黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

黑龙江省哈尔滨市第三中学校20242025学年高一上学期10月月考数学试题考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列关系中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据元素与常用数集的关系一一判定选项即可.详解】易知，即A错误；，即B正确；，即C错误；，即D错误.故选：B2.集合，则（）A. B.R C.0,2 D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域计算B，结合交集的概念计算即可.【详解】由题意知，即，又，所以.故选：C3.已知命题，则为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得：命题的否定是．故选：D4.下列各组函数是同一个函数的是（）A.与 B.与C.与 D.与【答案】A【解析】【分析】根据定义域与对应关系判定同一函数即可.【详解】对于A，易知两函数定义域均为R，且，故A正确；对于B，的定义域为，而的定义域为，两函数定义域不同，故B错误；对于C，的定义域为R，的定义域为，两函数定义域不同，故C错误；对于D，易知两函数定义域均为R，但，故D错误.故选：A5.若，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为，若，则，即；所以是的充分条件；若，则，因此，即；所以是的必要条件；综上，是的充要条件.故选：C.6.已知，则的最小值为（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求和的最小值.【详解】时，，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故选：B.7.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将变形为，变形为，分析结构可知，从而得到结果.【详解】，，表示等奇数，表示等奇数，.故选：C.8.已知为正实数，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，结合一元二次不等式利用基本不等式求得范围，即可求解.【详解】由，可得：又，当且仅当时取等号，所以，令可得：，即，所以，所以，所以.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据不等式的性质进行判断可得结论.【详解】因为，，根据不等式的性质，则，故A正确；同理：，故BC正确.如，，但不成立，故D错误.故选：ABC10.已知为正实数，，则下列选项正确的是（）A.ab的最小值为2 B.的最小值为C.的最小值为8 D.的最小值为2【答案】BCD【解析】【分析】根据基本不等式结合消元转化一一判定选项即可.【详解】由为正实数，对于A，，解之得，所以，当且仅当时取得最小值，故A错误；对于B，由，所以，当且仅当，即时取得最小值，故B正确；对于C，，由A知，结合二次函数的性质知，当且仅当时取得最小值，故C正确；对于D，，而，即，解之得，当且仅当时取得最小值，故D正确.故选：BCD11.已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“W集”则下列选项正确的是（）A.集合是“W集”B.若是“W集”，则至少有一个大于2C.二元“W集”有有限个D.若为正整数，则“W集”A有且只有一个，且【答案】AD【解析】【分析】根据定义可判定A，举反例可判定B，利用等量关系化为函数关系可判定C，设A中，得到，分和，两种情况分类讨论，可判定D.【详解】对于A，，所以A正确；对于B，如显然是“W集”，但不满足两个元素至少一个大于2，故B错误；对于C，若“W集”，即，显然，显然随变化而变化，这样的二元“W集”有无限个，所以C错误；对于D，不妨设A中，由，得，当时，即有，所以，于是，无解，即不存在满足条件的“W集”；当时，，故只能，，求得，于是“W集”A只有一个，为．当时，由，即有，事实上，，矛盾，所以当时不存在W集A，所以D正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略：①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.函数的定义域为_____________.【答案】【解析】【分析】利用二次根式与零指数幂的意义计算即可.【详解】由题意可知函数解析式有意义需，解之得.故答案为：13.已知，则的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】利用不等式的性质结合待定系数法计算即可.【详解】设，即，解之得，由，则故答案为：14.关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】分离参数，利用对勾函数的性质计算即可.【详解】不等式在上有解，等价于在上能成立，根据对勾函数的性质知在上单调递减，所以，则.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.比较下列各组M，N大小.（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用作差法结合因式分解比大小即可；（2）利用分子有理化比较即可.【小问1详解】由题意知，而，所以a−b2≥0,a+b【小问2详解】易知，且，又，所以.16.已知集合.（1）求；（2）若满足，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解不等式求A，M，利用补集与并集的概念计算即可；（2）分类讨论B是否为空集，结合集合的基本关系计算即可.【小问1详解】由，解得，即，由，解得，即，则，则；【小问2详解】由可知，若，即时，符合题意；若，则要满足题意需，解之得；综上所述实数的取值范围为.17.哈尔滨市第三中学校计划在符保卢田径场建造一间地面为矩形、背面靠墙的器材室，占地面积为，器材室正面每平方米的造价为元，侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元.墙高为，且不计器材室背面和地面的费用.（1）列出总造价与器材室正面长度的关系式；（2）器材室正面长度为多少时能使总造价最低？并求出最低总造价.【答案】（1）（2）器材室正面长度时能使总造价最低，最低总造价为元.【解析】【分析】（1）由题意设出长方体的长和宽，直接建立函数关系即可；（2）利用基本不等式，可得答案.【小问1详解】由题意可知正面长度为，由占地面积为，则侧面长度为，可得【小问2详解】令，根据基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，即，.所以器材室正面长度时能使总造价最低，最低总造价为元.18.已知函数.（1）若不等式的解集为，求的取值范围；（2）解关于的不等式.【答案】（1）；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）分类讨论结合三个二次关系计算即可；（2）含参分类讨论解不等式即可.【小问1详解】若，则，显然不符合题意；所以，要满足题意需，整理得，解之得，即的取值范围为；【小问2详解】原不等式等价于，若时，解不等式得，若，解不等式得或，若，解不等式得，若，解不等式得，若，解不等式得，综上所述：时，不等式解集为；时，不等式解集为；时，不等式解集为；时，不等式解集为；时，不等式解集为.19.设，记不大于的最大整数为，如：，.（1）若，求；（2）已知，试求；（3）已知且，记，求证：.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接证明即可得到；（2）利用函数的单调性证明方程存在唯一零点，且该零点属于，即可得到，进一步即知；（3）先证明不等式，然后由此证明，即可得到原命题.【小问1详解】此时，.故，从而.【小问2详解】设，若，下面证明：.若，则有，所以，这就得到.故；若，则由，知.从而有，.这就