2024-2025学年上海市奉贤区高三年级上册高考一模数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市奉贤区高三（上）期末数学试卷（一模）

一,填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果,1〜6题每

个空格填对得4分,7〜12题每个空格填对得5分。

1.设全集。={1,2,3,4},集合4={2,4},则工=.

2.若直线/i：x+ay-2=0与直线/2：ox+y-2=0互相垂直，则a=

3.已知X6R,则不等式/-无+2>0的解集为.

lnx+1,x〉0,

4.设f(x)=若y（xo）=1,则知=

2X+1,x<0.

5.A,B,C,D,E五人并排站成一排，若A,8必须相邻,那么不同的排法共有种.

6.（乂64^^）5的二项展开式中的常数项为.（用数字作答）

XVx

7.已知抛物线（a>0）上有一点P到准线的距离为6,点尸到x轴的距离为4,则抛物线的焦点坐标

为.

8.在复平面内,。为坐标原点，复数zi=i（-4-3i）/2=12+5，对应的点分别为Zi,Z2淇中i为虚数单位，则

〈西，底）的大小为--------------------

9.甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样，某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，最终胜者赢得100元

奖金,第一局比赛甲获胜，后因为有其他事情而中止比赛，则甲应该分元奖金才公平？

10.申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形ABC及以弦

BC和劣弧BC所围成的弓形所组成，其中AB=AC,劣弧BC所在的圆为三角形的外接圆，圆心为0.已知

ZBAC=Q,ec（0，号-）外接圆的半径是2,则该图形的面积为.（用含e的表达式

表示）

11.上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆,亦称惊

鸟铃.一般一个惊鸟铃由铜铸造而成,由铃身和铃舌组成.为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该

惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量.因此我们需要作出一些合理的假设：

假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥.

假设2：两圆锥的轴在同一条直线上.

假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计.

截面图如下（图3）淇中0103=20即。2。3=18cm,A8=16cm,则制作100个这样的惊鸟铃的铃身至少

需要千克铜.（铜的密度为8.9^/cm3）（结果精确到个位）

12.已知集合"=｛尸0,尸1,尸2「・上〃｝,〃》2,〃0是由函数尸3工厘6[0,2川的图像上两两不相同的点构成的点

集，集合S=｛a|a=OP；'0P：/=0,1,2」",〃,〃》2,〃€曲,其中Po（0,1）,Pi（TT,-1）.若集合S中的元素按

照从小到大的顺序排列能构成公差为d的等差数列，当dE攻，1｝时，则符合条件的点集M的个数

为.

二,选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号

上，将代表答案的小方格涂黑,13-14选对每个得4分,15-16选对每个得5分，否则一律零分。

13.在△ABC中，“「二£”是“sin2A+sin2B=l”的（）

2

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

14.函数y=log2sinx+log2cosx,则下列命题正确的是（）

A.函数是偶函数

B.函数定义域是（0,A）

c.函数最大值-1

D.函数的最小正周期为n

15.在四棱锥S-A3。中，若M=x标+y1+z豆，则实数组（无，>/）可能为（）

A.(1,-1,1)B.(1,0,-1)C.(1,-1,0)D.(1,-1,-1)

16.已知数列｛斯｝不是常数列，前n项和为S%且ai>0.若对任意正整数"，存在正整数也使得|斯-的因口,

则称｛丽｝是“可控数列”.现给出两个命题：①存在等差数列｛金｝是“可控数列”，②存在等比数列｛斯｝

是“可控数列”.则下列判断正确的是（）

A.①与②均为真命题

B.①与②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题

D.①为假命题，②为真命题

三,解答题（第17-19题每题14分，第20〜21题每题18分，满分78分）

17.（14分）已知函数y=/（x），其中/（无）=/（常数a>0且aWl）.

（1）若函数y=/（x）的图像过点（2,9），求关于x的不等式/（|2尤-1|）>3的解集.

（2）若存在在（0,1］,使得数列/（I）/（tt）/（?+2）是等比数列,求实数f的取值范围.

18.（14分）某芯片代工厂生产甲，乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100

件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：

甲型芯片乙型芯片

假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

（1）求频率分布直方图中尤的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中

点值为代表）.

（2）已知甲型芯片指标在［80,100）为航天级芯片，乙型芯片指标在［60,70）为航天为航天级芯片.现分

别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在［70,90）内取2件，乙型芯片指标在［50,70）内取4件,再从这6

件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率.

19.（14分）如图为正四棱锥尸-ABCD,。为底面ABCD的中心.

（1）求证：C£）〃平面朋B,平面用C_L平面P8D

（2）设E为P8上的一点，筋=■!•而.

3

①若AD=AP=3A/5,求直线EC与平面BED所成角的大小.

②己知平面ECD与平面ABCD所成锐二面角的大小为arct"，若地>=3a，求AP的长.

pp

20.(18分)椭圆「：号+y2=i(〃>i)的左右焦点分别为四产2,设尸(xojo)是第一象限内椭圆上的一

a

点、,PFi的延长线交椭圆于点Q(尤i,yi).

若椭圆的离心率亚，求。的直

(1)

2

(2)若而■，求x0-

(3)若。=2,过点T(0,f)的直线/与椭圆「交于两点，且|MN|=2,则当r'O时，判断符合要求的直

21.(18分)若函数y=/(x)的图像上存在4个不同点Pi,P2,…,P*(422,蛇N)处的切线重合，则称该切线

为函数y=f(x)的一条k点切线，该函数具有k点切线性质.

(1)判断函数y=f-2|x|,xeR的奇偶性并写出它的一条2点切线方程(无需理由).

(2)设/(无)=r,判断函数y=f(无)是否具有上点切线性质,并说明理由.

(3)设g(x)=cosx+2x,证明：对任意的mN3,租6N,函数y=g(无)具有点切线性质,并求出所有相

应的切线方程.

2024-2025学年上海市奉贤区高三(上)期末数学试卷(一模)

参考答案与试卷解析

题号13141516

答案ACAD

一,填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果,1〜6题每

个空格填对得4分,7〜12题每个空格填对得5分。

1•【解答】解：因为集合4={2,4},全集U={1,2,3,4}.

则3).

故答案为：{1,3}.

2.【解答】解：由直线止x+ay-2=0与直线/2：以+y-2=0互相垂直.

可得1Xa+aX1=0,解得a=0.

故答案为：0.

3.【解答】解：不等式/-x+2=(%-1)2+1>0的解集为R.

故答案为：R.

'lnx+1,x>0

4.【解答】解:

2X+1,x<0

当xo>O时/(xo)=/nxo+l=l,解得：xo=l,满足.

当xoWO时,f(x0)=2、。+1=1，方程无解.

所以xo=l.

故答案为：1.

5•【解答】解：由题意，利用捆绑法,48必须相邻的方法数为&22如4=48种.

故答案为：48

6•【解答】解：由题意知，二项式展开式的通项公式为：

令30-/工=0,解得r=4.

2

所以常数项为或=5.

D

故答案为：5.

7.【解答】解：抛物线f=ay（a>0）的准线方程为y=-1.

设点P（x,y），由于点尸到准线的距离为了q=&

因为点P到无轴的距离为4,则y=4,所以,62=4,解得。=8.

4

故抛物线的方程为？=8y,其焦点坐标为（0,2）.

故答案为：（0,2）.

8.【解答】解：：zi=i（-4-3力=3-4Z,Z2=12+5Z.

•■-0Z^=（3,-4），oz^=（12,5）.

'•3＜收，后＞===16-=眄

12

|0Zi|•|0Z2|V25-V16965

0Z；＞=arccos-||-

/65

16

故答案为:arccosTTr-

65

9•【解答】解：乙最后获胜的情况为第二局，第三局必须乙胜，其概率为：

224

即甲最终获胜的概率为国，乙最终获胜的概率为2.

44

故甲的奖金为100义3=75元.

4

故答案为：75.

10.【解答】解：如图，连接OB0AOC.

则由题意,。为三角形的外接圆圆心.

且外接圆的半径是2,可得OB=OA=OC=2,NBOC=2e.

所以NA0B=NA0C=2兀­'0C,兀_e

则SAA0B=SAA0C卷X2x2sin（兀-8）=2sin8-

S扇形耽=928X2X2=40.

所以该图形的面积为40+4sine.

故答案为：40+4sin0.

A

由题意可知，圆锥01。3的底面半径为8c九高为20cm.

圆锥。2。3的底面半径为8c九高为18cm.

因为loox^x兀XX(20-18)X8.94-1000^119.236

所以，制作100个这样的惊鸟铃的铃身至少需要120千克铜.

故答案为：120.

12•【解答】解：由己知。。=西•西=1速1=西•西=一L

设Pi(^Xi,yi)，则ai=0PQ・OP.=”

由题意得-KyiWl.

若1=1,贝US={-l,0,l},；.yi=0.

由85尤1=0,尤正［0,211|,；.&=-^-或北=3兀，对应Q(^L,0),02(.3兀,0).

2i222

同理,。3(2n,l)对应PO.

集合M中已经含有点Po,PL

产生S={-1,0,1}的集合M中，点03可有可无。,。2至少有一个.

的个数为2X3=6.

若4=工，则S={-1,-1,01,1}.

222

_1_2兀前—4兀_1x.」L或x.江.

23321313

对应点。4（―,1）,05（旦二工），06（22L,-」），07-1）.

32323232

产生{-1,-1,0,」』}的集合M中,。6,。7中至少有一个，"的个数为2X3X3X3=54.

22

综上，集合M的个数为6+54=60.

故答案为：60.

二,选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号

上，将代表答案的小方格涂黑,13・14选对每个得4分,15・16选对每个得5分，否则一律零分。

13.【解答］解：在△ABC中，当《吟时.

则A+B=—.

2

22222

故sinA+sinB=s£/A+sin—sinA+cosA=1,故充分性成立.

当A=120°,8=30°,满足si/A+si/Bul,但故必要性不成立.

2

综上所述，在△ABC中，“C』”是"sin2A+sin2B=l”的充分不必要条件.

L2

故选：A.

14•【解答】解：由卜mx可得2k冗<x<2k兀」L(kCZ)，定义域不关于原点对称・

cosx>02

所以函数/(X)不是偶函数5AB错.

当2k兀<x<2k兀(k€Z)时，则4hi<2x<4hi+7i(蛇Z)

=

f(x)10§2(sinxcosx)=log2(^sin2x)《log?/：-1

当且仅当2x^-+4k兀(k€Z)时，即当x=^-+2k兀(k€Z)时，函数/(入)取最大值-1，。对.

因为/(2n+%)=log2sin(2JI+X)+log2cos(2ir+x)=log2siiu:+log2cosx=/(x).

结合函数/(x)的定义域可知，函数/(x)的最小正周期为错.

故选：C.

15.【解答］解：作图，如图所示：在四棱锥S-ABC。中，如果底面A8CD是平行四边形.

根据平行四边形的性质，可设ACH50=。，所以豆+豆=2就=M+SD.

一....

所以可得SA=SB+SD-SC

所以(x,y,z)=(1,-1,1),A选项正确.

如果(x,y,z)=(1,0,-1).

所以可得乂豆+ySC+zSD=SB-SD=DB力或，8选项错误.

如果(x,y,z)=(1,-1,0).

所以可得xSB+ySC+zSD=SB-SC=CB#三，°选项错误.

如果(%,y,z)—(1,-1,-1).

所以可得XSB+ySC+zSD=标-SC-SD=CB-SE-

CB=五，所以K=X-SD=DA+DS.

由向量加法的平行四边形法则可知，豆=DA+而不成立.

..._

因此SA=CB-SD不可能成立选项错误.

故选：A.

16•【解答】解：①，数列｛而｝不是常数列，则dWO,则如看作是一次函数的变化.

由I。”-得Sm-mWa"WS"1+ai,S"i看作是—■次函数的变化.

当n足够大时，极限的思想说明不成立.

②，取a=2"，则$=2(卜2-=2n+l-2=a口

an乙Dn].2n+1d1

当n=l时，取机=1,可得。1-Si|=0,m=2,满足|斯-

当心2时，取m=n-1,可得必-5加|=|2"-2〃+2|=2,而〃1=2,满足|斯7加忌〃1.

故选：D.

三,解答题(第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，满分78分)

17.【解答】解：(1)由题意可得/(2)=/=9.

因为a>0且aWl.

解得。=3,所以f(x)=3X.

由=3叱”>3得|2r-1|>1.

解得x>l或x<0.

所以不等式/(|2x-1|)>3的解集为｛小>1或x<0｝.

(2)/(1)—a/(Zx)—atx/(2+x2)—a2+x~.

若存在xe(0,1],使得数列/(l)/(a)/(/+2)是等比数列.

则a2tx二a""?,a="3+x:可得2比=/+3.

令g(x)4■4xe(0,1］),g，(x)•十仔•

乙乙x乙2x2x

2_Q

当在(0,1］时，g'(X)=^^-<Q.

2x2

可得g(x)q$在在(0,1］上单调递减，所以g(x)Ng(1)=2.

则实数f的取值范围［2,+8).

18.【解答】解：(1)由题意得10X(0.002+0.005+0.023+0.025+0.025+x)=1,解得：0.020.

由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值：

7=(25X0.002+35XQ.026+45X0.032+55X0.030+65XQ.0113IX10=47.

(2)根据分层抽样得,来自甲型芯片指标在［70,80)和［80,90)的各1件.

来自甲型芯片指标在［50,60)和［60,70)分别为3件和1件.

记事件E：至少有一件为航天级芯片.

所以P㈤=警1=义乌

以155

19•【解答】解：(1)证明：因为底面A8C£>是正方形.

所以AB〃C£),又A8u平面平面PAB.

所以C。〃平面PAB.

因为ACLB2由四棱锥P-ABCD是正四棱锥.

可得P0J_平面ABOMCu平面ABCD.

所以PO_LAC,由P0nBZ)=0,P0,2r)u平面PBD.

所以ACJ_平面PBD,又ACu平面PAC.

所以平面以C_L平面PBD.

(2)①由题，以。点为原点,OB,OC,OP所在的直线分别为尤J,z轴的正方向.

建立如图所示的空间直角坐标系.

p

y

因为AD=AP=3点，则5(3,0,0),C(0,3,0),P(0,0,3)A(0,-3,0).

BP=(-3,0,3)^=(0,6,0)

则标N"而=2(-3,0,3)=(-2,0,2).

33

则E(1,0,2),所以箴=(_]_,3,-2).

因为AC_L平面PBZ),即ACJ_平面BED.

所以正是平面BED的一个法向量.

设直线EC与平面BED所成角为0.

C，A

则sin0=I<7cEC>|=1=—当一=告/运.

|C0SSAC，EC1|_ALC?l-l£E_Cl!6X^1414

因为ee[0°,90°],所以e=arcsin^叵.

14

所以直线EC与平面BED所成角为i3/逋•

14

②由①，设AP=aCa>3)，则8(3,0,0),C(0,3,0),D(-3,0,0).

P(0,0,Va2-9)>BP=(-3,0,7a2-9)-

由前4而4(-3,0,Va2-9)=(-2,0,——)-

ooo

得E(l,0,2、―上),所以EC=(-1,3,-21—―)，CD=(-3,-3,0)-

oo

设W=(x,y,Z)为平面ECO的一个法向量•

_l，-3x-3y=0

则〈巴：°,即,24a2-9，令x=l,则y=-1,z=/，•

EC-n=0~x+3y--------z=0Va2-9

Lo

所以n=(l，-1>I)-

Va-9

因为PO_L平面ABCD.

所以同=(0,0,-i)是平面A8CD的一个法向量.

设平面ECD与平面ABCD所成锐二面角的大小为6.

贝Itan8"，所以cos8

6

c——.In-P0IIYa"-9I2

R即nCaicos。，p。〉门而•反iqr

解得：a=3点,即AP=3a.

20•【解答】解：(1)若椭圆的离心率亚.

2

此时e=£j/m=1.

aa2

又a2=c2+l.

解得。=&.

(2)易知直线PF1的斜率存在.

若a=近.

此时b=c=l.

所以为(-1,0).

则PQ=(xi-x。，y[-y/0F]:(-1,0)•

所以西-OF7=x0-xf

易知kpFTp

PF】xo+l

所以过点八的直线方程为yq_(X+1)・

Xn+1

、y=^T(x+1)

联立［2，消去X并整理得［(Xi+l)2+2yo12y2_2y0(xo+l)y-J=l・

［下x+,y2=11

由韦达定理得yy=-------------------n

12

°(x1+l)+2y2

因为点尸在椭圆上.

2

所以2

y=2

XO+2O

所以y=------——

r2x0+3

(x0+l)yiy0x0+lXO+1

可得町:y0—匹百气丁)十一匹百一1・

此时南可=x°H+l喈.

乙JLO，。Q

因为xo>O.

所以xo=L

⑶若a=2.

26

此时椭圆方程为Y+y2=].

当直线斜率不存在时，过任意点T(0,力的唯一的直线I的方程为x=0.

此时直线/与椭圆交于〃(0,1),N(0,-1)两点.

满足|加川=2.

当直线斜率存在时.

设过任意点T(0,力的直线/的方程为y^kx+t.

y=kx+t

联立《v2.，消去y并整理得(1+4A)2工2+8依+4尸-4=0.

v+y=1

此时A=64必,-4(1+4*)2(4?-4)=64^+16-16?>0.

所以臼京』』

整理得12^+3-4?-4^?=0.

当t=近时，方程12必+3-4Z2-4^?=0无解.

_2

t.。时,k2=4t

当土，巨时，此时直线方程为yl应，满足|MN=2.

2y2

2

当广t<3,即与<t<对时，存在k=土「生多的两条直线，使得IMN=2.

综上所述，当与<t<F时，存在3条直线，使得|MN=2.

当t，巨时，存在2条直线，使得|MN=2.

2

当1:>/§或0<1<堂时，存在1条直线，使得MN=2.

21.【解答】解：(1)设/?(尤)=)-2风函数定义域为R.