2024-2025学年山东省菏泽市高二上册开学考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年山东省菏泽市高二上学期开学考试数学检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.已知i是虚数单位，则复数，在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【正确答案】D【分析】由复数的乘除法运算和的性质可得答案.【详解】复数，在复平面内对应的点，所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.2.某车间从生产的一批零件中随机抽取了1000个进行一项质量指标的检测，整理检测结果得到此项质量指标的频率分布直方图如图所示.若用分层抽样的方法从质量指标在区间的零件中抽取170个进行再次检测，则质量指标在区间内的零件应抽取（）A.30个 B.40个 C.60个 D.70个【正确答案】C【分析】由分层抽样按比例计算．【详解】设质量指标在区间内的零件应抽取个，则，解得，故选：C．3.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（）A.事件与事件互斥B.C.D.事件与事件不相互独立【正确答案】C【分析】由互斥事件的定义判断A；应用列举法计算，判断BC；利用独立事件的定义判断D.【详解】显然事件A与事件B可以同时发生，事件与事件不互斥，A错误；抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种：，，，，，，事件B的样本点为，共18种，事件C的样本点为，共12种，事件的样本点为，共6种，因此，B错误；，C正确；而，于是，则事件B与事件C相互独立，D错误.故选：C4.已知两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题：①若，，，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由面面垂直的判定定理，可判断①的真假；由面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征，可以判断②的真假；由面面垂直的判定定理，及线面垂直的几何特征，可以判断③的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断④的真假．【详解】①若，，，如图，则与不一定垂直，故①为假命题；②若，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则；故②为真命题；③若，则，故③为真命题；④若，如图，则与可能相交，故④为假命题．故选B．本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理、性质定义、几何特征是解答的关键．5.若非零向量、满足，且，则与的夹角为()A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据数量积的定义和运算法则即可计算.【详解】，，∴，.故选：B.6.灵运塔，位于九江市都昌县东湖南山滨水区，踞南山之巅，南望鄱湖，当代新建仿古塔．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量灵运塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，灵运塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（）A.45米 B.50米 C.55米 D.60米【正确答案】B【分析】设，进而可得，由余弦定理得：，可求．【详解】设米，在中，，则，在中，，则，因为，所以由余弦定理得：，整理得：，解得(米).故选：B7.已知圆锥的高为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】直接利用扇形弧长公式和面积公式计算即可.【详解】由题意知，设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，则，底面圆周长为，又扇形的弧长为，所以，解得，得，所以底面圆的面积为，扇形面积为，所以圆锥的表面积为.故选：A8.如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（）A. B. C. D.3【正确答案】B【分析】连接，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，判断出当三点共线时，则即为的最小值.分别求出,,利用余弦定理即可求解.【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，则有.当三点共线时，则即为的最小值.在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.同理可求：因为，所以为等边三角形，所以，所以在三角形中，,,由余弦定理得.故选B.（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.如图，在三棱锥中，能推出的条件是（）A.， B.，C.平面平面， D.平面【正确答案】BCD【分析】利用线面垂直的判定与性质及面面垂直的性质，即可得出结论．【详解】解：对于A，，，不能证明，不能推出；对于B，，，，则平面，，能推出；对于C，平面平面，平面平面，，平面，，能推出；对于D，平面，，能推出；故选：BCD．10.某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（）A.在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人B.图中的值为0.020C.估计全校学生成绩的中位数约为86.7D.估计全校学生成绩的80%分位数为95【正确答案】ACD【分析】对于A，由频率分布直方图求出的频率，再乘以400可得结果，对于B，由各组的频率和为1可求得结果，对于C，先判断中位数所在的区间，再列方程求解，对于D，根据百分位数的定义求解.【详解】由题意，成绩在区间内的学生人数为，故A正确；由，得，故B错误；由于前3组的频率和，前4组的频率和，所以中位数在第4组，设中位数为，则，得，故C正确；低于90分的频率为，设样本数据的80%分位数为，则，解得，故D正确.故选：ACD.11.在中，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则为锐角三角形.C.等式恒成立.D.若，则【正确答案】ACD【分析】由正弦定理可得即结合同角三角函数基本关系可判断A；由余弦定理可判断为锐角，而角和角无法确定即可判断B；由正弦定理以及两角和的正弦公式可判断C；求出角，，，由正弦定理可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：在中，若，则，由正弦定理可得，所以，即，所以，可得，故选项A正确；对于B：由余弦定理可得只能判断角为锐角，而角和角无法确定是什么角，所以得不出为锐角三角形，故选项B不正确；对于C：由正弦定理可得，右边等于左边显然成立，故选项C正确；对于D：因为，，所以，，由正弦定理可得，故选项D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，若与的夹角为锐角，则的取值范围为___________.【正确答案】且．【分析】由数量积大于0，再除去共线的值即可参数范围．【详解】由题意，，又，时，两向量相等，夹角为0，所以的范围是且．故且．13.如图，在中，点在边上，，是等边三角形，且面积为，则______．【正确答案】##【分析】求出，，再利用余弦定理求解.【详解】解：因为是等边三角形，且面积为，所以，解得，所以．因为，所以，由题得，在中，由余弦定理得，即，解得．故答案：14.在四棱柱中，底面，底面是正方形，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____．【正确答案】【分析】结合题意，建立坐标系，运用向量的数量积公式，计算夹角余弦值，即可．【详解】结合题意，绘制图形，建立坐标系，得到点的坐标分别为：故，所以本道题考查了向量数量积公式，考查了异面直线所成角余弦值计算方法，难度中等．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知中，，是边上一点，，，.（1）求的长；（2）求的面积.【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中，由正弦定理求出的长；（2）在中，求出，由余弦定理求出，再由三角形面积公式求解即可.【详解】（1）由已知，则中，；（2）中，，，，由余弦定理得：，解得，所以的面积为.本题主要考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的应用，属于中档题.16.如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，AE⊥CD，BF⊥CD.将△ADE与△BCF分别沿AE，BF折起，使得点D、C重合(记为点P)，形成图2，且△PEF是等腰直角三角形.（1）证明：平面PAE⊥平面PBF；（2）求二面角的正弦值；（3）若，求四棱锥的体积.【正确答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）应用线面垂直判定证面，再由面面垂直的判定证结论；（2）连接PG，PH，GH，且G，H分别为AB，EF的中点，根据二面角的定义找到其对应的平面角，根据题设求该角正弦值即可；（3）根据已知求得PH，结合PH⊥平面ABFE，棱锥的体积公式求体积.【小问1详解】由题设，易知，又为等腰直角三角形，故，由且都在面内，故面，面，所以平面PAE⊥平面PBF；【小问2详解】如图，连接PG，PH，GH，且G，H分别为AB，EF的中点，由（1）知，故PG⊥AB，又GH∥AE，AE⊥AB，∴GH⊥AB，故∠PGH为二面角的平面角，由（1）知，AE⊥平面PEF，又平面ABFE，故平面ABFE⊥平面PFE，又平面ABFE∩平面PFE，PH⊥EF，平面PFE，所以PH⊥平面ABFE，设，则，，，，故二面角的正弦值为；【小问3详解】由（2）得PH⊥平面ABFE，又AB，所以，则，故四棱锥的体积为1.17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.（1）求角C；（2）求△ABC的外接圆的半径R，并求△ABC的周长的取值范围.【正确答案】（1）（2），【分析】（1）由正弦定理结合和角公式得出角C；（2）由正弦定理得出，由正弦定理的边化角公式得出，结合三角函数的性质得出△ABC的周长的取值范围.【小问1详解】由题，因为所以由正弦定理可得即在△ABC中，，且，B，又，所以，则【小问2详解】由正弦定理得，所以由（1）知，，所以因为，所以则即△ABC的周长的取值范围为18.第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并按照，，，，分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率之和为0.9，第一组和第五组的频率相同．（1）求，的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的中位数（精确到0.1）；（3）若先用分层随机抽样的方法从面试成绩在段的候选者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人来自同一分数段的概率．【正确答案】（1），（2）69.4（3）【分析】（1）由频率分布直方图列方程组即能求出的值；（2）由于第一、二组的频率之和为0.3而第三组的频率为0.45，所以中位数在第三组，根据比例即可求解中位数；（3）根据分层抽样，在段和段的候选者分别有1人和5人，列举出这6人中选出2人的总的基本事件数，和选出的两人来自同一分数段的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．【小问1详解】因为第二、三、四组的频率之和为0.9，所以，解得．再由第一组、第五组的频率之和为，即，得．【小问2详解】根据频率分布直方图可知，第一、二组的频率之和为0.3，第三组的频率为0.45，所以中位数在第三组，且为．【小问3详解】由（Ⅰ）可得面试成绩在段和段的候选者分别有5人和25人，若用分层随机抽样的方法从中抽取6人，则需在段中抽取1人，设为，在段中抽取5人，分别设为，，，，．该试验的样本空间为，共有15个样本点．设“从这6人中随机抽取2人，这2人来自同一分数段”为事件，则，有10个样本点，故．19.已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面（3）求三棱锥的体积.【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【分析】（1）连接，，只需证明即可，由中位线定理结合线面平行