2025北京北师大实验中学高二（上）期末数学（教师版）

第1页/共1页2025北京北师大实验中学高二（上）期末数学一、单选题：本大题共10小题，共50分。1.在空间直角坐标系O-xyz中，点M2,-3,1关于原点对称的点的坐标为(

)A.-2,-3,-1 B.2,3,-1 C.-2,3,1 D.-2,3,-12.已知直线l的一个方向向量为-1,1，则直线l的倾斜角为(

)A.45∘ B.90∘ C.3.抛物线y2=12x的焦点为F，点P在此抛物线上，PF=6，则点P的横坐标为A.2 B.3 C.4 D.64.圆(x-3)2+(y+2)2=1A.相交 B.内切 C.外切 D.内含5.在(x-2x2)A.60 B.15 C.-60 D.-156.某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为(

)A.6 B.12 C.24 D.367.已知正四棱锥P-ABCD的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上的一动点，则△HBD面积的取小值为(

)A.2 B.423 C.8.已知直线l:3x+y-4=0，圆Γ:x2+y2=r2r>0，若直线l上存在两点A,B，圆ΓA.1,3 B.2,3 C.1,+∞ D.2,+∞9.已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2，倾斜角分别为αA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.一个平面区域内，两点间距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线x2+y4A.432 B.3 C.22二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.如图，直线l:x-2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为

．12.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则13.设(2x-1)4=a4x414.双曲线M:x2-y23=1的渐近线方程为

；若M与圆O:x215.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为CD①▵AA1P②满足▵AA1P的面积为2的点P有且仅有③点P可能为CC④线段AP的最大值为3．其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.某小组共有6名学生，其中女生2名，男生4名．(1)将6名学生排成一排，且女生不相邻的排法有多少种？(2)从6名中选出3人参加某公益活动．(i)共有多少种不同的选择方法？(ii)如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？17.已知A2,4,B-1,1,O为坐标原点，圆C(1)求圆C的标准方程；(2)过原点的直线l被圆C截得的弦长为32，求直线l18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC,AC⊥BC，AC=BC=2,CC1=3，点

(1)求证：C1(2)求二面角C1-19.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F1,0，离心率为22，直线l过点(1)求椭圆C的方程；(2)延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率．20.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为BC的中点.点M条件①：MA=MC条件②：EM⊥AD；条件③：EM//平面CDD(1)求证：M为BD(2)求直线EM与平面MCD所成角的大小，及点E到平面MCD的距离．21.已知椭圆E:x2a2+y2b(1)求椭圆的标准方程；(2)设A为椭圆E的右顶点，B为椭圆的上顶点，直线l:y=12x与椭圆交于C,D两点(C在第三象限)，P是椭圆上的动点(不与顶点重合)，直线AP,BP分别交直线l于点E,F，记ED=λ

参考答案一、单选题：本大题共10小题，共50分。1.D

2.D

3.B

4.C

5.A

6.D

7.B

8.C

9.A

10.B

二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.212.-413.0

14.y=±3x

15.①④

三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(1)男生先排有A44种，女生插空有所以共有A4(2)(i)6名中选出3人共有C6(ii)6名中选出3名男生有C4所以至少有1位女生入选，共有20-4=16种不同的选择方法．17.解：(Ⅰ)设△AOB的外接圆的方程为x2∵A，B，O均在圆C上，∴解得D=-2所以圆C的方程为x2所以圆C的标准方程为(x-1)(Ⅱ)由(Ⅰ)知圆心C(1,2)，半径为5因为直线l被圆C截得的弦长为3所以点C到直线l的距离为d=当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，即kx-y=0，则|k-2|1+k2=2当直线l的斜率不存在时，不满足条件，所以直线l的方程为x-y=0或7x-y=0．

18.(1)由于CC1⊥CA,CC1C1故C1故C1M

(2)由于AC⊥平面BCC1B1，故平面设平面B1ED的一个法向量为B1故B1E⋅n=-2y-z=0设二面角C1-B1E-D故cos19.(1)由题意可知，c=1，e=c∵a∴a=2，∴椭圆的方程为x2(2)设直线l的方程为y=kx-1k≠0，Ax联立y=kx-1x22+则x1若四边形OAPB为平行四边形，则OA+OB∴x3=∵点P在椭圆上，∴4解得k2=1∴当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为k=±20.(1)选条件①：由MA=MC，根据正方体ABCD-A1B1C选条件②：EM⊥AD，连接CD1，在正方体ABCD-A1B因为CD1⊂平面CD又因为EM⊥AD，AD//BC，所以EM⊥BC，因为EM,CD1⊂平面BC又因为E为BC的中点，所以M为BD选择条件③：EM//平面CDD连接CD1，因为EM//平面CDD1C且平面BCD1∩平面CD因为E为BC的中点，所以M为BD(2)在正方体ABCD-A1B如图所示，则D(0,0,0),C(0,2,0),E(1,2,0),M(1,1,1)，所以DC=(0,2,0)，DM=(1,1,1)，设平面MCD的法向量为m=(x,y,z)，则令x=1，则y=0,z=-1.于是m=(1,0,-1)设直线EM与平面MCD所成的角为θ，则sinθ=所以直线EM与平面MCD所成角的大小为30点E到平面MCD的距离为d=EM21.(1)由椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为4，得12⋅2a⋅2b=2ab=4，