2024-2025学年四川省成都市高二上学10月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年四川省成都市高二上学10月月考数学检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知直线过点，，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】求出直线的斜率，由斜率与倾斜角关系即可求解.【详解】由题可得：，所以直线的倾斜角为：；故选：C2.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果.【详解】∵点为中点，∴，∴.故选：B.3.下列是古典概型的是（）A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率D.抛掷一枚质地均匀硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点【正确答案】C【分析】根据古典概型的定义，逐项分析判断即可得解.【详解】A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是古典概型；B项中的样本点的个数是无限的，故B不是古典概型；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．故选：C4.经过点的直线在轴上的截距是（）A. B. C.10 D.2【正确答案】A【分析】先求得直线的方程，从而求得纵截距.【详解】直线的斜率为，所以直线的方程为，纵截距为.故选：A5.已知点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】求得平面ABC的一个法向量，由求解.【详解】因为点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），所以，设平面ABC的一个法向量为，则，即，令，得，则，所以，故选：C6.已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】求出直线、的斜率后可求直线的斜率的范围.【详解】，而，故直线的取值范围为，故选：A.7.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量，的夹角为，则为钝角的概率是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】先根据已知求出满足条件的满足的关系式，然后分别令，求得满足条件的.然后即可根据古典概型概率公式，得出答案.【详解】由可得，，所以.因为为钝角，所以，且不共线，所以，即，且.当时，有且，所以可取1，3，4，5，6；当时，有，可取3，4，5，6；当时，有，可取5，6；当，，时，，此时无解.综上所述，满足条件的有11种可能.又先后抛掷两次，得到的样本点数共36种，所以为钝角的概率故选：D.8.如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且.若G，B，P，D四点共面，则m为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】以为基底，表示向量，由可求值.【详解】因.由G，B，P，D四点共面，所以.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列四个结论正确的是（）A.任意向量，，若，则或或B.若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线C.空间中任意向量都满足D.若，，则【正确答案】AB【分析】根据向量数量积的概念判断AC的真假；根据三点共线的有关结论判断B的真假；举特例说明D错误.【详解】对A：因为，若，则或或，即或或，故A正确；对B：因为，时，三点共线，故B正确；对C：因为两个向量的数量积是实数，故是与共线的向量，是与共线的向量，所以未必成立，故C错误；对D：当时，对任意向量，，都成立，但未必成立，故D错误.故选：AB10.已知某篮球运动员共投篮两次，记事件“第一次投篮投中”，事件“第二次投篮投中”，事件“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（）A.，互为互斥事件 B.与互为互斥事件C. D.与互为对立事件【正确答案】BD【分析】由互斥事件和对立事件的性质集合题意逐项分析即可；【详解】对于A，，两个事件可以同时发生，故A错误；对于B，与不可能同时发生，故B正确；对于C，为，的交事件，故C错误；对于D，对应事件是第一次投篮未投中或第二次投篮未投中，故与互为对立事件，D正确.故选：BD.11.已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则（）A.直线与所成角的取值范围是B.三棱锥的体积为定值C.D.的最小值为【正确答案】ACD【分析】由转化异面直线所成的角，在等边中分析可知选项A正确；利用等体积法进行转化可得选项B错误；由数量积的定义可判断选项C正确；把和沿展开，即可计算的最小值，得到选项D正确.【详解】A.如图，连接，由题意得，，，直线AP与所成的角等于直线AP与所成的角，在等边中，当点与两点重合时，直线AP与所成的角为，当点与中点重合时，，此时直线AP与所成的角为，故直线AP与所成角的取值范围是，选项A正确.B.如图所示，∵，平面，平面，∴平面，∴直线上任意一点到平面的距离均相等，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，∴，选项B错误.C.设，则，当时，有最小值，当或0时，有最大值0，∴，即，∴，∵，∴，选项C正确.D.把和沿展开，如图所示当三点共线时，有最小值，最小值为，由题意得，，，∴，选项D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为_______.【正确答案】【分析】根据点到直线的空间向量坐标公式求解即可【详解】根据题意，得，，，；又点到直线l的距离为．故13.在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为________．【正确答案】2.8##【分析】根据方差的概念计算【详解】去掉一个最高分95和一个最低分89后，所剩数据90，90，93，94，93的平均数为（90+90+93+94+93）=92；方差为[（90-92）2+（90-92）2+（93-92）2+（94-92）2+（93-92）2]=2.8故2.814.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______.【正确答案】【分析】取中点，连接，，易证平面，再由等边三角形可知四边形为等腰梯形，高为，建立空间直角坐标系，利用向量法可得异面直线夹角余弦值.【详解】如图所示，设，取中点，连接，，则，又，，四边形为矩形，，又为正三角形，为的中点，，，且，平面，平面，易知，则，四边形为等腰梯形，高为，在平面内，过点作的垂线，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，即，，，即异面直线与的夹角余弦值为，故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在长方体中，，，分别的中点．（1）求证：平面；（2）判断与平面是否垂直，并说明理由．【正确答案】（1）证明见解析；（2）不垂直，理由见解析.【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.（2）由（1）中空间直角坐标系，利用空间向量数量积计算判断即得.【小问1详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，由，，分别的中点，得，，显然平面的一个法向量，则，于是，有平面，而平面，所以平面.【小问2详解】由（1）知，，则有，而，于是向量与向量不垂直，即直线与不垂直，而平面，所以与平面不垂直.16.已知直线，直线.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.【正确答案】（1）（2）或.【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合；（2）根据两条直线垂直公式计算即可求参.【小问1详解】因为，所以，整理得解得或.当时，重合；当时，，符合题意.故.【小问2详解】因为，所以解得或.17.新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制．为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图；（1）试估计这名学生成绩的第百分位数；（2）若采用分层抽样的方法从成绩在，80,90，90,100的学生中共抽取人参加志愿者活动．现从这人中随机抽取人分享活动经验，求抽取的人成绩都在的概率．【正确答案】（1）（2）1【分析】（1）根据百分位数的求法求得正确答案.（2）根据分层抽样、列举法以及古典概型概率计算公式求得正确答案.【小问1详解】由频率分布直方图可得成绩小于的频率为，成绩在80,90的频率为，因为，所以这名学生成绩的第百分位数在80,90内，所以随机抽取的名学生成绩的第百分位数为【小问2详解】因为成绩在，80,90，90,100的学生人数所占比例为,所以从成绩在，80,90，90,100所抽取人数分别应抽取人，人，人．记抽取成绩在的人为，成绩在为，，．从这人中随机抽取人的所有可能为：，，共种，抽取的人成绩都在的是，共种，抽取的人成绩都在的概率为·18.如图，小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏她们用四种字母做成10个棋子，其中A棋1个，B棋2个，C棋3个，D棋4个，“字母棋”的游戏规则为：①游戏时两人各摸一个棋子进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②A棋胜B棋，C棋；B棋胜C棋，D棋；C棋胜D棋；D棋胜A棋；③相同棋子不分胜负，（1）若小玲先摸，问小玲摸到C棋的概率是多少？（2）已知小玲先摸到了C棋，小军在剩余的9个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲胜小军的概率是多少？（3）已知小玲先摸一个棋，小军在剩余的9个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概率最大？【正确答案】（1）（2）（3）小玲希望摸到棋，小玲胜小军的概率最大【分析】（1）（2）利用古典概型的概率公式即可得解；（3）分别分析小玲摸到不同棋子胜小军的概率，从而得解.【小问1详解】依题意，一共有10个棋子，其中C棋3个，所以小玲摸到棋的概率等于；【小问2详解】因为C棋胜D棋，D棋4个，所以小玲在这一轮中胜小军的概率是；【小问3详解】若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；若小玲摸到棋，小玲胜小军概率是；若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；由此可见，小玲希望摸到棋，小玲胜小军的概率最大.19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由.【正确答案】（1）（2）（3）存在，或【分析】（1）由题意可得，进而计算可得结论；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角的余弦