2024-2025学年高一数学试题（人教A版2019）321单调性与最大（小）值（九大题型）

3.2.1单调性与最大（小）值目录TOC\o"12"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：单调性的概念 2题型二：函数的单调性的证明 3题型三：求函数的单调区间 6题型四：利用函数单调性求参数的取值范围 7题型五：利用函数单调性的性质解不等式 8题型六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系 9题型七：求函数的最值 10题型八：抽象函数单调性的证明 12题型九：二次函数在闭区间上的最值问题 16【重难点集训】 18【高考真题】 29【题型归纳】题型一：单调性的概念1．（2024·高一·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】选项A：任取，则，又，所以，即，所以函数在0,+∞为减函数，故A正确；选项B：任取，则，又，所以，即，所以函数在0,+∞为增函数，故B错误；选项C：任取，则，又，所以，即，所以函数在0,+∞为增函数，故C错误；选项D：任取，则，又，所以，即，所以函数在0,+∞为增函数，故D错误；故选：A.2．（2024·高一·湖南株洲·期末）已知函数的定义域为，区间，设，其中，则“”是“函数在区间I上单调递增”的（

）A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数在区间I上单调递增的充要条件是，当时，都有，或当时，都有，即对与同号，也即．故选：A．3．（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为函数在上单调递增，且，由增函数的定义可知，当时，有，充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾，若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立.即对实数，“”是“”的充要条件.故选：C4．（2024·高一·北京·期中）已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数是上的增函数，函数是上的减函数，所以函数是上的增函数，函数是上的减函数，函数，的单调性无法判断.故选：B.题型二：函数的单调性的证明5．（2024·高一·江苏镇江·期中）已知函数．(1)在坐标系中画出函数的图象；(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；【解析】（1）函数，得，得，函数的图象如下：（2）函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.设，则，因为，，，所以，所以函数在区间上单调递减；设，则，，，所以，所以函数在区间上单调递增.6．证明：函数在上是严格增函数．【解析】任取，且，则．∵，∴，，∴，即，∴函数在上是严格增函数．7．（2024·高一·福建漳州·期末）设函数，其中.(1)若命题“，”为假命题，求实数的取值范围；(2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.【解析】（1）因为命题“，”为假命题，所以“，”为真命题，所以，解得，所以实数的取值范围为.（2）在区间上单调递减.证明如下：，且，则，因为，且，所以，，，所以，即，即，所以在区间上单调递减.8．（2024·高一·新疆喀什·期末）已知函数.(1)求函数的定义域；(2)试判断函数在上的单调性，并给予证明；【解析】（1）由分式性质可知，，故函数定义域为：（2）函数在上是增函数，证明如下：设，，，因为，则，，可得，即，所以在上是增函数.题型三：求函数的单调区间9．（2024·高一·上海·随堂练习）函数y=fx在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是.【答案】【解析】由的图象看，图象在是上升的，在上是下降的，所以此函数的增区间是.故答案为：10．（2024·高一·全国·专题练习）函数的单调区间为【答案】增区间为和，无单调递减区间，【解析】，所以的单调递增区间为和故答案为：单调递增区间为和，无单调递减区间，11．（2024·高一·上海杨浦·期末）已知函数，则f(x)的递减区间是.【答案】【解析】将绝对值函数化为分段函数形式，判断单调性.由题意，当时，函数单调递减；当时，函数，在上单调递增，在上单调递减；当时，函数单调递增；综上所述，函数的单调递减区间为，故答案为：.题型四：利用函数单调性求参数的取值范围12．（2024·高一·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减，，解得，所以的取值范围是.故选：A.13．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数的图象对称轴为，依题意，，得，所以的取值范围为.故选：C14．（2024·高一·湖南·开学考试）已知函数的值域为，且在上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数中，，即，则函数的定义域为，由在上单调递减，得，因此，由函数的值域为，得，，显然，否则与在上单调递减矛盾，因此，此时在上单调递减，符合题意，所以的取值范围是.故选：C15．（2024·高一·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数是上的增函数，所以，解得，即的取值范围是.故选：D题型五：利用函数单调性的性质解不等式16．（2024·高一·青海西宁·期末）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由函数在上是减函数，因为，可得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.17．（2024·高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义在上的函数满足，且，则使成立的x的取值范围是．【答案】【解析】由，且，则两边同时除以可得，令，则原不等式为，因此函数在上单调递减，由，得，又，于是，解得，所以使成立的x的取值范围是.故答案为：18．（2024·高一·北京海淀·阶段练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围是.【答案】【解析】函数在上单调递增，在上单调递增，且当时，，因此函数在R上单调递增，则不等式等价于，即，解得，所以所求的取值范围是.故答案为：题型六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系19．（2024·高一·上海静安·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数为定义在上的单调增函数，当时，，故错误；当时，，故错误；当时，，故正确；当时，，故错误；故选：C．20．（2024·高三·河南·专题练习）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为函数在0,+∞上单调递增，若，则显然成立；若，则，则，不能得出，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.21．（2024·高三·北京顺义·期末）已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，，结合在上单调递减，则必有，显然B正确，A错误，而当时，不在定义域内，故无法比较，C,D错误.故选：B22．（2024·高一·全国·专题练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，，因为在上单调递减，所以.故选：A.题型七：求函数的最值23．（2024·高一·江苏淮安·学业考试）函数在区间上的最小值为，最大值为，则【答案】【解析】由在上单调递减，故，，即.故答案为：.24．（2024·高一·山东淄博·阶段练习）已知函数，点，是图象上的两点.(1)求，的值；(2)求函数在上的最大值和最小值.【解析】（1）因为点，是图象上的两点，所以，解得.（2）设，则，因为，所以，，则，即，所以函数在上单调递减.故，.25．（2024·高一·全国·课堂例题）已知函数，．(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；(2)求在上的值域【解析】（1）在上单调递减，证明如下：任取，则，因为，所以，，，所以，即，故在上单调递减.（2）在上单调递减，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，故值域为.26．（2024·高一·河南安阳·期末）已知函数，且.(1)求.(2)用定义证明函数在上是增函数.(3)求函数在区间上的最大值和最小值.【解析】（1）由题意知函数，且，故，则（2）证明：由（1）知，任取且，则，因为且，可得，则，所以，即，所以函数在上为单调递增函数.（3）函数在上为单调递增函数，所以，所以函数在区间上的最大值为，最小值为.题型八：抽象函数单调性的证明27．（2024·高一·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且.(1)求，的值；(2)用函数单调性的定义证明在上单调递增；(3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）由，则，又当时，，则，；（2）令，则，即，当时，，且，即，即在上恒成立，由，可知，令，，且，即，则，所以，即在上单调递增；（3）由已知，又由（1）得，所以，又函数在上单调递增，则恒成立，所以恒成立，又，即，解得.28．（2024·高一·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且．(1)求的值，并证明：当时，；(2)判断的单调性，并证明；(3)若，求不等式的解集．【解析】（1）令，则，又，所以．证明：当时，，所以，又，所以，所以；（2）在R上单调递减．证明：设，则，又，所以，所以，又当时，，当时，，所以，即，所以在R上单调递减；（3）因为，所以，所以，即，又在R上单调递减，所以，解得，所以不等式的解集为．29．（2024·高一·重庆·期末）已知定义在上的函数满足，且对任意．(1)证明：在上单调递减；(2)解不等式．【解析】（1）任取，且．因为，即，令，则．因为，所以．由题意，所以．故在上单调递减．（2），令，得．因为，所以．由（1）得，，解得．30．（2024·高一·全国·专题练习）已知定义域为R，对任意都有，且当时，.试判断的单调性，并证明；【解析】函数fx在上单调递增，证明如下：设，则，所以，即，任取，且，则，所以，即，所以在上单调递增.31．（2024·高一·福建泉州·期中）若非零函数对任意x，y均有，且当时，.(1)求，并证明；(2)求证：为上的减函数；(3)当时，对时恒有，求实数的取值范围.【解析】（1）取得，又，，取得，当时，，，，综合得；（2）任取，，则，由得，，，，为上的减函数；（3）取得，，，又由（2）为上的减函数得，即对时恒有，，解得或或.所以或或题型九：二次函数在闭区间上的最值问题32．（2024·高一·四川内江·阶段练习）已知函数.(1)当时，求方程的解集；(2)设在1,2的最小值为，求的表达式.【解析】（1）当时，，由，得，解得或，则或，所以方程的解集为.（2）当时，，当时，函数在上单调递减，则，即；当时，函数，其图象的对称轴为，当时，函数在上单调递减，则，即；当，即时，函数在上单调递增，则，即；当，即时，，即；当，即时，函数在上单调递减，则，即，综上所述：.33．（2024·高一·北京·期中）已知二次函数.(1)若存在使成立，求k的取值范围；(2)当时，求在区间上的最小值.【解析】（1）若存在使成立，则，解得或，所以k的取值范围是；（2）当时，，为对称轴是开口向上的抛物线，因为，所以，当即时，；当即时，；当即时，；综上所述，当时，；当时，；当时，.34．（2024·高三·江苏宿迁·阶段练习）已知函数.(1)若，求函数在区间上的值域；(2)若函数在区间上有最小值3，求的值.【解析】（1）若，则，对称轴为，函数在区间上单调递减，在上单调递增，所以，；所以的值域为（2），对称轴为，①当，即时，函数在,上是增函数．，由，得．，．②当，即时，．由，得，舍去．③当，即时，函数在,上是减函数，．由，得．，，综上所述，或．【重难点集训】1．（2024·高一·江苏·专题练习）对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】法一：由题意，恒成立，等价于，当时，即，，则恒成立，，，解得：，当时，即时，不等式不成立，当时，即，，则，，，解得：，综上所述：的取值范围是或；法二：由，即，令函数，，即，对于中的任意恒成立，则有且，即，解得或，所以的取值范围是或.故选：D．2．（2024·高三·山东青岛·开学考试）设，若是的最小值，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于，当，，由于是的最小值，则为减区间，即有，则恒成立.由，当且仅当时取等号，所以，解得.综上，a的取值范围为.故选：A.3．（2024·高三·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】是R上的增函数，则要满足：，解得.故选：B.4．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上的增函数，当时，．若，其中，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】依题意有，从而，即，所以．若，得，所以，矛盾．若，得，所以，这与是0,+∞上的增函数矛盾．所以．所以，得；所以，得；所以，得．因为，且，从而，．所以．故选：C.5．（2024·高一·广东广州·期中）对任意实数，规定取三个值中的最小值，则函数（

）A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，最小值1C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，无最小值【答案】A【解析】因为；；，所以可得，又将代入得；将代入得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，将代入得，将代入得，所以函数在处取得最大值为，无最小值.故选：A.6．（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）函数的值域为（

）.A． B．C． D．【答案】B【解析】，当时，.则.故选：B.7．（2024·高三·青海西宁·阶段练习）若关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为关于的不等式对任意均成立，当时，恒成立，当时，恒成立，令，，因为与在上单调递增，则在上单调递增，所以当时取得最大值，即，所以，则，综上可得实数的取值范围为.故选：D8．（2024·江西鹰潭·三模）若的最小值是4，则实数的值为（

）A．6或 B．或18C．6或18 D．或【答案】A【解析】当时，，，解得，符合题意；当时，，，解得，符合题意；当时，，，舍掉.故选：A.9．（多选题）（2024·高一·江西上饶·开学考试）下列说法能判断函数在区间上单调递增有（

）A．对于任意的，当时，都有恒成立；B．对于任意的，都有恒成立；C．存在，使得成立；D．对于任意的，都有恒成立，并且对于任意的，都有也恒成立【答案】AB【解析】对于选项A：由题意可得当时，都有恒成立，所以函数在区间上单调递增，故A正确；对于选项B：因为，且时，恒成立，可得或恒成立，即或恒成立，所以函数在上是增函数，故B正确；对于选项C：不能，例如时，，且，但函数在上不是单调递增的，而是先减后增，故C错误；对于选项D：由选项B可知：在内单调递增，例如如图：满足在内单调递增，但在内不单调，故D错误；故选：AB.10．（多选题）（2024·高三·甘肃白银·阶段练习）已知函数下列命题正确的是（

）A．的值域为B．C．若函数在上单调递减，则的取值范围为D．若在上单调递减，则的取值范围为【答案】BCD【解析】当时，，当时，，所以，B正确，A错误．若函数在上单调递减，则的取值范围为，C正确．若在R上单调递减，则，解得的取值范围为，D正确．故选：BCD.11．（多选题）（2024·高二·福建福州·期末）高斯取整函数y=x又称“下取整函数”，其中x表示不大于的最大整数，如．若函数，则的值可能是（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】AB【解析】由题意可得，则对应的图象为：由图象可知.故选：AB12．（2024·高一·上海·开学考试）已知二次函数的最小值是2，最大值是6，则的取值范围．【答案】【解析】函数解析式可化为，所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取最小值，最小值为，因为当时，函数的最小值是2，最大值是6，且时，，所以，且时，，即，且，所以.所以的取值范围为.故答案为：.13．（2024·高一·江苏·专题练习）已知函数是定义在上的单调函数，且对都有，则.【答案】【解析】因为函数是定义在上的单调函数，所以为一个常数.令，则，且，所以，即，解得：.故.故答案为：14．（2024·高三·甘肃白银·阶段练习）记为，，中最小的数.设，，则中的最大值为.【答案】【解析】设，由题意知，，，则，，则，由，得，当且仅当时取等号.故答案为：15．（河北省邢台市邢襄联盟20232024学年高三9月联考数学试题）已知函数.(1)若在上的最小值小于，求实数的取值范围；(2)若，求不等式的解集.【解析】（1）且x>0.设，则，所以的最小值为，则，即，解得或，故实数的取值范围为.（2）若，则，不等式可化为，所以.因为在和上单调递增，且和时，，当时，，所以的解集为，即不等式的解集.16．（2024·高三·陕西咸阳·阶段练习）已知二次函数fx=ax2+bx+c，满足，且对于，不等式恒成立，求实数【解析】根据题意，由，得，整理得，则，解得，即，不等式，依题意，，，令，当且仅当，即时，等号成立，因此，所以实数c的取值范围是.17．（2024·高二·浙江杭州·阶段练习）已知函数满足，且在上有最大值.(1)求，的值；(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1），，，即，，在上有最大值.，即，由得，；（2）由（1）得的解析式，由题意得当，则只有当或时，才恒有意义，当时，，等价为，等价为的最大值，易知的对称轴为，在上单调递增，即，得，（舍去）；当时，由得，即，设，对称轴为，当时，，得，当时，，得（舍）；综上，的取值范围为.18．（2024·高三·江苏镇江·开学考试）我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：，当且仅当时，等号成立．(1)证明“三元不等式”：．(2)已知函数．①解不等式；②对任意x∈0,+∞，恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）因为，则（当且仅当时取等），所以（当且仅当时取等），同理（当且仅当时取等），（当且仅当时取等），三式相加可得：，又因为，所以，所以（当且仅当时取等）.（2）①由可得：，所以，即，即，则，所以，解得：.②因为当x∈0,+∞时，当且仅当，即时取等，所以当x∈0,+∞时，对任意x∈0,+∞，恒则，所以，解得：.所以实数的取值范围为：.19．（2024·高一·江苏·专题练习）设，若对，使得成立，求的取值范围.【解析】，令，则，设，由对勾函数性质可知函数在上单调递增，所以的值域为，即的值域为，又因为，且，所以的值域为，由题意得，即，解得，故的取值范围为.【高考真题】1．（2020年山东省春季高考数学真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数【答案】C【解析】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，等价于对于任意两个不相等的实数，总有.所以函数一定是增函数.故选：C2．（2003年普通高等学校春季招生考试数学（理）试题（北京卷））函数的最大值是：（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，最大值为．故选：A.3．（2004年普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖南卷））若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于，开口向下，对称轴为若函数在区间上都是减函数，则区间在对称轴的右侧，所以可得：；对于，其相当于将的图象向左平移1个单位，得到如下函数图像：此时我们可以判断，当时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故的取值范围是.故选：D．4．（2001年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））设，都是上的单调函数，有如下四个命题，正确的是（

）①若单调递增，单调递增，则单调递增；②若单调递增，单调递减，则单调递增；③若单调递减，单调递增，则单调递减；④若单调递减，单调递减，则单调递减.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】C【解析】对于命题①，令，均为增函数，而为减函数，①错误；对于命题②，设，则，，∴，∴，故单调递增，命题②正确；对于命题③，设，则，，∴，∴，故单调递减，命题③正确.对于命题④，令，均为减函数，而为增函数，故④错误.故选：C5．（1989年普通高等学校招生考试数学（文）试题（全国卷））已知，若，则（

）A．在区间内是减函数 B．在区间内是减函数C．在区间内是增函数 D．在区间内是增函数【答案】A【解析】在上单调递增，在上单调递减，在-∞,0上单调递增，在0,+∞上单调递减，根据复合函数的单调性：当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故选