2024-2025学年云南省昆明市高二上册期中考试数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年云南省昆明市高二上学期期中考试数学检测试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本部分共8小题，每小题5分，共40分.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.已知四面体，是的中点，连接，则＝（

）A. B. C. D.3.焦点在轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是（）A. B. C. D.4.在三棱柱中，D是四边形中心，且，，，则（）A. B.C. D.5.直线与圆的位置关系为（）A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定6.“”是“直线：与直线：互相垂直”（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知，，则等于（）A. B.C. D.8.过直线上一动点M，向圆引两条切线，A、B为切点，则圆的动点P到直线AB距离的最大值为（）A. B.6C.8 D.二、多项选择题：本部分共3小题，每小题6分，共18分.9.椭圆C的方程为，焦点为，，则下列说法正确的是（）A.椭圆C的焦距为3 B.椭圆C的长轴长为10C.椭圆C的离心率为 D.椭圆C上存在点P，使得为直角10.已知双曲线，若的离心率最小，则此时（）A. B.双曲线的渐近线方程为C.双曲线的一个焦点坐标为 D.双曲线的焦点到渐近线的距离为11.已知抛物线：焦点与椭圆的右焦点重合，过的直线交于、两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（）A.B.的最小值为2C.的面积为定值D.若在轴上，则为直角三角形三、填空题：本部分共3小题，每小题5分，共15分.12.两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________.13.圆心在x轴上，且与双曲线的渐近线相切的一个圆的方程可以是_____.14.设双曲线：的左、右焦点分别为和，以的实轴为直径的圆记为，过点作的切线，与的两支分别交于，两点，且，则的离心率的值为______.四、解答题：共77分.15.已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程；（2）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求.16.在空间几何体ABC-DEF中，四边形ABED，ADFC均直角梯形，，，，．（1）证明：平面平面．（2）求直线DF与平面BEF所成角的大小．17.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为．（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，求直线的斜率．18.如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面．（1）证明：；（2）若点在棱上，且平面，求线段的长；（3）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．19.如图，已知圆，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为，线段GH的垂直平分线交线段TG于点R，记动点R的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若，，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）过点作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点，使得.且，点D为垂足，证明：存在定点F，使得为定值.2024-2025学年云南省昆明市高二上学期期中考试数学检测试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本部分共8小题，每小题5分，共40分.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】直线倾斜角和斜率的关键即可得解.【详解】由题意直线，可得斜率，设直线的倾斜角为，其中，可得，所以，即直线的倾斜角为.故选：A.2.已知四面体，是的中点，连接，则＝（

）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据已知条件作出图形，利用线段中点的向量表达式及向量加法法则即可求解.【详解】如图，四面体，是的中点，因为是的中点，所以所以.故选：A.3.焦点在轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】先由题意得到椭圆焦点的位置，然后根据题中的数据求出后可得所求的标准方程．【详解】由题意知椭圆的标准方程为，且，所以，所以，又，所以可得，因此椭圆的标准方程为．故选：C.4.在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】利用空间向量线性运算计算即可.【详解】.故选：D.5.直线与圆的位置关系为（）A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定【正确答案】A【分析】求圆心到直线的距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系.【详解】由题意知，圆心，半径，所以圆心到直线的距离，故圆与直线相离.故选：A.6.“”是“直线：与直线：互相垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据给定直线方程求出的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，，解得或，所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.故选：A7.已知，，则等于（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】先求出向量的坐标，然后利用数量积夹角坐标公式直接计算即可.【详解】因为，，所以，，所以.故选：C8.过直线上一动点M，向圆引两条切线，A、B为切点，则圆的动点P到直线AB距离的最大值为（）A. B.6C.8 D.【正确答案】A【分析】根据题意设点在直线上，可得点A、B在以OP为直径的圆上，求出该圆的方程，联立圆O的方程得出直线AB的方程，进而可得直线AB恒过定点，将问题转化为求点C、N之间的距离，结合圆C的方程和两点坐标求距离公式计算即可得出结果.【详解】由题意知，设点在直线上，则，过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，则，所以点A、B在以OP为直径的圆上，且该圆的方程为：，又圆O的方程为，这两个圆的方程相减，得公共弦AB的方程为，即，因为，所以，所以，当且即时该方程恒成立，所以直线AB恒过定点，所以点M到直线AB距离的最大值即为点C、N之间的距离加上圆C的半径，又，，所以，即点M到直线AB距离的最大值为.故选：A二、多项选择题：本部分共3小题，每小题6分，共18分.9.椭圆C的方程为，焦点为，，则下列说法正确的是（）A.椭圆C的焦距为3 B.椭圆C的长轴长为10C.椭圆C的离心率为 D.椭圆C上存在点P，使得为直角【正确答案】BC【分析】由椭圆方程，计算，由焦距、长轴、离心率的定义可判断ABC，当点P为上顶点或者下顶点时，最大，分析可判断D【详解】由题意，椭圆的焦距为，A错误；椭圆的长轴长为，B正确；椭圆的离心率，C正确；当点P为上顶点或者下顶点时，最大，此时又为锐角，可得，故，因此椭圆C上不存在点P，使得为直角，D错误故选：BC10.已知双曲线，若的离心率最小，则此时（）A. B.双曲线的渐近线方程为C.双曲线的一个焦点坐标为 D.双曲线的焦点到渐近线的距离为【正确答案】AB【分析】首先求得双曲线离心率的表达式，利用基本不等式求得为何值时离心率取得最小值.进而求得双曲线的渐近线、焦点以及焦点到渐近线的距离.【详解】因为，所以双曲线的焦点在轴上，所以，，所以．又双曲线的离心率，则．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，则双曲线的离心率最小时，，，，则双曲线的渐近线方程为，故A，B正确；双曲线的焦点坐标为（，0），故C错误；焦点到渐近线的距离为，故D错误.故选：AB．本题考查双曲线的几何性质及利用基本不等式求最值，解答本题的关键是用表示出双曲线的离心率，利用基本不等式求最小时的值．11.已知抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，过的直线交于、两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（）A.B.的最小值为2C.的面积为定值D.若在轴上，则为直角三角形【正确答案】ABD【分析】利用焦点坐标求出抛物线方程，利用抛物线性质解决焦点弦相关问题.【详解】由椭圆的方程可知，椭圆的右焦点坐标为1,0，则抛物线焦点为1,0，所以，抛物线的标准方程为，准线方程为，抛物线的焦点弦中，通径最短，通径长为，则，A选项正确；显然直线AB的斜率为0时不合题意，则设直线的方程为，，联立，得，，得，，所以，，则，因为与垂直，所以直线的斜率为，其方程为，联立，解得，即，所以点M到直线AB的距离，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2，即选项B正确；的面积当且仅当时，等号成立，所以的面积最小值为4，即选项C错误；若在轴上，则，此时为通径，设，，，AB=4，满足，则为直角三角形，D选项正确.故选：ABD方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．三、填空题：本部分共3小题，每小题5分，共15分.12.两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________.【正确答案】【分析】通过直线平行求出，然后利用平行线之间的距离求出结果即可．【详解】直线与直线平行，所以，直线与直线的距离为．故答案：．13.圆心在x轴上，且与双曲线的渐近线相切的一个圆的方程可以是_____.【正确答案】满足方程：的任意均可【分析】先求出双曲线的渐近线，然后根据对称性设出圆的圆心，再利用圆与直线相切，得到半径，从而得到所求圆的方程.【详解】双曲线的渐近线方程为：，要使圆与两条渐近线相切，设圆的圆心为，，则圆的半径为：，所以所求圆的方程为：，，故满足方程：的任意均可.本题考查求双曲线的渐近线，根据直线与圆相切求圆的方程，属于中档题.14.设双曲线：的左、右焦点分别为和，以的实轴为直径的圆记为，过点作的切线，与的两支分别交于，两点，且，则的离心率的值为______.【正确答案】【分析】如图，设直线l与圆C的切点为，过点作于点Q，则，由题意求出，进而求出、，结合双曲线的定义化简计算即可求解.【详解】设直线l与圆C的切点为，则，，由，得，过点作于点Q，则，由O为的中点，得，因为为锐角，所以，有，得，所以，由双曲线定义知，，即，解得，又，所以，所以双曲线的离心率为.故答案为.四、解答题：共77分.15.已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程；（2）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）将点代入双曲线方程即可求解；（2）写出直线方程，与双曲线方程联立，由弦长公式可得结果.【小问1详解】因为双曲线的实轴长为，所以，解得：；又因为点在双曲线上，所以，解得：，所以双曲线的标准方程为：【小问2详解】设，Qx由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即，联立，消去可得：，所以，，所以16.在空间几何体ABC-DEF中，四边形ABED，ADFC均为直角梯形，，，，．（1）证明：平面平面．（2）求直线DF与平面BEF所成角的大小．【正确答案】（1）证明见解析（2）．【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到两个法向量垂直，故两平面垂直；（2）在（1）的基础上，利用线面角的向量夹角公式得到答案.【小问1详解】证明：因为，所以AB，AC，AD两两垂直．以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则．设平面BEF的法向量为，因为，，所以，解得，令，得，故．设平面DEF的法向量为，因为，，所以令，得．因为，所以，所以平面平面．【小问2详解】设直线DF与平面BEF所成的角为，由（1）知，平面BEF的一个法向量为，则，所以，即直线DF与平面BEF所成的角为．17.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为．（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，求直线的斜率．【正确答案】（1）椭圆的方程为；抛物线的方程为（2）【分析】（1）根据椭圆方程和离心率可得，即可得椭圆方程，根据焦点可得抛物线方程；（2）设的坐标，利用点差法即可得斜率.【小问1详解】由椭圆方程可知：，因为，解得，又因为，所以椭圆的方程为；可知椭圆的焦点为，则抛物线的焦点为，可得，即所以抛物线的方程为.【小问2详解】显然点在椭圆内，可知直线与椭圆必相交，如图所示：设，中点为，则，，，因为两点在椭圆上，可得，两式相减可得，整理可得，即，可得，所以直线的斜率为.18.如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面．（1）证明：；（2）若点在棱上，且平面，求线段的长；（3）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，且【分析】（1）连接，根据题意证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得；（2）建立适当的空间直角坐标系，设出的长，表示出直线的方向向量及平面的法向量后计算即可得；（3）分别求出两平面的法向量，由平面夹角公式、二面角的定义即可列出方程，计算即可得.【小问1详解】连接，因为为棱台，所以四点共面，又因为四边形为菱形，所以，因为平面，平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以；【小问2详解】取中点，连接，因为底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，由于平面，以为原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，则，设，则，，，，设平面的法向量为m=x,y,z，则有，令，则，，即，由平面，则，即有，解得，即；【小问3详解】假设点存在，设点的坐标为，其中，可得，设平面的法向量n=a,b,c，则，令，即，所以，又由平面的法向量为，所以，解得，由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即，故棱上存在一点E，当时，二面角的余弦值为.19.如图，已知圆，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为，线段GH的垂直平分线交线段TG于点R，记动点R的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若，，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）过点作两