高一上学期期末数学新定义压轴汇编04函数凸凹性与应用

高一上期期末新定义压轴汇编4.函数凸凹性与应用一．基本原理1．定义在上为凸函数.反之，.注：上述不等式也称为詹森不等式.特别地，若只取，则有：凸函数自变量的平均数的函数值不大于函数值的平均数几何解释：凸函数的图象上弧线位于线段的下方；凹函数自变量的平均数的函数值不小于函数值的平均数几何解释：凹函数的图象上弧线位于线段的上方；(图1：凸函数)(图2：凹函数)2.运算性：（1）两凸函数之和为凸函数；（2）两递增非负凸函数之积为凸函数.二．典例分析例1．阅读材料：我们研究了函数的单调性､奇偶性和周期性，但是这些还不能够准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，图象在上都是上升的，但是却有着显著的不同.如图1所示，函数的图象是向下凸的，在上任意取两个点，函数的图象总是在线段的下方，此时函数称为下凸函数；函数的图象是向上凸的，在上任意取两个点，函数的图象总是在线段的上方，则函数称为上凸函数.具有这样特征的函数通常称做凸函数.定义1：设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征：曲线上任意两点之间的部分位于线段的下方.定义2：设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征：曲线上任意两点之间的部分位于线段的上方.上凸（下凸）函数与函数的定义域密切相关的.例如，函数在为上凸函数，在上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复，属于整体性质；而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向，属于局部性质.关于函数性质的探索，对我们的启示是：在认识事物和研究问题时，只有从多角度､全方位加以考查，才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题：(1)请尝试列举一个下凸函数：___________；(2)求证：二次函数是上凸函数；(3)已知函数，若对任意，恒有，尝试数形结合探究实数a的取值范围.解析：（1），；（2）对于二次函数，，满足，即，满足上凸函数定义，二次函数是上凸函数.（3）由（2）知二次函数是上凸函数，同理易得二次函数为下凸函数，对于函数，其图像可以由两个二次函数的部分图像组成，如图所示，若对任意，恒有，则函数满足上凸函数定义，即，即.例2．函数的凹凸性的定义是由丹麦著名的数学家兼工程师在1905年提出来的．其中对于凸函数的定义如下：设连续函数的定义域为（或开区间或，或都可以），若对于区间上任意两个数，均有成立，则称为区间上的凸函数．容易证明诸如：；等函数都是凸函数．在1906年将上述不等式推广到了n个变量的情形，即著名的不等式：若函数为其定义域上的凸函数，则对其定义域内任意n个数，均有成立，当且仅当时等号成立．(1)除上述给出的凸函数外，请再写出一个凸函数并利用凸函数的定义证明；(2)若函数为R上的凸函数，求a的取值范围；(3)在中，求的最小值；解析：（1）函数为凸函数，证明如下：对任意，，有，故，即，所以函数是凸函数．（2）由于函数为R上的凸函数，所以对任意的，，有，故，因此，结合，故（3）由基本不等式有，当且仅当时取等号．由不等式有，从而有，当且仅当时取等号．故的最小值为；例3．若函数在定义域区间上连续，对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意，，…，恒有，若是下凸函数，则对任意，，…，恒有，当且仅当时等号成立．应用以上知识解决下列问题：(1)判断函数在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）；(2)证明，上是上凸函数；(3)若A、B、C、，且，求的最大值．解析：（1）下凸函数，理由如下：任意取，因为，即，当且仅当时等号成立，故是下凸函数.（2）任意取，不妨设，，由于，根据在上单调递增，在上单调递减，则，所以，即函数是上凸函数.（3）当，且，由（2）知是上凸函数，所以，故，所以当且仅当时等号成立，即的最大值为.例4．临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异.通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念.已知定义：设连续函数f（x）的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则为凸函数.对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的,有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数和对数函数，研究函数的凹凸性.(1)设，求W=的最小值.(2)设为大于或等于1的实数，证明（提示：可设）(3)若a>1，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.解析：（1）记函数，首先证明其凹凸性：,则所以在0,1为凹函数.由琴生不等式，得，即所以，当时，W的最小值为.（2）设,因为故，要证只需证，由琴生不等式，只需证在为凹函数.设，下证，即证，即证,化简得.即证，式显然成立，所以成立，hx在为凹函数，则得证.（3）当时，不等式恒成立，即，因为,即恒成立，可得在时恒成立．因为，所以，，所以．由，及，可得，所以．故．例5．设是定义在区间上的函数，如果对任意的，有，则称为区间上的下凸函数；如果有，则称为区间上的上凸函数．(1)已知函数，求证：（ⅰ）；（ⅱ）函数为下凸函数；(2)已知函数，其中实数，且函数在区间内为上凸函数，求实数的取值范围．