2025年中考数学二轮复习：四边形 压轴解答题练习题（含答案解析）

第第页2025年中考数学二轮复习：四边形压轴解答题练习题一．解答题（共25小题）1．课本再现（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接BD和AE相交于点P，线段BD与AE有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？深入探究（2）如图2，将△CDE绕点C逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同．①线段BD与AE的数量关系是；②∠DPE的度数为．拓展应用（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，求边CD的长度．2．问题探索：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D为AB中点，点E，F分别在边BC，AC上且∠EDF＝90°，则DE与DF的数量关系是；问题解决：（2）如图2，某大学校园内有一块四边形的花圃ABCD，满足AB＝80m，BC＝20m，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，花圃内铺设了一条小路BD，BD平分∠ABC，为方便学生赏花，现计划修建一条径直的通道DE与小路BD相连，且DE⊥BD，入口点E恰好在BA的延长线上．解答下列问题：①求证：AD＝CD；②求入口到点A的距离AE的长．3．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E不与A、C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交直线CD于F，将线段BE绕点B顺时针旋转90°得到线段BG，连接GA，GC，GF．（1）求证：△ABE≌△CBG；（2）试探究CE+CG与BC的数量关系，并说明理由．（3）若正方形ABCD的边长为2，求GA+GB的最小值．4．【定义】如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”．如图1，在四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°，则四边形ABCD是对补四边形．【应用】（1）如图1，在对补四边形ABCD中，∠A＝100°，则∠C＝；（2）如图2，在对补四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，DC＝2，则BC＝；（3）如图3，在对补四边形ABCD中，AC平分∠BAD．①求证：BC＝CD；②若∠BAD＝60°，请探究AB、AC、AD的数量关系并说明理由．5．【课本再现】（1）如图1，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥AC，DE=1证明：延长ED至点F，使DF＝DE，连接AF……请你把证明过程补充完整．【类比迁移】（2）如图2，DE是△ABC的中位线，F是平面内任意一点，将点F分别绕着点D，E旋转180°得到点G和H，连接GH，猜想GH和AC的关系，并证明；【拓展应用】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，D，E分别是边AB，BC的中点，点F在△ABC内部，将点F分别绕着点D，E旋转180°得到点G和H，顺次连接AG，GB，BH，HA得到四边形AGBH，试求四边形AGBH的面积．6．“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线．将△ABD沿射线BC的方向平移，得到△EFG，其中点A，B，D的对应点分别为E，F，G，如图2，当线段EF经过点D时，连接DG，GC，请解决下列问题：【数学思考】（1）请直接写出四边形DFCG的形状：；【深入探究】（2）如图3所示，老师将图2中的△EFG绕点F按顺时针方向旋转得到△PFQ，其中点E、G的对应点分别为P、Q，线段PF、QF分别与边BD交于点M、N．①“勤学小组”提出问题：当PQ∥BD时，试猜想线段PM和FM的数量关系，并证明；②“善思小组”提出问题：若△ABC中，AB＝6，BC＝8，当△FMN为等腰三角形时，请直接写出△FMN的面积．7．（1）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，在边BC上任取一点D，连接AD，将△ADB沿着AD翻折，得到△ADB'，且点B'在直线AC的上方．连接BB'并延长与AC的延长线交于点E．①AD与BE之间有怎样的位置关系？请证明你的结论；②若sin∠BAC=45，请探究AD与（2）如图2，在平行四边形ABCD中，sinA=45，AB＝5，AD＝6，点E是AB边上的点，满足AEEB=32，将BE绕着点E顺时针旋转90°得到ME．过点E作EF⊥CE交AD于点N，连接MD，MN，DF、若EF＝8．综合与实践线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探索过程：【探索发现】（1）课上老师提出问题：如图1，点O是线段AB上一点，C，D分别是线段OA，OB的中点，当AB＝16时，求线段CD的长度．下面是小华根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程：未知线段已知线段⋯因为C，D分别是线段OA，OB的中点，所以OC=12OA，OD=1所以CD＝OC+OD=12OA+1=12因为AB＝12，所以CD＝④．线段中点的定义线段的和、差等式的性质【知识迁移】（2）小华举一反三，发现有些角度的计算也可以用类似的方法进行转化．如图2，已知∠AOC＝80°，OB是角内部的一条射线，OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线，求∠DOE的度数．请同学们尝试解决该问题．【拓展延伸】（3）老师提出这样一个问题：如图3，长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F，G在边CD上，连接EF，EG，将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM，将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．若∠FEG＝26°，请直接写出∠MEN的度数为．9．【综合与探究】数学课上，李老师布置了一道题目：如图①，点E，F分别在正方形ABCD的边AB，BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+CF．【思路梳理】（1）“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整：∵AD＝CD，∴将△ADE绕点D逆时针旋转90°至△CDG，可使AD与CD重合，∴∠A＝∠DCG，∠ADE＝∠CDG，AE＝CG，DE＝DG，∵∠DCB＝∠A＝90°，∴∠FCG＝180°，即点F，C，G共线，∴∠EDG＝∠EDC+∠CDG＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠GDF＝∠EDF＝45°，又∵DF＝DF，∴≌△DEF，（）（写依据）∴EF＝FG＝CG+CF＝AE+CF．【类比引申】（2）“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图②，在四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝90°，点E，F分别在边AB，BC上，∠EDF＝45°，连接EF．若∠A，∠C都不是直角，且∠A+∠C＝180°，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由．【联想拓展】（3）“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图③，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D，E均在边AC上，且∠DBE＝45°．当AD＝1，CE＝2时，直接写出DE的长度．10．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出两种你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的图形的名称，（2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形OAMB．（3）如图（2），在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，且AB＝BC，连接BD．探究BD、AD、和CD三者之间的数量关系，并说明理由．11．如图1，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点B出发，以1cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿C﹣B﹣C方向运动到点C停止，连接DP、DQ；若P、Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒（t＞0），△DPQ的面积为Scm2（S＞0）．（1）当t＝1时，PQ＝；当t＝3时，PQ＝．（2）当点P和点Q相遇时，求t的值．（3）当0＜t≤4时，用含t的代数式表示S．（4）如图2，在点P和点Q不重合的情况下，连接AP，四边形APQD的面积是长方形ABCD的面积的23时，直接写出t12．【操作思考】（1）如图1，已知方格纸每个小方格都是长为1个单位的正方形，已知线段AB的端点均在正方形网格格点上，其位置如图所示．请在网格纸上画出以AB为斜边的所有互不全等的直角三角形，要求这些三角形的顶点均在正方形网格格点上．【联系应用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ACBC=13，D，E是BC边的三等分点，连接【拓展延伸】（3）如图3，已知正方形ABCD的边长为3，当点H是边AB的三等分点时，把△BCH沿CH翻折得△GCH，延长HG交AD于点M，求MD的长．13．综合与探究问题情境：在△ABC中，AC＝BC，D为AB的中点．将△CDB以点D为中心逆时针方向旋转，点B，C的对应点分别为点B′，C′，B′C′与AC的交点为E．猜想证明：（1）如图1，当B′C′∥AB时，判断四边形ADB′E的形状，并说明理由；深入探究（2）如图2，当点B′恰好落在BC边上时，①猜想线段AE，B′E的数量关系，并说明理由；②若AC＝10，AB＝12，请直接写出线段BB′的长度．14．在长方形ABCD中，AD＝6，E，F分别是AD，AB边上的动点．在长方形ABCD的内部（包含边界），以EF为直角边作等腰直角三角形EFP，且∠EFP＝90°．过点P作PQ⊥AB，垂足为Q．（1）如图①，当AE＝1时，设AQ＝x，PQ＝y，求y与x之间的函数表达式；（2）当点E的位置如图②所示时，点F在AB边上运动，用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点P；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）（3）当点E，F分别在AD，AB边上运动时，满足条件的点P所形成的区域的面积随着AB的长度变化而变化，设点P所形成的区域的面积为s，AB的长度为n．请直接写出s与n的函数表达式及对应n的取值范围．15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝16cm．点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线BC以3cm/s的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为ts．（1）在点P，Q运动过程中，AP＝cm，BQ＝cm；（用含t的代数式表示）（2）连接BP，AQ，若BP与AQ互相平分，求此时t的值；（3）在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由．16．【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理．如图1，可以表述为：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．【新知应用】已知：在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝110°，则∠B＝；若∠B＝70°，则∠A＝．【尝试探究】如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，若连接CA，则CA平分∠BCD．某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长CD到点E，使得DE＝BC，连接AE，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程．【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠B+∠AED＝180°，连接CA，CA平分∠BCD吗？请说明理由．17．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（4，0），动点P（m，0）（﹣4＜m＜4），M、N分别为点P关于直线AB、OA的对称点，连接AM，AN．（1）如图1，当0＜m＜4时，∠MAN＝；（2）如图2，当﹣4＜m＜0时，是否存在点P，使得BMBN=3，若存在，求点（3）当﹣4＜m＜0时，四边形ANBM的面积是否随点P的运动而改变？若不变，请求出四边形ANBM的面积；若改变，请描述四边形ANBM的面积随点P运动的变化规律．18．【教材呈现】将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短，而是如图所示的连法最短（即用线段AE、DE、EF、BF、CF把四个顶点连接起来）．已知如图1：∠DAE＝∠ADE＝30°，∠AEF＝∠BFE＝120°．（1）由图1可知，线段AB和EF的位置关系为：；【问题探究】（2）某数学兴趣小组发现，图1所示图形（是/不是）轴对称图形，于是他们如图2构造了△AF′D≌△BFC，发现△AF′E是三角形，请结合以上结论，猜想线段AE与OE的数量关系，并证明．【问题解决】（3）在第（2）问的基础上，若AB＝6，求最短连法的线段和，即AE+DE+EF+BF+CF的值．19．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE．（1）问题发现：如图1，当点P与点O重合时，点E在边AD上，连结CE，BP与CE的数量关系是；CE与AD的位置关系是；（2）拓展探究：如图2，当点E在菱形ABCD外部时，猜想BP与CE的数量关系并说明理由；（3）解决问题：如图3，若OC=3，AP=213，请直接写出四边形20．对于点P，直线l和图形N，给出如下定义：若点P关于直线l的对称点P′在图形N的内部或边上，则称点P为图形N关于直线l的“镜像点”．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），设点T（0，t），直线l1为过点T（0，t）且与y轴垂直的直线．（1）若t＝﹣2，在点P1（0，﹣4），P2（2，﹣5.5），P3（﹣1，﹣2.2）中，点是△ABC关于直线l1的“镜像点”；（2）当t≠0时，若x轴上存在△ABC关于直线l1的“镜像点”，则t的最小值为；（3）已知直线l2过点T（0，t）且与第一、三象限的角平分线平行．①若直线l2上存在△ABC关于直线l1的“镜像点”，直接写出t的取值范围；②已知边长为1的正方形DEFH的对角线的交点为Q（t，0），且正方形DEFH的边与坐标轴平行．若正方形DEFH边上的所有点都是△ABC关于直线l2的“镜像点”，直接写出t的取值范围．21．在平面直角坐标系中，O为原点，点B在x轴的正半轴上，D（0，8），将矩形OBCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（1）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠AOB的度数；（2）如图1，已知折痕与边BC交于点A，若OD＝2CP，求点A的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，擦去折痕AO，线段AP，连接BP，动点M在线段OP上（点M与P，O不重合），动点N在线段OB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M，N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．22．（1）【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，EF，并延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．若∠EAF＝45°，则BE，EF，DF之间的数量关系为；（2）【类比探究】如图2，当点E在线段BC的延长线上，且∠EAF＝45°时，试探究BE，EF、DF之间的数量关系，并说明理由；（3）【拓展应用】如图3，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E在BC上，∠DAE＝45°，若△ABC的面积为18，BD•CE＝4，请求出△ADE的面积．23．折叠问题是几何变换中常见的数学问题，经常利用轴对称的性质解决相关问题，而有直角的图形折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：（1）【初步感知】如图①，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，BC＝12，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，折痕和AC交于点E，折痕和AB交于点D，AE＝13，则CE的长为；（2）【深入探究】如图②，在平行四边形纸片ABCD中，∠B＝90°，现将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB＝3，BC＝6．求BE的长；（3）【拓展延伸】如图③，在平行四边形纸片ABCD中，∠A＝90°，AB＝5，BC＝8，点E为射线AD上一个动点，把△ABE沿直线BE折叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，直接写出AE的长为．24．【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．（1）【概念理解】：如图①，若AD＝1，AD＝DB＝DC，BC=2，则四边形ABCD（2）【性质应用】：如果四边形ABCD是真等腰直角四边形，且∠BDC＝90°，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当AD=2，AB＝1时，BC2＝（3）【深度理解】：如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，∠BDC＝90°，∠ADE＝90°，BD＞AD＞AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明AC与BE的数量关系；（4）【拓展提高】：已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线，且∠DBC＝90°，若AD＝2，AB＝3，∠BAD＝45°，请直接写出AC的长．25．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系．（1）探究发现：小明同学的方法是延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，从而得出结论：；（2）拓展延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12∠（3）尝试应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC，CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，请探究线段BE，EF，

参考答案与试题解析一．解答题（共25小题）1．课本再现（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接BD和AE相交于点P，线段BD与AE有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？深入探究（2）如图2，将△CDE绕点C逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同．①线段BD与AE的数量关系是BD＝AE；②∠DPE的度数为60°．拓展应用（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，求边CD的长度．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）BD＝AE，理由见解答；（2）BD＝AE；60°；（3）8．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，然后求出∠ACE＝∠BCD，再利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD＝AE，根据全等三角形对应角相等可得∠AEC＝∠BDC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DPE＝∠DCE；（2）根据等边三角形的性质可得AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，然后求出∠ACE＝∠BCD，再利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD＝AE，根据全等三角形对应角相等可得∠AEC＝∠BDC，然后根据三角形的内角和定理求出∠DPE＝∠DEC；（3）把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE，判断出△CDE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得DE＝CD，∠CED＝60°，再求出∠BED＝90°，然后利用勾股定理列式求出DE，从而得解．【解答】解：（1）BD＝AE，可以看成是△ACE绕点C逆时针旋转60度角得△BCD，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，AB=AC∠ACE=∠BCD∴△ACE＝△BCD（SAS），∴BD＝AE；（2）①线段BD与AE的数量关系是BD＝AE；②∠DPE的度数为60°，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，AB=AC∠ACE=∠BCD∴△ACE＝△BCD（SAS），∴BD＝AE，∠AEC＝∠BDC，∵∠BDC+∠CDE+∠AED＝∠AEC+∠CDE+∠AED＝∠CDE+∠CED＝120°，∴∠DPE＝180°﹣（∠BDC+∠CDE+∠AED）＝180°﹣120°＝60°；∠DCE＝∠BDC+∠DBC，∴∠DPE＝∠DCE＝60°；故答案为：BD＝AE；60°；（3）如图，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE，则BE＝AD，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∠CED＝60°，∵∠ADC＝30°，∴∠BED＝30°+60°＝90°，在Rt△BDE中，DE=B∴CD＝DE＝8．【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟记性质与判定方法是解题的关键，难点在于作出辅助线构造成等边三角形和直角三角形．2．问题探索：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D为AB中点，点E，F分别在边BC，AC上且∠EDF＝90°，则DE与DF的数量关系是DE＝DF；问题解决：（2）如图2，某大学校园内有一块四边形的花圃ABCD，满足AB＝80m，BC＝20m，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，花圃内铺设了一条小路BD，BD平分∠ABC，为方便学生赏花，现计划修建一条径直的通道DE与小路BD相连，且DE⊥BD，入口点E恰好在BA的延长线上．解答下列问题：①求证：AD＝CD；②求入口到点A的距离AE的长．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）DE＝DF；（2）①证明过程见解答；②120m．【分析】（1）连接CD，证明△ADE≌△CDF即可解决问题；（2）①连接AC，在BD上截取BG，使BG＝BC，连接CG，可证A，B，C，D四点共圆，△ADC是等边三角形，故∠ACD＝60°，AC＝CD；②结合①证明△GBC是等边三角形，即可证明△ABC≌△DGC，得AB＝DG，BD＝DG+BG＝DG+BC，在Rt△BDE中可得BE＝2BD，进而可以解决问题．【解答】（1）解：DE＝DF，理由如下：如图（1），连接CD，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD⊥AB，∴∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，AD＝DC＝DB，∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，∠A=∠DCFAD=CD∴△ADE≌△CDF（ASA），∴DE＝DF，故答案为：DE＝DF；（2）①证明：连接AC，在BD上截取BG，使BG＝BC，连接CG，如图：∵∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝60°，∵∠ADC＝60°，∠ABC＝120°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠DAC＝∠DBC＝60°，∴∠DAC＝∠ADC＝60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠ACD＝60°，AC＝CD；②解：∵∠DBC＝60°，BG＝BC，∴△GBC是等边三角形，∴∠BCG＝60°，BC＝CG，∴∠BCG＝∠ACD，∴∠BCA＝∠GCD，在△ABC和△DGC中，AC=CD∠BCA=∠GCD∴△ABC≌△DGC（SAS），∴AB＝DG＝80m，∴BD＝DG+BG＝DG+BC＝80+20＝100（m），∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，在Rt△BDE中，∠EBD＝60°，∴∠E＝30°，∴BE＝2BD＝200m，∴AE＝BE﹣AB＝200﹣80＝120（m）．【点评】本题考查四边形综合应用，涉及正方形的性质，菱形的性质，四点共圆，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E不与A、C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交直线CD于F，将线段BE绕点B顺时针旋转90°得到线段BG，连接GA，GC，GF．（1）求证：△ABE≌△CBG；（2）试探究CE+CG与BC的数量关系，并说明理由．（3）若正方形ABCD的边长为2，求GA+GB的最小值．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）证明过程见解答；（2）CG+CE=2BC（3）AG+BG的最小值为25．【分析】（1）过E作EM⊥BC，EN⊥CD，可证△BEM≌△FEN得BE＝EF，可证四边形BEFG是正方形，得∠EBG＝90°，BE＝BG，可证∠ABE＝∠CBG，进而得到△ABE≌△CBG；（2）结合（1）得∠BAE＝∠BCG，证明∠ACG＝90°，根据AE＝CG，CG+CE＝AE+CE＝AC，利用等腰三角形的性质即可解决问题；（3）延长DC至H，使CH＝BC＝2，连接BG，GH，由“SAS”可证△BCG≌△HCG，可得BG＝GH，当点G，点A，点H三点共线时，AG+GH有最小值，由勾股定理求AH的长即可．【解答】（1）证明：过E作EM⊥BC于点M，作EN⊥CD于点N，作EH⊥AB于H，连接BG，∵四边形ABCD是正方形，AC平分∠BCD，∴EM＝EN，∵∠EMC＝∠MCN＝∠ENC＝90°，∴∠MEN＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEM+∠MEF＝∠FEN+∠MEF＝90°，∴∠BEM＝∠FEN，∵∠EMB＝∠ENF＝90°，EM＝EN，∴△BEM≌△FEN（ASA），∴BE＝EF，∵∠BEF＝∠EBG＝90°，BE＝BG，BE＝EF，∴EF＝BG，EF∥BG，∴四边形BEFG是平行四边形，∵∠BEF＝90°，BE＝EF，∴四边形BEFG是正方形，∴∠EBG＝90°，BE＝BG，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠EBC＝∠EBC+∠CBG＝90°，∴∠ABE＝∠CBG，∵AB＝BC，BE＝BG，∴△ABE≌△CBG（SAS）；（2）解：CG+CE=2BC由（1）知：△ABE≌△CBG，∴∠BAE＝∠BCG＝45°，AE＝CG，∴∠BAE+∠BCA＝90°，∴∠BCA+∠BCG＝90°，即∠ACG＝90°，∴AC⊥GC，∵AE＝CG，∴CG+CE＝AE+CE＝AC，∵∠ACB＝45°，∴AC=2BC∴CG+CE=2BC（3）解：如图，延长DC至H，使CH＝BC＝2，连接BG，GH，∵∠BCG＝45°，∠BCH＝90°，∴∠BCG＝∠GCH＝45°，又∵BC＝CH，CG＝CG，∴△BCG≌△HCG（SAS），∴BG＝GH，∴AG+BG＝AG+GH，∴当点G，点A，点H三点共线时，AG+GH有最小值，即AG+BG有最小值为AH的长，∴AH=AD2∴AG+BG的最小值为25．【点评】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，综合运用正方形的判定与性质定理，勾股定理等知识是解题的关键．4．【定义】如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”．如图1，在四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°，则四边形ABCD是对补四边形．【应用】（1）如图1，在对补四边形ABCD中，∠A＝100°，则∠C＝80°；（2）如图2，在对补四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，DC＝2，则BC＝21；（3）如图3，在对补四边形ABCD中，AC平分∠BAD．①求证：BC＝CD；②若∠BAD＝60°，请探究AB、AC、AD的数量关系并说明理由．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）80°；（2）21；（3）①证明过程见解答；②AD+AB=3AC【分析】（1）根据对补四边形定义和∠A＝100°，可得∠C；（2）根据对补四边形定义和∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，DC＝2，利用勾股定理即可求出BC；（3）①过点C作CE⊥AD交AD延长线于点E，CF⊥AB于点F，证明△CDE≌△CBF（AAS），得CD＝BC；②证明△ACE≌△ACF（AAS），得AE＝AF，由①得△CED≌△CFB，得ED＝BF，所以AD+AB＝2AE，然后利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题．【解答】（1）解：∵对补四边形一组对角互补，∠A＝100°，∴∠C＝180°﹣100°＝80°，故答案为：80°；（2）如图2，连接BD，∵∠A＝90°，∴∠C＝180°﹣90°＝90°，∵AB＝3，AD＝4，∴BD=A∵DC＝2，∴BC=B故答案为：21；（3）①证明：如图3，过点C作CE⊥AD交AD延长线于点E，CF⊥AB于点F，∵AC平分∠BAD，∴CE＝CF，∵四边形ABCD是对补四边形，∴∠CDA+∠B＝180°，∵∠CDA+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠B，在△CDE和△CBF中，∠CDE=∠B∠CED=∠∠CFB=90°∴△CDE≌△CBF（AAS），∴CD＝BC；②解：AD+AB=3AC∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠BAC=12∵∠CED＝∠CFB＝90°，CE＝CF，∴△ACE≌△ACF（AAS），∴AE＝AF，由①知：△CED≌△CFB，∴ED＝BF，∴AD+AB＝AE﹣ED+AF+BF＝2AE，在Rt△AEC中，∠EAC＝30°，∴AE=32∴AD+AB＝2AE=3AC【点评】本题是四边形综合题，考查全等三角形的判定与性质，对补四边形，角平分线性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握对补四边形定义．5．【课本再现】（1）如图1，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥AC，DE=1证明：延长ED至点F，使DF＝DE，连接AF……请你把证明过程补充完整．【类比迁移】（2）如图2，DE是△ABC的中位线，F是平面内任意一点，将点F分别绕着点D，E旋转180°得到点G和H，连接GH，猜想GH和AC的关系，并证明；【拓展应用】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，D，E分别是边AB，BC的中点，点F在△ABC内部，将点F分别绕着点D，E旋转180°得到点G和H，顺次连接AG，GB，BH，HA得到四边形AGBH，试求四边形AGBH的面积．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）证明过程见解答；（2）AC∥GH（或AC与GH在同一直线上），AC＝GH．理由见解答；（3）6．【分析】（1）证明△ADF≌△BDE，得AF＝BE，∠F＝∠FEB，然后证明四边形AFEC为平行四边形，即可解决问题；（2）结合（1）根据三角形中位线【解答】（1）证明：延长ED至点F，使DF＝DE，连接AF，∵DE是△ABC的中位线，∴AD＝BD，BE＝EC，∵∠ADF＝∠BDE，∴△ADF≌△BDE（SAS），∴AF＝BE，∠F＝∠FEB，∴AF∥EC，AF＝EC，∴四边形AFEC为平行四边形，∴EF∥AC，EF＝AC，∴DE∥AC，DE=1（2）猜想：AC∥GH（或AC与GH在同一直线上），AC＝GH．理由如下：①当点F不在过点B且与AC平行的直线上时，方法一：如图2.1，连接GF，AG，BF，FH，CH，∵点F分别绕着点D旋转180°得到点G，∴DG＝DF，G，D，F三点共线．∴∠ADG＝∠BDF．∵DE是△ABC的中位线，∴AD＝DB，∴△ADG≌△BDF（SAS），∴AG＝BF，∠GAD＝∠FBD，∴AG∥BF．同理BF＝CH，BF∥CH，∴AG＝CH，AG∥CH，∴四边形AGHC为平行四边形，∴AC∥GH，AC＝GH；方法二：如图2.2，连接GF，FH，DE，∵点F分别绕着点D旋转180°得到点G，∴DG＝DF，G，D，F三点共线，同理，FE＝EH，E，H，F三点共线．∴DE∥GH，DE=1又DE∥AC，DE=1∴AC∥GH，AC＝GH；②当点F在过点B且与AC平行的直线上时，如图2.3，连接FD并延长交直线AC于G'，连接FE并延长交直线AC于H′，∵BF∥AC，∴∠A＝∠ABF，又AD＝BD，∠ADG'＝∠BDF，∴△ADG′≌△BDF（ASA），∴AG'＝BF．FD＝DG'，∴G'可以看作是点F绕着点D旋转180°而得到，又点F分别绕着点D旋转180°得到点G，∴G'与G重合，∴AG＝BF，同理，H'与H重合，CH＝BF，∴GH和AC在同一直线上，AG＝CH，∴AG+GC＝CH+GC，即AC＝GH，综上所述，AC∥GH（或AC与GH在同一直线上），AC＝GH；（3）如图3，连接GH，由（2）可知，AC＝GH，AC∥GH，又AC＝4，∠BAC＝90°，∴GH＝4，GH⊥AC，∴四边形AGBH的面积=1【点评】本题是四边形张婷婷，考查平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，全都是三角形的判定与性质，筝形的性质，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理的运用．6．“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线．将△ABD沿射线BC的方向平移，得到△EFG，其中点A，B，D的对应点分别为E，F，G，如图2，当线段EF经过点D时，连接DG，GC，请解决下列问题：【数学思考】（1）请直接写出四边形DFCG的形状：矩形；【深入探究】（2）如图3所示，老师将图2中的△EFG绕点F按顺时针方向旋转得到△PFQ，其中点E、G的对应点分别为P、Q，线段PF、QF分别与边BD交于点M、N．①“勤学小组”提出问题：当PQ∥BD时，试猜想线段PM和FM的数量关系，并证明；②“善思小组”提出问题：若△ABC中，AB＝6，BC＝8，当△FMN为等腰三角形时，请直接写出△FMN的面积．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）矩形；（2）①PM＝FM，理由见解答；②3．【分析】（1）根据平移的性质先证明四边形DBFG是平行四边形，则DG与CF平行且相等，四边形DFCG是平行四边形，再证明∠DFC＝90°，即可得结论；（2）①先证明∠E＝∠EFG＝∠A＝∠BDF，根据如图3，利用等腰三角形三线合一的性质和旋转的性质即可解答；②先根据勾股定理计算AC＝10，DF＝3，如图3，过点F作FH⊥BD于H，利用面积法可得FH的长，根据三角形中位线求出MN，最后利用三角形的面积公式即可解答．【解答】解：（1）四边形DFCG是矩形，理由如下：由平移得：EF∥AB，BD∥FG，BD＝FG，∴∠EFC＝∠ABC＝90°，∵BD为Rt△ABC中斜边AC边上的中线，∴BD＝AD＝CD=12∴BF＝CF，∵BD∥FG，BD＝FG，∴四边形DBFG是平行四边形，∴DG＝BF，DG∥BF，∴DG＝CF，DG∥CF，∴四边形DFCG是平行四边形，∵∠DFC＝90°，∴▱DFCG是矩形；故答案为：矩形；（2）①PM＝FM，理由如下：如图2，∵△ABD平移得到△EFG，∴∠E＝∠A，AD＝EG，BD＝FG，BD∥FG，∴∠EFG＝∠BDF，由（1）知：BD＝AD，∴EG＝FG，∴∠E＝∠EFG＝∠A＝∠BDF，如图3，∵△EFG旋转得到△PFQ，∴∠P＝∠GEF，EF＝PF，∵PQ∥MN，∴∠P＝∠FMN，∴∠FMN＝∠BDF，∴FM＝DF，由（1）知：四边形DFCG是矩形，∴∠GDF＝90°，∵EG＝FG，∴ED＝DF=12∴FM=12FP＝②∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=A∴AD＝CD＝BD＝5，∵DF⊥BC，∴BF＝CF＝4，∴DF＝3，如图3，过点F作FH⊥BD于H，S△BDF=12×4×3=∴FH=12∵PQ∥BD，∴MN=12PQ=1∴△FMN的面积=12•MN•FH【点评】本题四边形的综合题，主要考查旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，三角形的面积等知识，熟练掌握旋转的性质，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定与性质是解题的关键．7．（1）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，在边BC上任取一点D，连接AD，将△ADB沿着AD翻折，得到△ADB'，且点B'在直线AC的上方．连接BB'并延长与AC的延长线交于点E．①AD与BE之间有怎样的位置关系？请证明你的结论；②若sin∠BAC=45，请探究AD与（2）如图2，在平行四边形ABCD中，sinA=45，AB＝5，AD＝6，点E是AB边上的点，满足AEEB=32，将BE绕着点E顺时针旋转90°得到ME．过点E作EF⊥CE交AD于点N，连接MD，MN，DF、若EF＝【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）①AD⊥BE，证明见解答；②3BE＝4AD，证明见解答；（2）11．【分析】（1）①根据轴对称的性质和线段垂直平分线的判定即可解答；②如图1，延长AD交BE于Q，根据sin∠BAC=BCAB=45，设BC＝4x，AB＝5x，则AC＝3x（2）如图2，过点E作GH⊥AD于P，交CB的延长线于G，过点F作FH⊥GH于H，连接FM，交AD于O，过点M作MK⊥GH于K，先证明△CBE≌△FME（SAS），得FM＝CB＝6，相当于△BEC绕点E，顺时针旋转90°得到△MEF，再证明△CGE≌△EHF（AAS）和△EPN∽△EHF，即可解答．【解答】解：（1）①AD⊥BE，证明如下：由翻折得：AB＝AB'，BD＝B'D，∴AD是BB'的垂直平分线，∴AD⊥BB'，∴AD⊥BE；②3BE＝4AD，证明如下：如图1，延长AD交BE于Q，由①知：AD⊥BE，∴∠AQB'＝90°，∵∠ACB＝90°，∴sin∠BAC=BC设BC＝4x，AB＝5x，则AC＝3x，∵∠ACB＝90°，∴∠DCE＝90°＝∠AQE，∴∠CDQ+∠E＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∵∠ADC+∠CDQ＝180°，∴∠E＝∠ADC，∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴△DCA∽△ECB，∴ACBC设CD＝3b，CE＝4b，由勾股定理得：AD=(3x)2+(3b)2=3∴ADBE∴3BE＝4AD；（2）如图2，过点E作GH⊥AD于P，交CB的延长线于G，过点F作FH⊥GH于H，连接FM，交AD于O，过点M作MK⊥GH于K，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝6，∵CF⊥EF，∴∠CEF＝90°，由旋转得：∠BEM＝90°，BE＝EM，∴∠CEF＝∠BEM，∴∠BEC＝∠MEF，∵CE＝EF，∴△CBE≌△FME（SAS），∴FM＝CB＝6，相当于△BEC绕点E，顺时针旋转90°得到△MEF，∴FM⊥BC，∵AD∥BC，∴FM⊥AD，∠GBE＝∠A，∵GH⊥AD，∴GH⊥BC，∴∠G＝∠H＝90°，∴∠HEF+∠EFH＝90°，∵∠CEF＝90°，∴∠HEF+∠GEC＝90°，∴∠EFH＝∠GEC，∵CE＝EF，∴△CGE≌△EHF（AAS），∴CG＝EH，EG＝FH，∵AB＝5，AEBE∴AE＝3，BE＝2，Rt△AEP中，sinA=PE∴PE3∴PE=12由勾股定理得：AP=A同理得：EG=85，BG∴FH＝GE=85，EH＝CG＝6∵PN∥FH，∴△EPN∽△EHF，∴PNHF=PE∴PN=8∴DN＝AD﹣AP﹣PN＝6−8∴四边形DMNF的面积＝S△DNM+S△DNF=12•DN•OM+12=12•DN=1＝11．故答案为：11．【点评】本题是四边形的综合题，考查旋转的性质，三角形全等的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，三角形的面积，勾股定理等知识，熟练掌握三角形全等和相似的判定及性质，利用边的比设未知数是解题的关键．8．综合与实践线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探索过程：【探索发现】（1）课上老师提出问题：如图1，点O是线段AB上一点，C，D分别是线段OA，OB的中点，当AB＝16时，求线段CD的长度．下面是小华根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程：未知线段已知线段⋯因为C，D分别是线段OA，OB的中点，所以OC=12OA，OD=12所以CD＝OC+OD=12OA+12=12AB因为AB＝12，所以CD＝6④．线段中点的定义线段的和、差等式的性质【知识迁移】（2）小华举一反三，发现有些角度的计算也可以用类似的方法进行转化．如图2，已知∠AOC＝80°，OB是角内部的一条射线，OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线，求∠DOE的度数．请同学们尝试解决该问题．【拓展延伸】（3）老师提出这样一个问题：如图3，长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F，G在边CD上，连接EF，EG，将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM，将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．若∠FEG＝26°，请直接写出∠MEN的度数为103°或77°．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）OB，OB，AB，6；（2）40°；（3）103°或77°．【分析】（1）根据题干给出的思路作答即可；（2）根据角平分线的定义表示出∠DOB和∠EOB，然后根据∠DOE＝∠DOB+∠EOB进行计算即可得解；（2）根据折叠的性质，角的和差定义分两种情况计算即可．【解答】解：（1）因为C，D分别是线段OA，OB的中点，所以OC=12OA，OD=所以CD＝OC+OD=12OA+12因为AB＝12，所以CD＝6；故答案为：OB，OB，AB，6；（2）如图，因为OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线，所以∠DOB=12∠AOB，∠BOE所以∠DOE＝∠DOB+∠BOE=12∠AOB+1因为∠AOC＝80°，所以∠DOE＝40°；（3）∠MEN的度数为103°或77°．如图，点G在点F的右侧，由折叠的性质可知EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，∴∠NEF=12∠AEF，∠MEG=1∴∠NEF+∠MEG=12∠AEF+12∠BEG=12（∠AEF+∠BEG）∵∠AEB＝180°，∠FEG＝26°，∴∠NEF+∠MEG=1∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝77°+26°＝103°；若点G在点F的左侧，同理可得∠MEN＝77°．综上所述：∠MEN的度数为103°或77°．故答案为：103°或77°．【点评】本题是四边形综合题，考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义，线段的计算，线段中点定义，线段的和差计算等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．9．【综合与探究】数学课上，李老师布置了一道题目：如图①，点E，F分别在正方形ABCD的边AB，BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+CF．【思路梳理】（1）“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整：∵AD＝CD，∴将△ADE绕点D逆时针旋转90°至△CDG，可使AD与CD重合，∴∠A＝∠DCG，∠ADE＝∠CDG，AE＝CG，DE＝DG，∵∠DCB＝∠A＝90°，∴∠FCG＝180°，即点F，C，G共线，∴∠EDG＝∠EDC+∠CDG＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠GDF＝∠EDF＝45°，又∵DF＝DF，∴△DGF≌△DEF，（SAS）（写依据）∴EF＝FG＝CG+CF＝AE+CF．【类比引申】（2）“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图②，在四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝90°，点E，F分别在边AB，BC上，∠EDF＝45°，连接EF．若∠A，∠C都不是直角，且∠A+∠C＝180°，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由．【联想拓展】（3）“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图③，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D，E均在边AC上，且∠DBE＝45°．当AD＝1，CE＝2时，直接写出DE的长度．【考点】四边形综合题．【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）△DGF；SAS；（2）成立，理由见详解；（3）5．【分析】（1）根据全等三角形的判定求解即可；（2）将△ADE绕点D逆时针旋转90°至△CDG，可使AD与CD重合，由旋转可知，∠ADE＝∠CDG，DE＝DG，判定△DFG≌△DFE，即可求解；（3）将△BAD绕点B逆时针旋转90°至△BCG，可使AB与BC重合，连接EG，由旋转可知，∠ABD＝∠CBG，∠A＝∠BCG，BD＝BG，判定△BED≌△BEG，根据勾股定理，即可求解．【解答】解：（1）∵AD＝CD，∴将△ADE绕点D逆时针旋转90°至△CDG，可使AD与CD重合，∴∠A＝∠DCG，∠ADE＝∠CDG，AE＝CG，DE＝DG，∵∠DCB＝∠A＝90°，∴∠FCG＝180°，即点F，C，G共线，∴∠EDG＝∠EDC+∠CDG＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠GDF＝∠EDF＝45°，在△DFG和△DFE中，DG=DE∠FDG=∠FDE∴△DGF≌△DEF（SAS），∴EF＝FG＝CG+CF＝AE+CF；故答案为：△DGF；SAS；（2）∵AD＝CD，∴将△ADE绕点D逆时针旋转90°至△CDG，可使AD与CD重合，如图②，则∠A＝∠DCG，又∵∠A+∠DCF＝180°，∴∠DCG+∠DCF＝180°，即∠FCG＝180°，F，C，G三点共线，∵∠ADC＝90°，∠DEF＝45°，∴∠ADE+∠CDF＝45°，由旋转可知：∠ADE＝∠CDG，DE＝DG，∴∠CDG+∠FDC＝45°，即∠FDG＝45°，∴∠FDG＝∠FDE，在△DFG和△DFE中，DG=DE∠FDG=∠FDE∴△DFG≌△DFE（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝FC+CG，CG＝AE，∴EF＝AE+CF；（3）∵AB＝BC，∴将△BAD绕点B逆时针旋转90°至△BCG，可使AB与BC重合，连接EG，如图③，由旋转可知，∠ABD＝∠CBG，∠A＝∠BCG，BD＝BG，∵∠ABC＝90°，∠DBE＝45°，∴∠ABD+∠EBC＝45°，∴∠CBG+∠EBC＝45°，即∠EBG＝45°，∴∠EBD＝∠EBG，∵BE＝BE，∴△BED≌△BEG（SAS），∵DE＝EG，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝∠BCA＝45°，∴∠BCG＝∠A＝45°，∴∠ECG＝∠BCA+∠BCG＝90°，在Rt△ECG中，EG2＝CE2+CG2，∵EG＝DE，CG＝AD＝1，CE＝2，∴DE=C【点评】本题属于四边形综合题，主要考查勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键．10．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出两种你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的图形的名称长方形，正方形，（2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形OAMB．（3）如图（2），在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，且AB＝BC，连接BD．探究BD、AD、和CD三者之间的数量关系，并说明理由．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）长方形，正方形；（2）图形见解答；（3）结论：CD2+AD2＝BD2，理由见解答．【分析】（1）根据勾股四边形的定义即可解决问题；（2）根据勾股四边形的定义利用网格即可解决问题；（3）连接BD．以BD为边向下作等边三角形BDQ，有等边三角形的性质得出∠DBQ＝60°，BD＝BQ，证出∠ABD＝∠CBQ，证明△ABD≌△CBQ，得出AD＝CQ，∠A＝∠BCQ，证出∠DCQ＝90°，再由勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）是勾股四边形的图形的名称：长方形，正方形；故答案为：长方形，正方形；（2）如图（1），即为所求的勾股四边形，点M（3，4）或M′（4，3）；（3）结论：CD2+AD2＝BD2，理由：在四边形ABCD中，∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠ADC＝360°，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，∴∠A+∠C＝360°﹣60°﹣30°＝270°，如图（2），连接BD，以BD为边向下作等边三角形BDQ，∴∠DBQ＝60°，BD＝BQ，∵∠ABC＝∠DBQ＝60°，∴∠ABD＝∠CBQ，在△ABD和△CBQ中，AB=CB∠ABD=∠CBQ∴△ABD≌△CBQ（SAS），∴AD＝CQ，∠A＝∠BCQ，∴∠A+∠BCD＝∠BCQ+∠BCD＝270°，∴∠DCQ＝90°，∴CD2+CQ2＝DQ2，∵CQ＝AD，DQ＝BD，∴CD2+AD2＝BD2．【点评】本题是四边形综合题，考查了四边形内角和定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理、全等三角形的判定与性质、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．11．如图1，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点B出发，以1cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿C﹣B﹣C方向运动到点C停止，连接DP、DQ；若P、Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒（t＞0），△DPQ的面积为Scm2（S＞0）．（1）当t＝1时，PQ＝5cm；当t＝3时，PQ＝1cm．（2）当点P和点Q相遇时，求t的值．（3）当0＜t≤4时，用含t的代数式表示S．（4）如图2，在点P和点Q不重合的情况下，连接AP，四边形APQD的面积是长方形ABCD的面积的23时，直接写出t【考点】四边形综合题．【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）5cm；1cm；（2）t=8（3）S=24−9t(0＜t＜（4）t=169或329【分析】（1）先根据t＝1和t＝3求出BP，CQ，再求出PQ的值即可；（2）根据P、Q的运动速度求出t的值即可；（3）分两种情况进行讨论：当0＜t＜83，即P、Q相遇前，当83≤t≤4，即P、Q相遇后，点（4）分三种情况讨论：当0＜t＜83，即P、Q相遇前，当83≤t≤4，即P、Q相遇后，当4＜t≤8，点Q从点【解答】解：（1）当t＝1时，BP＝1cm，CQ＝2×1＝2（cm），∴PQ＝BC﹣BP﹣CQ＝8﹣1﹣2＝5（cm），当t＝3时，BP＝3cm，CQ＝2×3＝6（cm），∴PQ＝BP+CQ﹣BC＝3+6﹣8＝1（cm），故答案为：5cm；1cm；（2）t+2t＝8，解得：t=8即当点P和点Q相遇时，t的值为83（3）当0＜t＜83，即P、PQ＝BC﹣BP﹣CQ＝8﹣t﹣2t＝（8﹣3t）cm，∴S=1当83≤t≤4，即P、Q相遇后，点Q到达点PQ＝BP+CQ﹣BC＝t+2t﹣8＝（3t﹣8）cm，∴S=1综上分析可知：S=24−9t(0＜t＜（4）四边形ABCD的面积为6×8＝48（cm2），∴以A、P、Q、D为顶点的四边形的面积是：48×2当0＜t＜83，即P、PQ＝BC﹣BP﹣CQ＝8﹣t﹣2t＝（8﹣3t）cm，则12解得：t=16当83≤t≤4，即P、Q相遇后，点Q到达点PQ＝BP+CQ﹣BC＝t+2t﹣8＝（3t﹣8）cm，则12解得：t=32当4＜t≤8，点Q从点B向点C运动的过程中，PQ＝t﹣2（t﹣4）＝（8﹣t）cm，则12解得：t=16综上分析可知：当t=169或329或163时，四边形APQD的面积是长方形【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，方程思想与分类讨论是解题的关键．12．【操作思考】（1）如图1，已知方格纸每个小方格都是长为1个单位的正方形，已知线段AB的端点均在正方形网格格点上，其位置如图所示．请在网格纸上画出以AB为斜边的所有互不全等的直角三角形，要求这些三角形的顶点均在正方形网格格点上．【联系应用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ACBC=13，D，E是BC边的三等分点，连接【拓展延伸】（3）如图3，已知正方形ABCD的边长为3，当点H是边AB的三等分点时，把△BCH沿CH翻折得△GCH，延长HG交AD于点M，求MD的长．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）图形见解答；（2）90°；（3）DM的值为32或3【分析】（1）根据网格画图即可；（2）结合（1）中的图形，利用直角三角形的性质即可解决问题；（3）分两种情况：①当BH＝1时，根据折叠的性质可得，BC＝CG＝3，BH＝GH＝1，∠B＝∠HGC＝90°，通过HL证明Rt△CGM≌Rt△CDM，得到GM＝DM，于是设GM＝DM＝x，则AM＝3﹣x，HM＝1+x，在Rt△AHM中，根据勾股定理建立方程，求解即可；②当AH＝1时，根据折叠的性质可得，BC＝CG＝3，BH＝GH＝2，∠B＝∠HGC＝90°，通过HL证明Rt△CGM≌Rt△CDM，得到GM＝DM，于是设GM＝DM＝a，则AM＝3﹣a，HM＝2+x，在Rt△AHM中，根据勾股定理建立方程，求解即可．【解答】解：（1）如图1，△ABC，△ABD，△ABE即为所求；（2）如图2，ACCE=12在Rt△ABC中，∠C＝90°，ACBC=1∴AC＝CD＝DE＝BE，∴∠1＝45°，∴图2中的∠3等于图1中的∠BAE，∵图1中，ACBC=2∴图2中的∠2等于图1中的∠ABC，∵图1中∠BAE+∠ABC＝∠AFC＝45°，∴图2中∠3+∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝90°；（3）∵点H是边AB的三等分点，∴BH＝1或AH＝1，①当BH＝1时，如图3，则AH＝2，∵四边ABCD为边长为3的正方形，∴BC＝CD＝3，∠B＝90°，根据折叠的性质可得，BC＝CG＝3，BH＝GH＝1，∠B＝∠HGC＝90°，∴CG＝CD＝3，在Rt△CGM和Rt△CDM中，CM=CMCG=CD∴Rt△CGM≌Rt△CDM（HL），∴GM＝DM，设GM＝DM＝x，则AM＝3﹣x，HM＝GH+GM＝1+x，在Rt△AHM中，AM2+AH2＝HM2，∴（3﹣x）2+22＝（1+x）2，解得：x=3∴DM=3②当AH＝1时，如图3.1，则BH＝2，∵四边ABCD为边长为3的正方形，∴BC＝CD＝3，∠B＝90°，根据折叠的性质可得，BC＝CG＝3，BH＝GH＝2，∠B＝∠HGC＝90°，∴CG＝CD＝3，在Rt△CGM和Rt△CDM中，CM=CMCG=CD∴Rt△CGM≌Rt△CDM（HL），∴GM＝DM，设GM＝DM＝a，则AM＝3﹣a，HM＝GH+GM＝2+a，在Rt△AHM中，AM2+AH2＝HM2，∴（3﹣a）2+12＝（2+a）2，解得：a=3∴DM=3综上，DM的值为32或3【点评】本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，本题难度适中，熟练掌握折叠的性质，利用折叠前后的两个图形全等，以此得到边与边之间的关系，再根据勾股定理建立方程并求解是解题关键．13．综合与探究问题情境：在△ABC中，AC＝BC，D为AB的中点．将△CDB以点D为中心逆时针方向旋转，点B，C的对应点分别为点B′，C′，B′C′与AC的交点为E．猜想证明：（1）如图1，当B′C′∥AB时，判断四边形ADB′E的形状，并说明理由；深入探究（2）如图2，当点B′恰好落在BC边上时，①猜想线段AE，B′E的数量关系，并说明理由；②若AC＝10，AB＝12，请直接写出线段BB′的长度．【考点】四边形综合题．【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）四边形ADB′E是菱形，理由见解析；（2）①AE＝B′E，理由见解析；②365【分析】（1）根据B′C′∥AB，得到∠B′＝∠BDB′，根据旋转性质得∠B′＝∠B，BD＝B′D，继而得到∠B＝∠BDB′，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠A，BD＝AD，AC＝18，BC＝12，得到∠A＝∠BDB′得证B′D∥AE，根据菱形的判定证明即可；（2）①连接AC′，先证明△CDB′≌△C′DA（SAS），再证明△AEC′≌△B′EC（AAS）即可；②过点D作DM⊥BC于点M，利用等腰三角形的性质，勾股定理解答即可．【解答】解：（1）四边形ADB′E是菱形；理由如下：∵B′C′∥AB，∴∠B′＝∠BDB′，根据旋转性质得∠B′＝∠B，BD＝B′D，∴∠B＝∠BDB′，∵AC＝BC，D为AB的中点．∴∠B＝∠A，BD＝AD，AC＝18，BC＝12，∴∠A＝∠BDB′，B′D＝AD，∴B′D∥AE，∴四边形ADB′E是平行四边形．∵B′D＝AD，∴四边形ADB′E是菱形；（2）①AE＝B′E；理由如下：连接AC′，如图2，∵AC＝BC，D为AB的中点，∴∠BCD＝∠ACD，BD＝AD，AC＝18，BC＝12，∠CDB＝∠CDA＝90°，∵△CDB以点D为中心逆时针方向旋转，点B′恰好落在BC边上，∴∠BCD＝∠B′C′D，DC＝DC′，BD＝B′D，∠CDB＝∠B′DC′＝90°，∴AD＝B′D，∵∠CDB′+∠CDC′＝90°，∠C′DA+∠CDC′＝90°，∴∠C′DA＝∠CDB′，在△CDB′和△C′DA中，B′D=AD∠CDB′=∠C′DA∴△CDB′≌△C′DA（SAS），∴CB′＝C′A，∠AC′D＝∠B′CD，∴∠AC′D＝∠B′CD＝∠BCD＝∠ACD，∴∠AC′E＝∠B′CE，在△AEC′和△B′EC中，∠AC′E=∠B′CE∠AEC′=∠B′EC∴△AEC′≌△B′EC（AAS），∴AE＝B′E；②过点D作DM⊥BC于点M，∵DB＝DB′，∴MB＝MB′，设MB＝MB′＝x，∴BB′＝2x，∵AC＝10，AB＝12，∴BD=12AB=6∴CD=B∴CM＝CB﹣MB＝10﹣x，∵DM⊥BC，∴CD2﹣CM2＝BD2﹣BM2＝DM2，∴82﹣（10﹣x）2＝62﹣x2，解得x=18∴BB′=2x=36【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，菱形的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．14．在长方形ABCD中，AD＝6，E，F分别是AD，AB边上的动点．在长方形ABCD的内部（包含边界），以EF为直角边作等腰直角三角形EFP，且∠EFP＝90°．过点P作PQ⊥AB，垂足为Q．（1）如图①，当AE＝1时，设AQ＝x，PQ＝y，求y与x之间的函数表达式；（2）当点E的位置如图②所示时，点F在AB边上运动，用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点P；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）（3）当点E，F分别在AD，AB边上运动时，满足条件的点P所形成的区域的面积随着AB的长度变化而变化，设点P所形成的区域的面积为s，AB的长度为n．请直接写出s与n的函数表达式及对应n的取值范围．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）y＝x﹣1；（2）详见解析；（3）当0＜n≤6时，s=12n当6＜n≤12时，s=−12n2+12当n＞12时，s＝36．【分析】（1）一线三垂直证△AEF≌△QFP即可得解；（2）由y＝x﹣1可知点P所在线段与AB夹角为45°，据此作图即可；（3）根据点E运动轨迹，先找临界值，当E与A重合时，当E与D重合时，从而确定点P完整的区域，进而再分类讨论求解即可．【解答】解：（1）∵△EFP是等腰直角三角形，且∠EFP＝90°，∴EF＝PF，∵长方形ABCD，PQ⊥AB，∴∠A＝∠PQF＝90°，∴∠AFE＝∠FPQ＝90°﹣∠PFQ，在△AEF和△QFP中，∠A=∠FQP∠AFE=∠QPF∴△AEF≌△QFP（AAS），∴AF＝PQ＝y，AE＝FQ＝1，∵AQ＝AF+FQ＝y+1＝x，∴y＝x﹣1，即y与x之间的函数表达式为y＝x﹣1；（2）作法一：如图，线段MN即为所求；作法提示：①以点A为圆心，EA为半径画弧交AB于点M，交DA延长线于点E'；②连接E'M并延长，交CD于点N；则线段MN即为所求．作法二：如图，线段MN即为所求；作法提示：①以点A为圆心，EA为半径画弧交AB于点M；②在边AB上截取MF＝DA；③过点F作AB的垂线，交CD于点N，连接MN，线段MN即为所求．作法三：作法提示：①以点A为圆心，EA为半径画弧交AB于点M；②在边AB上取点F，截取FG＝EA；③作点H，使得HF＝EF，HG＝AF；④连接MH并延长，交CD于点N．线段MN即为所求．作法四：如图，线段MN即为所求；作法提示：①以点A为圆心，EA为半径画弧交AB于点M；②过点M作HM⊥AB；③作射线MG平分∠BMH；④射线MG与CD交于点N，则线段MN即为所求；（3）根据点E运动轨迹，先找临界值，当点E与点D重合时，此时四边形AMHD是正方形，点P运动轨迹为MN，∴AM＝AD＝MH＝6，当点E与点A重合时，此时点M也与点A重合，则点P的运动轨迹为线段AH，∴我们发现，当点E在AD上运动时，且AB足够长的情况下，则点P轨迹所形成的区域为四边形AMNH，即下图中阴影部分，①当0＜n≤6时，此时点P所形成的区域为等腰直角三角形ABR，∴s=12n②当6＜n≤12时，此时点P所形成的区域为五边形AMRCH，∴CN＝CR＝DN﹣CD＝12﹣n，∴s＝S四边形AMNH﹣S△CNR＝62−12（12﹣n=−12n2+12③当n＞12时，点P所形成的区域为四边形AMNH，∴s＝36；综上，当0＜n≤6时，s=12n当6＜n≤12时，s=−12n2+12当n＞12时，s＝36．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、尺规作图、轨迹、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识和画图能力是解题的关键．15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝16cm．点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线BC以3cm/s的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为ts．（1）在点P，Q运动过程中，AP＝（12﹣t）cm，BQ＝3tcm；（用含t的代数式表示）（2）连接BP，AQ，若BP与AQ互相平分，求此时t的值；（3）在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）（12﹣t），3t；（2）t的值为3；（3）存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为4s或8s．【分析】（1）根据AD＝12cm，BC＝16cm．点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线BC以3cm/s的速度向右运动，即可解决问题；（2）根据BP与AQ互相平分，得四边形ABQP是平行四边形，所以AP＝BQ，得12﹣t＝3t，解方程即可解决问题；（3）有两种情况：①点Q在线段BC上，②点Q在线段BC的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）∵AD＝12cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，∴DP＝tcm，∴AP＝（12﹣t）cm，∵BC＝16cm．点Q从点B出发，沿着射线BC以3cm/s的速度向右运动，∴BQ＝3tcm，故答案为：（12﹣t），3t；（2）若BP与AQ互相平分，则ABQP是平行四边形，∴AP＝BQ，∴12﹣t＝3t，解得t＝3，故此时t的值为3；（3）存在，理由如下：有两种情况：①点Q在线段BC上，当PD＝CQ时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时PD＝tcm，QC＝（16﹣3t）cm，∴t＝16﹣3t，解得t＝4；②点Q在线段BC的延长线上，当PD＝CQ时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时PD＝tcm，CQ＝（3t﹣16）cm，∴t＝3t﹣16，解得t＝8；综上