2024-2025学年湖北省武汉市高三年级上册12月联考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年湖北省武汉市高三上学期12月联考数学

检测试题

一、单选题

1.设全集U=R,集合N={x[l<x<4},集合8=,卜2-法>0},则集合“0(”)=()

A.(1,2]B.(1,2)C.(0,4)D.[0,4)

2.中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因

是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”,也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化,

下列选项中是同一个函数的是()

x+lfX>-1

A.f(x)=E，g(x)=xB./(x)=|x+l|,g(x)=

—x—Lx<-1

2_A

C./(x)=-^y,g(x)=x-2D./@)=1和8(尤)=》。

3.在复平面内，复数ZE对应的向量分别是况=(-2,3),砺=(3,-2),则复数工、对应的

点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.已知向量]满足忖=量恸=3,1+@=3,则卜—0=()

A.ViTB.VioC.3D.2

已知（）02

5.Q=log3.3,b=log57,c=O.3-,贝IJ()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

6.已知后sina=sin]。一1），则cos2a+cos2a=（）

A—1c-41

B.一D.——

422

22

7.已知双曲线C：三-方=1(。>0/>0)的左、右焦点分别为片，与，点M在C的左支上，

过点”作C的一条渐近线的垂线，垂足为N,则当|九里|+|AW|取最小值10时，△耳阻面积

的最大值为()

“、\x-2a,x<Q/、/­、_

8.设函数/（X）={],若/（玉）=/@2乂占<尤2）,且2工2-国的最小值为ln2,则。的

I1ILX,X>U

值为（）

二、多选题

9.下列选项中正确的是（）

A.若。>6>0,贝B.若/>〃，则a>b

D.若a>b>c>0,则-+°>2

C.若。>b,则—

baa+ca

10.函数/O)=-sin：,g(x)=3sin(3久+“(3>0),若y=/(久)与y=g(x)在％e[0,2兀]

有且仅有4个交点，则下列3的取值可能是（）

11137

A@=­B.0）=2C..o）=­D..0）=-

663

TT

11.在边长为6的菱形ABCD中，NN=§，现将△48。沿BD折起到△PAD的位置,使得二

面角尸-AD-C是锐角，则三棱锥尸-BCD的外接球的表面积可以是（）

A.58兀B.487rC.507TD.5571

三、填空题

12.若直线4：2x+〃/〉+"7=o与直线/2：x+2y+l=0平行，则实数a=.

13.已知等差数列{%}（〃eN*）中q,a2,七成等比数列，％=13,贝！|%=.

14.已知抛物线少：/=2川，（-2,0）,2（2,0）,C（4,0）,过8的直线交少于N两点，若四

边形NMCN为等腰梯形，则它的面积为.

四、解答题

15.记V/8C的内角N,B,。的对边分别为a,b,c,已知，£=2"出:

sin42-cosA

(1)求4;

(2)若6=2,«SIIL4=fesinC,求V/BC的周长.

16.如图，四棱锥的底面/BCD为直角梯形，AD〃BC,AD=l,BC=3,乙4BC=45°,

△尸CD为等边三角形，平面P2C，平面尸CD,PB=y/i3,“为CQ的中点.

(1)证明：PM1ABCD；

(2)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.

22

17.若椭圆氏会+京;陋〉6〉。)过抛物线x?=4了的焦点，且与双曲线/-必=1有相同的

焦点.

(1)求椭圆E的方程；

一3

(2)不过原点O的直线/：y=x+:"与椭圆E交于48两点，当△048的面积为—时，求直线/

的方程.

18.已知函数/(x)=&^,g(x)=x2+ax-^-^-,^aeR).

⑴求证：

(2)过点(-1,-2)作直线I与函数/'(x),g(x)的图象均相切，求实数。的值；

(3)已知。＜4,若存在%e(0,+oo),使得成立，求实数。的最大值.

19.已知等差数列出用,电，…，4,…，若存在有穷等比数列人4也,…也,满足卅%%

其中笈=2,3,…,N,则称数列8为数列A的长度为N的“等比伴随数列”.

(1)数列｛%｝的通项公式为凡=8〃-5,写出数列｛%｝的一个长度为4的“等比伴随数列”；

(2)等差数列｛%｝的公差为d,若｛%｝存在长度为4的“等比伴随数列"｛2｝,其中6“=3"T,求d

的最大值；

⑶数列A的通项公式为。“=2〃-1,数列B:4也，…&为数列A的长度为N的“等比伴随数列”,

其中4=1,求N的最大值.

2024-2025学年湖北省武汉市高三上学期12月联考数学

检测试题

一、单选题

1.设全集U=R,集合N={x[l＜x＜4},集合8=,卜2-法＞0},则集合“0(”)=()

A.(1,2]B.(1,2)C.(0,4)D.[0,4)

【答案】D

【分析】先求集合8,求出为8,再与集合A求并集.

【详解】由不等式/一2》＞0,解得尤＜0或无＞2,••钟乂一s,0)u(2,+⑹，

”=[0,2],

故选：D.

2.中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因

是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”,也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化,

下列选项中是同一个函数的是()

x+1,x>-1

A.f(x)=Vx7,g(x)=xB./(x)=|x+l|,g(x)=

—x—Lx<—1

C.=g(x)=x-2D./(x)=l^ng(x)=x°

【答案】B

【分析】先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相

同，对应关系相同则是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数.

【详解】对于A,〃尤)和g(x)定义域均为R,y(x)=77=W，

故和g(x)定义域相同，对应关系不同，/(X)和g(x)不是同一个函数，故A错误;

x+l,x>-l

对于B,7(于和g(x)定义域均为R,/(x)=|x+l|=

—x_1,X<-1

故"X)和g(x)定义域相同,对应关系相同，/⑺和g(x)是同一个函数，故B正确;

对于C“X)定义域为何x，-2},g(x)定义域为R,

故〃x)和g(x)定义域不相同，〃x)和g(x)不是同一个函数，故C错误;

对于D,/(x)定义域为R,g(x)定义域为{x}x30},

故/'(x)和g(无)定义域不相同,“X)和g(x)不是同一个函数，故D错误;

故选：B.

3.在复平面内，复数z”Z2对应的向量分别是厉=(-2,3),砺=(3,-2),则复数对应的

Z1—Z2

点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

z11

【分析】写出4=-2+35=3-石，利用复数的四则运算法则计算出7^=-^-高i,确定

Z]—Z]21U

对应的点的坐标，得到答案.

【详解】由题意得4=-2+3i,Zz=3-2i,

Z[_3-2i_3-2i_(3-2i)(l+i)_3+2-2i+3i__J__J_•

2

贝"Z1-z2--2+3i-(3-2i)--5+5i--5(l-i)(l+i)--5(l-i)一一5一历、

对应的点为，位于第三象限.

故选：C

4.已知向量]满足忖=1,忖=3,卜+@=3,则/-0=()

A.vnB.VioC.3D.2

【答案】A

【分析】将卜+可,MT分别进行平方，借助2屋B的值联系起它们的关系，从而求解.

【详解】由题知，\s+b^^a2+2a-b+b2=9=I2+25-6+32,

则2鼠石=-1，

|a-Z；|2=a2-2a-&+P=l2-(-l)+32=11,

贝胴一小而.

故选：A

2

5.已知Q=log3().3,b=log57,c=0.3°,则()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bb<c<a

【答案】B

【分析】根据〃力，。与0」的大小关系比较即可

【详解】依题意得，tz=log30.3<log3l=0,

b=log57>log55=1,

C=0.302<0.3°=1,所以Ovcvl,

故a<c<b,

故选：B.

6.已知&sina=sina—，贝1Jcos2a+cos2a=

【答案】B

【分析】根据已知条件即可求得COS2a=；,代入即可求得.

【详解】由后sina=sin(a—q],贝(j

Vasina=sinl(sina-cosa),化简得cosa=-sina,

cos2a=—1,由]cos2-a+cos2a=c2cos2cr-1r+cos2a=—1.

故选：B

22

7.已知双曲线C：与-方=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为片，F2,点〃■在C的左支上，

过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为N,则当|%|+|融乂|取最小值10时，△耳N6面积

的最大值为()

25—50100

A.25B.—C.—D.—

【答案】B

【分析】先利用定义判断“，々，N三点共线时取最值计算得6+2a=10,再结合基本不等

式求得油的最大值，即得面积的最大值.

【详解】由题意得|吟|-|讶|=2°,故|峥|=|5|+2°,如图所示，

贝lj|Mf；|+|AW|=|MF；|+2a+|AW|2闺N|+2a=6+2°,当且仅当M,耳，N三点共线时取等

号，.•［融园+|MV|的最小值为6+2”10,

•*.10>2A/2OK,即当且仅当6=2。=5时，等号成立，

he

而大(-c,0)到渐近线6x+ay=0的距离片N=—=6,又0]=c,故ON=a,

c

i2525

•*-S^FINF2=2S^NO=2x-\NFl\-\NO\=ab<—,即△大叫面积的最大值为昼.

故选：B.

【点睛】关键点点睛:

本题解题关键在于利用双曲线的定义将\MF21+\MN\转移到|町I+|MN|+2a的最值，即可知三

点共线时去最值得到关系b+2a=10,才能再借用基本不等式求的面积的最值.

x-2a,x<0

8.设函数/(x)=若/（再）=/。2乂不＜%）,且2%一再的最小值为ln2,贝!］。的

Inx,x>0

值为（）

A.1B.一•也)口"丽D_£

2222

【答案】B

【分析】作出/(x)的大致图象，令/(%)=/(%)=7,结合图象得到f的范围，再将所求转化

为关于/的表达式，构造函数g«)=2e'T-2a,利用导数即可得解.

/、[x-2a,x<0/、

【详解】因为/(x)=]n，作出〃x)的大致图象，如图，

IULX<,人U

令/(再)=/(工2)=/，由图象可得,£(-8,-2旬,

因为王<%2，所以再一2q=，,lnx2=九即玉=看+2。,％2=d,

贝!]2%—再=2e'—2a,

令g«）=2e'-,-2Q/V-2Q,

则g⑺=21-1,令g'«）=0,解得％=-ln2,

当一2q4—ln2,即时，^<-In2,则g'«）KO,g（。单调递减,

则g（。而n=gG2o）=2e-2"=ln2,解得一二.山:"后）,符合；

2

In2

当-2a>-In2,即q<---时，

2

当,<-ln2时，g'«)<0；当一ln2</<-2a时，g'(%)〉0；

故g(。在(-8,-M2)单调递减，在(-1112,-2a)单调递增，

贝iJg(，)„m,=g(Tn2)=l+ln2-2a=ln2,解得。=g,不符合;

综上，.」(in码

2

故选：B.

【点睛】方法点睛：本题考查双变量问题的函数与方程的应用，解决这种题的常见方法是利用

换元法将变量转化为只有1个变量,注意利用数形结合考虑变量的取值范围.

二、多选题

9.下列选项中正确的是()

A.若a>b>0,则&>血B.若a?〉/,则

C.若a>b,贝!|—>—D.若a>b>c>0,贝!]---->—

baa+ca

【答案】AD

【分析】由不等式性质判断A,取特殊值判断BC,利用作差法判断D.

【详解】由不等式的性质知，a>b>0,则&>血，故A正确；

22

当a=T,6=0时，a>b,但。<6,故B错误;

当a=l,6=T时，a>b,但。<L故C错误；

ba

b+cb_ab+ac-ab-bc_

因为a>b>c>0,

a+caa(q+c)

b+cb(a-b\cb+cb

所以a—b〉0,a+c>0,所以-------=17―iv>0,即—>2,

a+caa(a+c)a+ca

故D正确.

故选：AD

10.函数/■(>)=—sg,5>(x)=3sin(a)x+|)(a)>0),若y=/(x)与y=g(x)在久e[0,2兀]

有且仅有4个交点，则下列3的取值可能是()

11137

A.0)=—B.a)=2C..&)=—D.,a)=-

663

ABC

TT

11.在边长为6的菱形48cA中，ZA=~>现将△48。沿3。折起到△P8D的位置，使得二

面角尸-AD-C是锐角，则三棱锥尸-BCD的外接球的表面积可以是()

A.58兀B.487rC.507rD.55兀

【答案】ACD

【分析】作出二面角的平面角，利用球的性质确定外接球球心位置，求出球的半径，再由角的

范围得出半径的范围，即可求出外接球表面积的范围.

【详解】如图，

7T

由菱形边长为6,=可知是边长为6的正三角形,

取8。的中点为连接贝"Af

所以NPMC是二面角尸-8D-C的平面角，

设NPMC=o[o<9<1^,外接球球心为0,

取E,F分别为PM,CM靠近M的三等分点，连接OE,OF,

则EO_L平面PAD,R9_L平面BCO,连接OC,（W,

因为MC=6x立=36,C尸=2MC^2/3,MF=-MC』,

233

n°F0「0

所以在Rt^OMF中，tan—=,即。尸=Wtan—=JJtan—,

2MF22

所以尺2=。。2=。尸2+c尸2=i2+3tan?—,

2

由0<0〈工，可知0<8<乙，所以0<tan22<1,

2242

故12<&2<15,所以S=4兀R?e（48兀,60兀）.

结合选项可知，ACD符合，B不符合.

故选：ACD

三、填空题

12.若直线6:2x+加与+加=0与直线4：x+2y+l=0平行，贝。实数/*=

【答案】-2

【分析】根据两条直线平行的系数关系列方程组计算求参即可.

【详解】因为直线4：2x+%2y+加=0与直线/2：》+2>+1=0平行,

=4

所以

w2m

所以加=±2,且次wO且加w2

所以加=-2.

故答案为：-2.

13.已知等差数列{%}（〃eN*）中q,a2,七成等比数列，％=13,贝！|%=.

【答案】25或13；

【分析】设公差为d,由已知条件求得外,d后，利用等差数列的通项公式可得结论.

【详解】设公差为d,因为q,出，4成等比数列，所以d=%&，

即（％+d>=%（%+5"）,所以"=0或d=3q,

若d=0,则%=%=13,

d=3ax,则〃5=%+4d=13%=13,6=1,d=3,ci9=1+8x3=25,

故答案为：13或25.

14.已知抛物线沙：/=2灰,/（-2,0）,B（2,0）,C（4,0）,过2的直线交少于跖N两点，若四

边形NMCN为等腰梯形，则它的面积为.

【答案】9百

【分析】解法一：由几何性质可知：匕=-2以，设直线〃乂为了="+2,联立方程结合韦

达定理可得%=4,即可得N（4,26），进而可求面积；解法二:根据题意结合二级结论可知

ZNAB=ZMAB,分析可知点M的横坐标为1,4NBC=60°,即可得结果.

【详解】易知M,N的位置交替不影响结论，不妨令图像如图所示以方便研究，

解法一：由等腰梯形的性质得：AABNS^BCM,相似比为|/同:怛C|=2,

所以％=-2打，

设直线MN为x=ty+2,;与抛物线方程联立，得必-2p（y-4p=0,

2

所以州+B=；笫=2Pt,yn-ym=-1x,=-4P,

2

解得州=7,代入x="+2得%=4,

又因为忸M=H同=4，由勾股定理可确定川4,26），

可得°=六=；，%=--=*，

2%2yn

所以NMCN为等腰梯形的面积为J/CHB-笫|=gx3ex6=9。；

解法二：（二级结论）

由题可知，点/、3关于抛物线顶点对称，且弦血W经过点2,

则NAC48=NM48,（二级结论）

又因为/MCN为等腰梯形，

所以4N〃CM,则N/CM=NM48,故即点M的横坐标为1,

又因为忸叫=忸。=2,所以/NSC=60。，

且忸陷=以邳=4,

所以AMCN为等腰梯形的面积为J/C卜\ym-y„\=^\MN\-sinZNBC=973；

故答案为：9。.

【点睛】方法点睛：在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的比例问题时，一般需利

用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横（纵）坐标的方程表示，

从而得到参数满足的数量关系，进而求解.

四、解答题

15.记V/BC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知吧C=至上如您C.

smZ2-cosA

（1）求4;

（2）若6=2,asirU=6sinC,求V/2C的周长.

【答案】（呜

(2)6

1兀

【分析】（1）由三角恒等变换得至lJcosN=],得到/=：；

JT

（2）由正弦定理和6=2,得到/=2c,由（1）知，/=；,由余弦定理得到方程，求出c=2,

进而。=2,得到三角形周长.

sinC2cosB+cosC

【详解】（1）由得,

sinZ2-cosA

2sinC-sinCcos/=2sin/cos5+sin/cosC，

即2sinC=2sin4cosB+sin/cosC+sinCcos/=2sin/cosB+sin(4+C),

故2sinC=2sin4cosB+sinB,

因为sinC=sin(^4+5)=sinCOSB+cosAsinB,

所以2sin力cos8+2cos/sin5=2sin/cos3+sinB,

BP2cosAsmB=sinB,

因为BE(Ojr),所以sinB>0,故cos4=g,

因为Ze(O,兀)，所以/=g；

(2)asinA=Z)sinC,由正弦定理得/=反，

因为b=2,所以〃2=2C,

由(1)知，4=丁，由余弦定理得cos/=1+C?一片=4+c?-2c

解得c=2,故/=2C=4,所以。=2,

所以VN3C的周长为a+6+c=2+2+2=6.

16.如图，四棱锥尸-/BCD的底面N8CD为直角梯形，AD〃BC,AD=1,BC=3,ZABC=45°,

△尸CD为等边三角形，平面P2C，平面尸CD,PB=5,M为CD的中点.

（1）证明：PM1ABCD；

（2）求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵画,

10

【分析】（1）由等边三角形三线合T得到尸M，CD,在直角梯形中通过已知边和角求得CD长,

由勾股定理得到依长，再由勾股定理逆定理得到尸C,结合面面垂直，得到平面

PCD,然后得到3CLPM,然后得证尸平面48C。；

（2）由（1）得到三条两两垂直的直线，以这三条线建立空间直角坐标系，写出点坐标和向量

坐标，从而求得平面尸的法向量的坐标，由x轴，平面尸CD直接写出平面PCD法向量，由

空间向量的关系求得面面角的余弦值.

【详解】（1）因为△尸CD为等边三角形，M为CQ的中点，

所以EM_LCD.

过A作』E_LBC,垂足为E,

因为底面N8CD为直角梯形，AD//BC,AD=1,BC=3,ZA8C=45°,

所以BE=AE=2,则CD=PC—2,

^PB=y/13^BC2+PC2=PB2,所以3C_LPC

因为平面P8C_L平面尸CD,且平面P8Cn平面尸CD=PC,BCu平面尸BC,

所以8C_L平面尸CD.

因为Wu平面尸CD,所以BC,尸A/.

又BCcCD=C,3C,CDu平面48CD,所以PAf_L平面48CD.

（2）由（1）可知，BC,CD,PM两两垂直，以M为原点，过M且平行于8c的直线为无轴,

MC,所在直线分别为＞轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则M（0,0,0）,^（1,-1,0）,5（3,1,0）,F（0,0,V3）,

益=（2,2,0）,AP=（-1,1,V3）

设平面PAB的法向量为记=（xfy,z）,

AB'm=2x+2y=0

则,令关=百，贝IJ而=（百，一也,2）,

AP-m=-x+y+V3z=0

由（1）可知，x轴，平面尸CD,不妨取平面PCD的法向量为力=（1,0,0）,

贝山cos（玩，力》\m-n\_V3_^0

|m|-|^rVw-lo"

故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为典.

10

22

17.若椭圆E:1T+==1（°>6>0）过抛物线x?=4了的焦点，且与双曲线/-y=1有相同的

焦点.

（1）求椭圆£的方程；

.3

（2）不过原点。的直线/：>=%+加与椭圆石交于48两点，当△043的面积为—时，求直线/

的方程.

丫2

【答案】⑴?+r=1

（2）x-y土道=0或》7±1=0

【分析】（1）根据抛物线和双曲线的焦点，结合椭圆的几何性质即可求解，

（2）联立直线于椭圆方程，根据弦长公式以及点到直线的距离公式，即可由面积求解.

【详解】（1）抛物线f=4.y的焦点为（0,1）

双曲线/-r=1的焦点为卜后,0）

b=l

依题意可得，「，贝！|〃2=62+。2=3,

c=<2

丫2

所以椭圆C的方程为土+产=1；

3

（2）根据题意,设/（再,必）,8（工2。2），

f+3y2=3

联立直线与椭圆方程，可得

y=x+m

消去歹并整理可得，4x2+6mx+3m2-3=0,

222

贝U±+X2=-芍A=36W-4x4（3m-3）=12（4-m）＞0,

由弦长公式可得,

又点O到直线AB的距离为d=上L=立

V1+12

2

依题意，令S、AOB=J12—3加2=：J—3(tn_2)+]2=j,

当且仅当/-2=±1,即〃?=±K或加=±1，此时均满足A=12(4-%2)>o,

VAOB的面积取得最大值为，此时直线I的方程为y=x±G或y=x±l

即尤-y土百=0或x-y±l=O

18.已知函数/(x)=T^,g(x)=x2+ax-,(aeR).

⑴求证：/(x)<x-1；

(2)过点(-1,-2)作直线/与函数〃x),g(x)的图象均相切，求实数。的值；

⑶已知。<4,若存在%e(0,+oo),使得/(Xo)Ng(Xo)成立，求实数。的最大值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)a=±1；

(3)-1.

【分析】(1)等价变形所证不等式，再构造函数，利用导数求出最大值即得.

(2)设出直线/与函数〃x)图象相切的切点，利用导数求出切线方程，再与y=g(x)联立结

合判别式求出。值.

(3)结合(1)的结论，按分类，借助导数讨论得解.

【详解】(1)函数〃x)=当的定义域为(0,+8),

X+1

不等式/(x)<x-1o21nx<x-l<^>21nx<x2-lolnx2<x2-l,

x+1

令〃(x)=lnx-尤+1,求导得"(无)=,-1,

当0<x<l时，//'(x)>0,当时，

函数”(X)在(0,1］上单调递增，在工+8)上单调递减，则〃(x)<"(l)=0,gplnx<x-l,

因此In/w/T,所以—1.

2(1+二山幻2(x+「xlnx),设直线/与函数〃x)图象相切的切点为

(2)依题意,y，(x)=

(X+l)2X(X+1)2

(/J(玉)))，

则切线/的方程为：”2(1+一7。)…)+粤,

x()(Xo+l)Xo+1

又直线/过点(--2),于是-2=3。+1％)H%+也彳

x°(Xo+l)Xo+1

即％---1-2Inx=0,令〃(x)=x-4+21nx,

整理得kT+2/lnXo=0,0

%x

12

求导得/(%)=1H---7H--->0,即〃(x)在(0,+8)上单调增，又〃⑴=0,因此/=1,

XX

y=x-1

切线/的方程为y=x-i,由/与函数g(x)的图象相切，得2Q+1，

y—x+ux--------

2

BPx2+(a—l)x------=0,于是A=(a—I)。+2(a—1)=0,解得°=土1,

所以实数。的值是±1.

(3)①当aVT时，/⑴=0,g(l)=-40,则*。，使/(尤。)2g(x。)，符合题意;

②当一1<a<1时，x2+ax-—y--(x-1)=尤2+(<7-l)x+~~，

A=(a-l)2-2(l-a)=a2-l<0,贝!jg(x)>x-l,又由(1)知，/(x)<x-1,

因此/(无)<g(x),不合题意；

③当14a<4时，令/(x)=2山x一/一q尤+。+]=21nA_工2+_L+a(_L_x),

x+12x+122

当时——x<0,«(--x)<——x,贝!J尸(x)W—x2+l-x<—Y<o

2222x+1

当0<x<一时，—x〉0,贝！]—x)<4(—x),

2222

则F(x)<?^nx_x2+—+2-4x=--x2-4x+—<—\nx-4x+—,

x+12x+1232

令9(x)=glnx—4x+：,求导得--4=3x),

323x3x

由9'(x)>0,得0<x<；时；由0(%)<0,得:<x<g时，

函数。（X）在（0,；）上单调递增，在（，；）上单调递减，

因止匕夕（x）V以3=gln=+!=7-：M3<0,即当iv0<4时，不合题意，

33366

所以。的最大值为-1.

19.已知等差数列…，。”，…，若存在有穷等比数列8：4也,…,如，满足瓦-『5%二4,

其中后=2,3,…,N,则称数列B为数列A的长度为N的“等比伴随数列”.

⑴数列｛«„｝的通项公式为%=8〃-5,写出数列｛叫的一个长度为4的“等比伴随数列”；

（2）等差数列｛4｝的公差为d,若何｝存在长度为4的“等比伴随数列”上｝,其中A=3"T,求d

的最大值；

（3）数列A的通项公式为6=2〃-1,数列8:［也，…也为数列A的长度为N的“等比伴随数列”,

其中4=1,求N的最大值.

【答案】⑴1,4,16,64（答案不唯一）

⑵8

⑶6

【分析】（1）根据“等比伴随数列”的定义选取等比数列验证即可；

（2）根据“等比伴随数列”的定义列出不等式组，两两联立然后求解出d的取值范围，则最大

值可确定；

%（2左一3）］「In（2左一31

（3）先分析左=2,左=3的情况，当及24时，将问题转化为“\\'”,

k-Yk-2

L」maxL」min

利用导数思想构造函数分别求解出对应最值，由此可确定出关于N的不等式，再通过构造关

于N的函数，分析其单调性和取值正负，从而确定出N的最大值.

【详解】（1）因为。0=8〃-5,所以%=3,。2=11冯=19,

因为1=%<4,4<?<16,16<%<64,所以数列1,4,16,64满足要求，

所以数列｛%｝的一个长度为4的“等比伴随数列”为1,4,16,64（答案不唯一）.

l<a｛<3

（2）由题意可知，b［444b24a24b3Ga34b4,所以<3«%+d«9,