=2,ai+a3+a5=42.

⑴求数列｛劣｝的通项公式；

（2）求as+ai+aeH------Faz”的值.

19.（本小题满分12分）

已知数列｛aj的前〃项和为Sn,S=〃2+〃+a+l（a为常数）.

⑴若a=2,求数列｛aj的通项公式；

（2）若数列｛aj是等差数列，4=上＞，求数列｛4｝的前〃项和7；.

n•S+i

20.(本小题满分12分)

已知“GN*,设S是单调递减的等比数列｛aj的前〃项和，a2=(,且£+a,&+&，&

+a,成等差数列.

(1)求数列｛aj的通项公式；

⑵若数列｛4｝满意4=—logza-—1),数列的前〃项和北满意人

=2024,求实数4的值.

21.(本小题满分12分)

设数列｛&｝的各项均为正数，其前〃项和为S,且人因=a〃+l(〃GN*).

(1)求数列｛aj的通项公式；

1

(2)记b„=,若61+益H---\-bn>l,求正整数〃的最小值.

y[an+yja„+i

22.（本小题满分12分）

[2024•河南林州调研]已知数列｛aj是等比数列，首项国=1,公比17〉0,其前“项和为

Sn,且S+ai,&+&,S+a2成等差数列.

（1）求数列｛aj的通项公式；

⑵若数列伉｝满意&+1=0bn,7；为数列｛4｝的前〃项和，若北三勿恒成立，求加的

最大值.

单元检测（六）数列

1.答案：A

解析：方法一由*2,得k2a5,所以&+5d=2（&+4小又&=1,所以d=一

1

3-

方法二由a一a5=d,-=2,得as=d,因为as=&+4d,所以占4+44又a=,

所以＜7=—1.

2.答案：B

解析：因为a；=a3ali=16,且劣〉0,所以a?=4.因为公比g=2,所以&o=a7/=4><23

55

=2,所以log25io=log22=5.

3.答案：C

解析：1”备)=5as=20,解得as=4,依据等差数列的性质有2a3=2+国,所

以及=2&—々=816=2.

4.答案：C

77(a+为)[513^0,]劭+〃13〈0,

解析:依据等差数列｛a｝的前n项和公式S尸—L、，因为L5所以,s

，t1512/0,[国十〃12〉0,

]助+为3=22,[*&<(),

由,I得I…所以数列｛2｝中肯定值最小的项为第7项.

[国+@12-36~\~3,7〔&十乃7〉0,

5.答案：B

解析：由log2(S+1)=〃+1,得S+l=2"i.当刀=1时，<31=51=3；当〃22时，an

f3,27=1,

=S—S—1=2".经检验，4=3不符合上式，所以数列｛a｝的通项公式为a=J〃.

6.答案：A

解析：ai+a2H-----F32024=(ai+a2)+(as+a)H-------H(awn+32024)—(1-4)+(7

-10)H------F[(3X2017-2)-(3X2024-2)]=(-3)X1009=-3027.

7.答案：D

ai+5d+a1+7d=6,

解析：方法一设｛aj的公差为d,则由题意得,解得

ai+6d+ai+7d+ai+8d—3，

ai=15,

所以a=—2〃+17,因为a>0,a<0,所以S取得最大值时〃的值为8.

d=-2.

方法二设由的公差为”则由题意得，L[ai++5d+6ai+-7d+=6,8X，解得[kai=-15,2,

77(n—1)

则S=15〃+——-——X(-2)=-(77-8)2+64,所以当〃=8时，S取得最大值.

8.答案：A

解析：不妨令£=1,则&=3.因为｛aj是等差数列，所以国,庆一S,£—友,见一S

成等差数列.又&=1,&=3,£—&=2,所以S—&=3,Sz—S=4.于是&=&+3=6,

CQ

512=5)+4=10,所以

9.答案：D

解析：由4+a2d-------a„=2"—1,

得ai+a2+…+a〃-i=2"1—1,

两式作差可得a〃=2〃一20T=20T,

则a：=(2*T)2=2*2=41,又/=41=1,

故数列｛a：｝是首项为1,公比为4的等比数列.

IX(IT")1

结合等比数列前〃项和公式得a2：+富2+-+42=一=5©—I).

10.答案：C

解析：设等比数列｛a｝的公比为。.当°=1时，S+2=(刀+2)si,Sn=nax.

由S+2=4S+3,得(刀+2)51=4/751+3,即32〃=2%一3.

若对随意的正整数〃，3&〃=2&-3恒成立，则功=0且2Q—3=0,冲突,

所以gWl,于是S=&「),S「(,产)

l~q1一0

代入S+2=4S+3并化简，得a(4—/)0"=3+34—30.若对随意的正整数刀，该等式

==

则有[4—二/=吁0,…,I<211,31-35

恒成立,解得由此可得31=1或-3.

⑦=2q=12

11.答案：C

771

解析：由已知得a-a-Ta广向,ai+52H-----\-an=n(2〃+1)=S.当n

=1时，&=3；当〃22时，a=S—S-i=4〃-1.验证知当刀=1时也成立,

a+1

・・&=4z?1,・・bn~~~=n-

念rUr•・・£+表+…+£=lH)+lH)+(H)+…+

12.答案：C

3+]-16

解析：由&=~一得Q，n(Qn-1)=a+1-19•2=三，••8?>1,

an—15

••4+1一1&(an-1)an-l^an-lan+i-V

•3+…+、C—上+上―4+…+C—

a\&an卜劭―13,2—1J卜色-1a3-lj\an-1an+i-ljai-l

]

2+1-1'

1,11111

;・一+--|--\--=5----------r<5.

色改ana+i—l

又对都有己+(+•••+之成立,

・・・425.故最小的整数A是5.

13.答案：一2

解析：在公差为2的等差数列｛a｝中，/―2al=(&+d)—2(a+2d)=&-2与-3d

=4—3X2=-2.

14.答案：1

解析：设等差数列｛cj的公差为d,又。=1,则2a+3=5,2c2+3=24+5,2c3+3=

2

4d+5,由｛2c0+3｝为等比数列得(2ci+3)(2c3+3)=(2c2+3),贝lj5(4d+5)=(2d

+5)°,解得d=0,则C2O24=C1—1.

15.答案：-1

什/a”+a+i+4a〃+42a〃+2"-1+4a”+4a„\

解析：右彳一［■为等差数列，则一a》一--齐-=----产i--------------不「=歹+5+

［乙J乙乙乙乙乙乙

2—1A4A一1A

2〃+i之〃2^-5+-2〃+i2〃^^吊，即2〃+i5^=0，贝U4一1_24=0,解得几=一

1.

16.答案：一835

_48?+4_a-5

解析:由(4+1+3)(a+3)=4a+4,得a+i劣+3°an+3,因为包=5,所以

5

勿=0,&=—§,々=-5,戊=5,所以数列｛4｝是以4为周期的周期数列，因为2024=504X4

555

+2,且@+勿+&+&=一可，即一个周期的和为一可，所以数列｛2｝的前2024项的和为一不

JJO

X504+5+0=—835.

17.解析：(1)设等差数列｛a｝的公差为4

2囱+2d=8,1&=2,

由题意知解得4

(a+d)+(a+3d)=12,[d=2.

则a=&+(77—1)d=2+2(77—1)=2n.

(2)由(1)可得4=2,an=2n,则S=-("；"，4=刀(刀+1).

若&,ak,£+2成等比数列，则(2k)2=2(A+2)(A+3),

即42=2_^+104+12,解得A=6或A=—1(舍)，故A=6.

18.解析：(1)设等比数列｛a｝的公比为0,

[<31=2,

由彳可得2(1+/+04)=42,

[3，i-।&\a42,

由数列｛&｝各项为实数，解得，=4,g=±2.

所以数列｛aj的通项公式为&=2〃或&=(-1)

4(1-4")4

(2)当&?=2"时，/+丛+乃6+~+&〃=::­T(4"-1)；

i—4J

,(—4)•(1—4”)4

当a=(-1)1•2”时，功+2+为+…+::-T(1一4”).

n1—43

19.解析：(1)当3=2时，Sn=n+77+3.

当〃=1时，a=S=5；

当时，劣=SLSn-i=2n.

经检验，功=5不符合上式，

[5,72=1,

故数列｛4｝的通项公式为劣=°

[2n,启2.

(2)当刀=1时，4=5=3+乃；

当z?22时，a=S—S-1=2/7.

・・,数列｛a｝是等差数列，・・.3+a=2,解得〃=—1,

an=2n,Sn=n+n.

n2(77+1)______________2(刀+1)_____________2_______11

"nn•[(〃+l)2+??+1]n•(〃+l)(刀+2)n•(〃+2)n〃+2'

，—+…+b=1j+...+_1___X_+1__X_=!

J。—

〃+221n~\~2)

20.解析：(1)设等比数列｛a｝的公比为Q,

由2(&+a)=2+a+W+z5,得(&-&)+(S&—£)+2a=a+含，

即4a=&,••Q=].

•・,{&}是单调递减数列，・・・°=；.

(2)由(1)得5〃=—log2出十几方=(4+1)77—1,

,_J________________________1____________________

•bnbn+1[(4+1)n—1],[(4+1)(刀+1)—1]

=一______11[

A+(A+1)n—1(-A+1)(n-\-1)—1

2024

--L丽—2024,A=—1或A=

A(2024^+2024)

2024,•--L・・4=2024,

=

21.解析：(1)由2yj~Sn3n~\~1f两边平方，得4S=(劣+1)。则4S+i=(a+i+1)

22

两式相减，得4a+i=(a+i+l)—(a+1),整理得(为+i—1)2—(an-\-1)2=0,

即(&?+1+劣)(dn+\—a―2)=0.

因为a〉0