2024-2025学年甘肃省高二上册第一次月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年甘肃省高二上学期第一次月考数学检测试卷一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一个选项符合题目要求）1.已知数列，则是它（）A.第9项 B.第10项 C.第13项 D.第12项2.等比数列中，，则（）A.4 B. C. D.3.等差数列前项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（）A. B. C. D.4.数列an中，，，且（），则为（）A.2 B.1 C. D.5.已知等差数列与等差数列的前项和分别记为，若，则的值为（）A B. C. D.6.已知数列满足，，则数列的通项公式为（）A. B. C. D.7.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，《洛书》上的图案由个黑白圆点分别组合，摆成方形，南西东北分别有个点，四角各有个点，中间有个点，简化成如图的方格，填好数字后各行、各列以及对角线上的3个数字之和都等于15．推广到一般情况，将连续的正整数填入的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，这样一个阶幻方就填好了，记阶幻方对角线上的数字之和为，则的值为（）A. B. C. D.8.已知直线：和点，，若l与线段相交，则实数a的取值范围是（）A. B.或 C. D.或二､多选题：（共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.直线过点与，则直线的方程可以是（）A. B.C. D.10.已知数列的前项和，则下列说法正确的是（）A. B.数列不是等差数列C.的最小值为 D.数列为等差数列11.设公差为的等差数列的前项和为，若，，，则下列结论正确的是（）A. B.C.时，的最大值为 D.数列中的最小项为第项三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为__________．13.已知，则数列前项和__________．14.设函数，则__________．四､解答题：（本题共6个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卷上）15.记为等差数列前项和，已知，.（1）求数列的通项公式（2）求的最大值．16.直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12．（1）求直线的方程（2）求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积．17.已知数列（1）求数列的通项公式（2）求数列前项和．18.已知数列为等差数列，数列为等比数列，.（1）求数列的通项公式.（2）设数列的前项和为，若，求.19.已知数列的满足.（1）求数列的通项公式.（2）设数列前项和为，求.（3）证明：2024-2025学年甘肃省高二上学期第一次月考数学检测试卷答题时间120分钟满分150分一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一个选项符合题目要求）1.已知数列，则是它的（）A第9项 B.第10项 C.第13项 D.第12项【正确答案】C【分析】首先得出数列的通项公式，然后解方程即可求解.【详解】数列，即数列的通项公式是，令，所以是它第13项.故选：C.2.等比数列中，，则（）A.4 B. C. D.【正确答案】B【分析】根据等比数列通项公式求解即可.【详解】设等比数列an的公比为，因为，所以，所以，所以.故选：B.3.等差数列的前项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由等差数列通项公式可得，结合等差数列前n项和公式判断各项是否为常数.【详解】若等差数列公差为，则为常数，所以为常数，而，，均不确定为常数.故选：C4.数列an中，，，且（），则为（）A.2 B.1 C. D.【正确答案】A【分析】根据递推关系可得数列的周期性，即可求解.【详解】由，，且可得……,所以为周期数列，且周期为6，故，故选：A5.已知等差数列与等差数列的前项和分别记为，若，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】等差数列的前项和公式，.根据等差数列的性质，若，则，对于本题，我们可以利用时与的关系以及与的关系来求解.【详解】根据等差数列前项和公式，当时，.由等差数列性质，所以.同理，对于数列，当时，.又因为，所以.已知，当时，而，所以.故选：C.6.已知数列满足，，则数列的通项公式为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】依题意可得，再利用累乘法计算可得；【详解】解：由，得，即，则，，，…，，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故选：D．7.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，《洛书》上的图案由个黑白圆点分别组合，摆成方形，南西东北分别有个点，四角各有个点，中间有个点，简化成如图的方格，填好数字后各行、各列以及对角线上的3个数字之和都等于15．推广到一般情况，将连续的正整数填入的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，这样一个阶幻方就填好了，记阶幻方对角线上的数字之和为，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】先求出阶幻方中所有数字之和，再除以得对角线上的数字之和，再令可得结果.【详解】阶幻方由填入得到，填入的数字之和为，又因为阶幻方每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，所以对角线上的数字之和为，当时，代入可得，故选：C．8.已知直线：和点，，若l与线段相交，则实数a的取值范围是（）A. B.或 C. D.或【正确答案】D【分析】结合已知条件作图并求出直线的定点，然后分别求出直线和直线的斜率，结合图像求解即可.【详解】由直线：可知直线必过定点，且直线的斜率为，如下图所示：由斜率公式可知，直线的斜率为，直线的斜率为，若与线段相交，只需要或，故实数a的取值范围是或.故选：D.二､多选题：（共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.直线过点与，则直线的方程可以是（）A. B.C. D.【正确答案】AC【分析】根据直线方程的五种形式分别判断各选项.【详解】由直线过点与，则直线的斜率，则直线方程的点斜式为，C选项正确；其一般式为，即，A选项正确；截距式为，B选项错误；斜截式为，D选项错误；故选：AC.10.已知数列的前项和，则下列说法正确的是（）A. B.数列不是等差数列C.的最小值为 D.数列为等差数列【正确答案】BC【分析】对于A、B，根据数列求和公式以及通项公式的关系，可得答案；对于C，根据数列的单调性，结合数列中大于零的项，可得答案；对于D，写出新数列的通项公式，结合等差数列的定义即可判断.【详解】由题意，数列的前项和为，当时，，当时，，当时，不满足上式，所以，故A不正确，B正确；由于时，为递增数列，且，故的最小值为，故C正确；由于，∴数列不是等差数列，D不正确，故选：BC．11.设公差为的等差数列的前项和为，若，，，则下列结论正确的是（）A. B.C.时，的最大值为 D.数列中的最小项为第项【正确答案】BCD【分析】根据等差数列通项公式和前项和的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A，因为，且，所以，故A错误；对于B，因为，所以，且数列满足，，，所以得到不等式，解得，故B正确；对于C，依题意得，当时，（因为，故且数列单调递减），所以，所以当时最大值为，故C正确；对于D，当时，，，所以；当时，，，所以；当时，，且单调递增，，，故为正数且单调递减，所以单调递减，故且单调递增，所以的最小项为第项，故D正确；故选：BCD三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为__________．【正确答案】分析】将代入计算可得结果.【详解】当时，.故13.已知，则数列的前项和__________．【正确答案】【分析】利用，可求前项和.【详解】，所以.故答案为.14.设函数，则__________．【正确答案】【分析】根据已知解析式得、，进而求目标式的值即可.【详解】由，且，所以.故四､解答题：（本题共6个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卷上）15.记为等差数列的前项和，已知，.（1）求数列的通项公式（2）求的最大值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据等差数列的首项与公差直接可得解；（2）根据等差数列的求和公式，结合二次函数求值域可得最值.【小问1详解】由已知，，则；【小问2详解】由已知，，则，又，当时，；当时，；所以当时，取得最大值为.16.直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12．（1）求直线的方程（2）求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积．【正确答案】（1）或（2）或【分析】（1）设直线的方程为，将点代入，进一步求出和的值，从而求出答案；（2）借助（1）中求出的和，结合面积公式即可求.【小问1详解】由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点，故可设直线方程为：，且，①又因为直线过点，所以，②由①②解得或，所以直线的方程为：或，即或.【小问2详解】由（1）可知，当直线的方程为时，；当直线的方程为时，，所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为或.17.已知数列（1）求数列的通项公式（2）求数列前项和．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由数列中每一项的特点分析可得通项公式的结构.（2）将数列an【小问1详解】因为数列an整数部分为奇数，分母为，所以.【小问2详解】，则18.已知数列为等差数列，数列为等比数列，.（1）求数列的通项公式.（2）设数列的前项和为，若，求.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）应用等比数列的基本量运算即可；（2）应用等差数列的前项和公式计算即可.【小问1详解】数列bn为等比数列，设公比为，，，则，则，解得，所以，则.【小问2详解】数列an为等差数列，设公差为，由（1