2024-2025学年黑龙江省高二年级上册期中考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年黑龙江省高二上学期期中考试数学检测试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.直线3x+J^y+2=°的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D,150°

2.抛物线j=2x2的焦点坐标为（）

A.（1,0）B.（0,1）C.4,0）D.（0*

oo22

123

3.已知随机事件A,8满足尸（2）=5,尸（8）=1,尸（ZU8）=s，则P（/CB）=（）

4.已知双曲线C的一条渐近线方程为＞=2x,实轴长为4,则。的方程为（）

X2/X2/

二1B.二1

4161664

x22x222

=1或^———二二1D.=1或匕-二

T16416164

5.已知圆C:（x+l）2+（y+2）2=5,点/（2,2）,若直线ZM,ZN分别切圆。于M,N两

点，则直线的方程为（）

A.3x+4y+6=0B.3x+4y+7=0

C.4x+3y+6=0D.4x+3y+7=0

6.已知V4BC的两个顶点为力（—2,0）,5（2,0）,且/C,8C的斜率之积等于左优wO）,

则（）

A.当人=-1时，C的轨迹为直线（去掉A,8两点）

B.当左＜一1时，C的轨迹为双曲线（去掉A,2两点）

C.当—1〈左＜0时，C的轨迹为椭圆（去掉A,8两点）

D.当左＞0时，。的轨迹为抛物线（去掉A,B两点）

31

7.某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点，且离心率为一的椭圆.设地球半径为R,若其

近地点离地面的距离为LR,则远地点离地面的距离为（）

3

323529

A.—RB.—RC.12RD.—R

333

2222

8.已知椭圆G：土+土=1（加〉2）与双曲线—土=1（〃〉0）有公共的焦点片、F2,

m2n2

尸是G和G的一个公共点，则|所+炽|=（）

A2y[mB.C.2J加+2D.2J〃+2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在平面直角坐标系X0V中，已知点4（—2,0）,5（2,0）,尸是一个动点，则（）

A.若归H+\PB\=6,则点尸的轨迹为椭圆

B.若怛/|—|必|=2,则点P的轨迹为双曲线

C.若|莎+而|=|百-而则点P的轨迹为直线

D.若|西卜2归耳，则点P的轨迹为圆

10.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次，每次取

一个球.事件"第一次取出的球的数字是1"，事件N="第二次取出的球的数字是2"，事

件尸="两次取出的球的数字之和是8"，事件。="两次取出的球的数字之和是7"，则（）

A./与P互斥B.尸与0互斥C.N与尸相互独立D.M与。

相互独立

11.已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为/，准线为/.设过/且倾斜角为60°的直线与

。交于A,B两点,过A作Z4，/，BBJI,垂足分别为4和4，4F，耳厂与》轴

分别交于点M,N,AM与BN交于前P,则（）

A.M为&F的中点B.AXFHBNC.\AXP\=^B,P\D.

附=平。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知圆C:（x—2>+（>+1）2=13,则过点（3,1）的圆C的最短弦所在的直线方程为

13.已知椭圆C：三+二=1（。〉6〉0）的左、右焦点分别为片，F2,长轴长为16,过用且

ab~

\MFA3

斜率为6的直线与。在第一象限交于点M，且匕升=£，则6=

必用5

14.已知抛物线=2px（,〉0）的焦点为E,P（%o，yo）是抛物线E上异于原点。的一点，

过点P且斜率为二的直线/与x轴交于/点，与〉轴交于N点，则/跖\户=

y0

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4）玩游戏，他们将扑克

牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.

（1）写出甲、乙抽到牌的所有情况；

（2）若甲抽到红桃3,则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？

（3）甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公

平？为什么？

16.已知圆C:x?+y2-2x-2y—2=0.

（1）求过点/（3,-2）与圆。相切的直线方程.

（2）求过点8（-6,-3）与圆C相交且弦长为2G的直线方程.

17.已知椭圆°：W+，=1伍〉6〉0）的左焦点为/，离心率为g,且C经过点

（1）求C的方程；

（2）已知是椭圆内一点，过点M任做一条直线与椭圆交于8、C两点，求以/为

中点的弦所在的直线方程.

22

18.己知4（2,0）和P（4,3）为双曲线C:表—台=1（。〉0,6〉0）上两点.

（1）求双曲线C的标准方程;

(2)求双曲线。的离心率及渐近线方程；

(3)若过P的直线/交。于另一点B,且0的面积为6,求/的方程.

19.已知动圆0经过点尸(1,0)且与直线x=-l相切，记圆心。的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设过点E且斜率为正的直线/交曲线。于46两点(点A在点8的上方)，48的中点

为M,

①过M8作直线x=—1的垂线，垂足分别为陷,耳，试证明：AM,//FBX；

②设线段48的垂直平分线交x轴于点尸，若△£口〃的面积为4,求直线/的方程.

2024-2025学年黑龙江省高二上学期期中考试数学检测试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.直线3x+J^y+2=°的倾斜角为()

A.30°B.60°C.120°D,150°

【正确答案】C

【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算可得.

【详解】直线3x+岛+2=0的斜率左=-e=-6,设倾斜角为

则tana=—6，又0^£a<180，所以a=120°.

故选：C

2.抛物线j=2x2的焦点坐标为()

A.(1,0)B.(0,1)C.4,0)D.(O2)

oo22

【正确答案】B

【分析】根据抛物线的标准方程即可求解.

【详解】由y=2/可得/=2_了，所以焦点为(0,，)，

28

故选：B

123

3.已知随机事件A,8满足尸(2)=5,尸(8)=1,P(A\iB)=-,则P(/cB)=()

i331

A.-B.—C.—D.一

51083

【正确答案】B

【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质列式计算即得.

【详解】：尸(2。8)=尸(2)+尸(8)—尸(/门8),

1233

P(Zc8)=尸(Z)+^)-^05)=-+

故选：B.

4.已知双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,实轴长为4,则C的方程为（）

A一IBx-1

4161664

2222222

C.二-匕=1或匕-12=1D.匕—匕=1或匕_匚=1

4164416164

【正确答案】C

【分析】根据双曲线。的焦点位置设出方程，由渐近线方程及实轴长列出的方程，求解

即可.

22

【详解】当双曲线C的焦点在X轴上时，方程为二—4l(a>0,b>0),

a2*4b2

•・•渐近线方程为V=2x,实轴长为4,

••.2=2且2a=4,解得。=2,6=4,

22

•••C的方程为土-匕=1.

416

当双曲线c的焦点在＞轴上时，方程为《

1(。>0,6>0),

・・,渐近线方程为y=2x,实轴长为4,

a

.•.—=2且2a=4,解得。=2,6=1,

••.C的方程为匕—炉=1.

4

222

综上，。的方程为二一匕=1或匕—，=1.

4164

故选：C.

5.已知圆C:（x+iy+（y+2）2=5,点/（2,2）,若直线ZM,ZN分别切圆。于M,N两

点，则直线W的方程为（）

A.3x+4y+6=0B.3x+4y+7=0

C.4x+3y+6=0D.4x+3y+7=0

【正确答案】A

【分析】根据题意可知直线为圆C和以ZC为直径的圆的公共弦，求出以ZC为直径的

圆，即可求出结果.

【详解】因为直线ZM,ZN分别切圆C于M,N两点，

所以CA/，ZM,CN，ZN,

所以点M,N在以ZC为直径的圆上.

因为C（—1,—2）,幺（2,2）,

所以以/C为直径的圆的圆心为,

半径为遇MC|=；xJ（—1—26（—2-2）2、,

125

故以ZC为直径的圆的方程（X—］）2+/=1，即x2+y2—X—6=0,

又圆C:（x+l）2+（y+2）2=5,即x?+y2+2x+4y=0,

两圆方程相减得3x+4y+6=0,

所以直线的方程为：3x+4v+6=0.

故选：A.

6.已知VN8C的两个顶点为力（一2,0）,5（2,0）,且/C,8C的斜率之积等于左（左w0）,

则（）

A.当左=-1时，C的轨迹为直线（去掉A,B两点）

B.当左＜—1时，C的轨迹为双曲线（去掉A,8两点）

C.当一1〈左＜0时，C的轨迹为椭圆（去掉A,B两点）

D.当人＞0时，C的轨迹为抛物线（去掉A,8两点）

【正确答案】C

【分析】设C（x,y）,由条件求出。的轨迹方程，根据左的取值范围确定轨迹的形状即可.

【详解】设C（x,y），由ZC,的斜率之积等于左（左彳0）,

得^——J=k,即工—匕=1（XW±2）,

x+2x-244k'7

当左=—1时，方程为Y+J?=4（］w±2）,

・・・。的轨迹是圆（去掉A,3两点）,故A错误；

22

当上<—1时，方程为土+工=1（xw±2）,且—4人〉4,

4-4人

；.C的轨迹为椭圆（去掉A,2两点），故B错误；

22

当—1<k<0时，方程为二+上一=1（XH±2）,且o<—4上<4,

4-4k

；.C的轨迹为椭圆（去掉A,8两点），故C正确；

22

当后>0时，方程为土—匕=1（xw±2）,且4k>0,

44k

的轨迹为双曲线（去掉A,B两点），故D错误.

故选：C.

31

7.某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点，且离心率为一的椭圆.设地球半径为R,若其

39

近地点离地面的距离为工尺，则远地点离地面的距离为（）

3

323529

A.—RB.—RC.12RD.—R

333

【正确答案】A

【分析】根据椭圆的性质列式求解.

【详解】由题意知a—c—R=—氏且£=一，解得。=上氏，c=—R,

3a3926

133132

则远地点离地面的距离为a+c—R=—R+—R—R=——R.

263

故选：A.

8.已知椭圆G：土+土=1(掰〉2)与双曲线。2：土—土=1(〃〉0)有公共的焦点片、耳,

m2n2

尸是G和的一个公共点，则|可+庵|=()

A.2y[mB.I4nC.2，加+2D.2J〃+2

【正确答案】D

【分析】由条件结合椭圆与双曲线的定义可得尸々，尸石，然后由向量的运算求解|两+配|

即可.

【详解】由椭圆的定义得|P片|+|尸乙|=2而，

1)2=4加，BP|P^|2+|P^|2+2|P^||PF.\=4m①，

(]PFX\+\PF2

由双曲线的定义得11尸耳-14y=2M，

2

.-.(\PFi\-\PF2\)=4n,即I尸耳2+1尸耳「一2|尸耳|「鸟|=4〃②，

由①②解得|尸印2+1%]=2(〃[+〃),

又由题意知/二加―2，c2=n+2＞可得2c2=〃?+〃，

|P/讦+|/第「=公2,而比己『=4c2,

.•.|尸耳『+|尸乙『=|片巴「，则尸片，尸鸟,

又：。为公鸟的中点,

|两+至1=12Pd\=2\PO\=2x^\FyF21=2c=2yjm-2=2y]n+2.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在平面直角坐标系xOy中，已知点4(—2,0),5(2,0),尸是一个动点，贝U()

A.若|24|+|必|=6,则点P的轨迹为椭圆

B.若忸国—|必1=2,则点尸的轨迹为双曲线

c.若|苏+而1=1万-而则点尸的轨迹为直线

D.若|莎|=2|而则点尸的轨迹为圆

【正确答案】AD

【分析】根据椭圆的定义判断A,根据双曲线的定义判断B,可得百.而=0,即可判断C,

设P(X,y),由距离公式推出轨迹方程，即可判断D.

【详解】对于A：1PH+|P8|=6>HM，则点P的轨迹为以A、B为焦点的椭圆，故A正

确;

对于B：|尸闻-「a=2<|48],则点P的轨迹是以A、8为焦点双曲线的右支，故B错误;

对于C：由，幺+尸川=。4一必卜可得西.而=0,

则点P的轨迹是以48为直径的圆，故C错误;

对于D：设P(xj),由忸鼻=2|而则J(x+27+y2=21x—2『+月,

即I/—T]+^2=y,所以点尸的轨迹为圆，故D正确.

故选：AD.

10.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次，每次取

一个球.事件M="第一次取出的球的数字是1"，事件N="第二次取出的球的数字是2"，事

件尸="两次取出的球的数字之和是8"，事件。="两次取出的球的数字之和是7"，则（

A.Af与P互斥B.尸与。互斥C.N与尸相互独立D.M与。

相互独立

【正确答案】ABD

【分析】列举出基本事件，再根据互斥事件及相互独立事件的定义判断即可.

【详解】依题意从中有放回地随机取两次球，则可能结果有：

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,

（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,

（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,

（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）,共36个结果.

事件M包含的基本事件有：（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）共6个;

事件N包含的基本事件有：（1,2）,（2,2）,（3,2）,（4,2）,（5,2）,（6,2）共6个;

事件尸包含的基本事件有，（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）共5个;

事件。包含的基本事件有：（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共6个；

对于A：显然事件M与事件尸不可能同时发生，所以/与尸互斥，故A正确；

对于B：事件尸与事件。不可能同时发生，所以尸与。互斥，故B正确;

对于C：因为尸（N）=t=；,尸（P）C，P（NP）=9P（N〉P阴，

3003030

所以N与P不独立，故C错误;

对于D：因为尸（"）=《=:，P（0）=!=J,p（M0）=2=p（M）P（0）,

JooJoo36

所以M与。相互独立，故D正确.

故选：ABD

11.已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为/，准线为/.设过尸且倾斜角为60°的直线与

。交于A,8两点，过A作Z4，/，BBJI,垂足分别为％和与，A}F,男尸与〉轴

分别交于点M,N,AM与BN交于点、P,则（）

3

A.河为2尸的中点B.A.F//BNC.\AXP\=^\BXP\D.

\PF\~P

【正确答案】ABD

【分析】A：根据。为抄'中点以及（W//4b'进行分析；B：先证明2/，8尸，然后证

明8NL耳/，由此可判断选项；C：联立直线与抛物线求解出48坐标，由此可分析出M,N

坐标，表示出直线的方程，联立可得P坐标，据此计算并判断；D：根据P,R的坐

标计算并判断.

【详解】设准线与x轴交于/'，不妨设A在x轴上方，8在x轴下方，如图所示，

对于A：因为|%=|0/］林，所以。为次中点，

因为。WV/4/'，所以M为4尸的中点，故正确；

对于B：因为Z4=4F，/4//EE'，所以NPF4=,所以

ZF'FA,=-ZF'FA,

12

因为AS】=BF,BBJIFF',所以AF'FB,=NBB/=ABFBX,所以ZF'FB^=^ZF'FB,

11兀

所以4F户4+NFFBi=Q/PFA+-ZF'FB=-,所以2/，8/，

由A选项，同理可证N为耳尸的中点，

又BB、=BF,所以所以A〔F//BN,故正确;

y2=2px

,解得X二垩或

对于C：设力。1）1）方（比2〃2），1/B

y=2

p

x=—,

6

所以心号=-3^X+2）即配

T

[6MpP

[X+x=-----(

2_p_百,、

联立＜r—，解得＜i-，所以「且尸在准线上,

6p<3p2'

y——yJ3x—y=------I

~6~13

所以14Pl=岛—早=胃旦,冏尸卜孚+孚=与£，所以14Pl=\B,P\,故错误;

对于D：因为一方半［呜，。］,所以小=j/-r+j?-oj=字,

故正确；

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知圆C:(x-2)2+5+11=13,则过点(3,1)的圆C的最短弦所在的直线方程为

【正确答案】x+2y-5=0

【分析】设点尸(3,1),则最短弦过点尸且与PC垂直，根据两直线垂直时的斜率关系及点斜

式方程求解.

【详解】由题意知，圆C(2,-1),设点尸(3,1),最短弦过点P且与PC垂直，

-1-11

因为左PC=5互=2,所以最短弦所在直线的斜率左=-5，

所以最短弦所在的直线方程为y-1=-：(x-3),即x+2y-5=0.

故x+2y-5=0.

22

13.已知椭圆C：*+===l(a〉b〉0)的左、右焦点分别为《，K，长轴长为16,过月且

ab

\MF\3

斜率为G的直线与c在第一象限交于点且2匕则6=

I耳为5

【正确答案】4百

\MF,\3

【分析】先利用直线的斜率求出/儿行；大，再由廿7弓==及椭圆定义求出及，

I片引5

最后利用余弦定理即可求得结果.

[详解】；直线F2M的斜率6，,tanZMF.F,=-百，

2兀1

-：0<ZMF2FX<TI9：.AMF2FX=—,：.COSZMF2FX=--,

\MF?\36

.•.局\F^lc,：.\MF2\=-C,

\MF}\+\MF2\=2a=16,|A/f]|=16—-jc,

在AF[F2M中，由余弦定理得|即F=|初/+1^12-2\MF2\\F]F2IcosZMFF1，

即116-gc]=]gcj+4c2-2xjcx2cx^-

整理得c?+6c-40=0,解得c=4或c=-10（舍）.

所以b=yja2-c2=A/82-42=4^3•

故4技

14.已知抛物线=2px（p〉0）的焦点为歹，P（x（）,yo）是抛物线E上异于原点。的一点,

p

过点P且斜率为二的直线/与x轴交于初点，与〉轴交于N点，则NMVF=

为

【正确答案】90°

【分析】设出直线/的方程，求得M,N,E坐标，计算可得丽.而=（）,即可得解.

【详解】「（%,%）是抛物线E上异于原点O的一点，则/=22%（%W0）,

由题意知，直线/的方程为y-%=±（x-x（））,

y0

即y—^0=二。一普），即^=上》+亭,

Jo2Py02

所以/（—T；,O）,N（O，T）,尸（g,0）,

所以丽7=（―1，—修）,而=（g—―）,

所以两•标=（—支）x£+丛X区=0,

2p222

所以而7_1_而，即NMNF=90°,

故90。.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4）玩游戏，他们将扑克

牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.

（1）写出甲、乙抽到牌的所有情况；

（2）若甲抽到红桃3,则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？

（3）甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公

平？为什么？

【正确答案】（1）答案见解析

2

（2）-

3

（3）游戏不公平，理由见解析

【分析】（1）由题意写出所有抽牌情况即可；

（2）由古典概率计算即可；

（3）找到甲抽到的牌的数字比乙的大的情况，再由古典概率计算，比较大小即可；

【小问1详解】

分别用2,3,4,4'表示红桃2,红桃3,红桃4,方片4,

则甲、乙抽到牌的所有情况为

（2,3）,（2,4）,（2,4）,（3,2）,（3,4）,（3,4）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（412）,（413）,（4,4）,共12

种不同的情况.

【小问2详解】

甲抽到红桃3,乙抽到的只能是红桃2,红桃4,方片4,

因此乙抽到牌的数字比3大的概率是2,

3

【小问3详解】

甲抽到的牌的数字比乙的大,有（3,2）,（4,2）,（4,3）,（4',2）,（4',3）,共5种情况,

57

因此甲胜的概率为一，乙胜的概率为一.

1212

57

因此一<一，所以此游戏不公平.

1212

16.已知圆Cix2+y?—2x—2y—2=0.

（1）求过点/（3,-2）与圆。相切的直线方程.

（2）求过点8（-6,-3）与圆C相交且弦长为2G的直线方程.

【正确答案】（1）5x+12y+9=0或x=3

（2）3x-4>+6=0或5x-12y-6=0

【分析】（1）分直线斜率存在和不存在，利用圆心到直线的距离等于半径列式求解;

（2）由弦长求得圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式求解.

【小问1详解】

•圆C:_2）—2=0,即（％-1]+（y—I]=4,

圆心半径外=2,

当直线斜率存在时，设直线y+2=k（x—3）,即府—y—3左—2=0,

/\7\k—\—3k—215

圆心c(l,1)到直线的距离d=J_口—1=r=2,解得左=—三

\k+112

此时直线方程为5x+12j+9=0,

当直线斜率不存在时，直线方程为x=3,此时直线与圆相切,

综上，所求直线方程为5x+12y+9=0或x=3.

【小问2详解】

过点8（—6,—3）与圆C相交且弦长为26，

..•圆心C（l,l）到直线的距离d==J口=1,

当直线斜率不存在时，方程为x=-6,圆心c（l,l）到直线的距离为7,不合题意；

•■.直线斜率存在，设直线方程为歹+3=k（x+6）,即Ax—y+64—3=0,

/\7\k-1-\-6k—3|

；圆心。（1,1）到直线的距离d=J—-^=~L=1,

35

整理得48后2—56左+15=0，即（4左一3）（12左一5）=0,解得左或左=石，

...所求直线方程为3x-4>+6=0或5x-12y-6=0.

17.已知椭圆。：£+’=1伍〉/?〉0）的左焦点为/，离心率为：，且C经过点■:

（1）求C的方程；

（2）已知是椭圆内一点，过点M任做一条直线与椭圆交于3、C两点，求以M为

中点的弦所在的直线方程.

22

【正确答案】（1）土+匕=1

43

(2)3x+2y—4=0

【分析】（1）依题意得到关于。、b、c的方程组，求出力、即可求出椭圆方程;

（2）设5（国,%），C（x2,y2）,利用点差法求出中点弦的斜率，再由点斜式计算可得.

【小问1详解】

/=4

19解得k2=3,

依题意可得＜f+4/=L

C=1

c2=a2-b2

所以椭圆方程为二+亡=1;

43

【小问2详解】

根据题意得中点弦的斜率存在，且M在椭圆内,

设8（石,乂），C（x2,j2）,

2222

所以'+』L=l,互+生=1,

4343

两式作差得任*区-2)+口*-上=o，

43

由于是8c的中点，故芭+%=2,凹+%=1，

所以3+中•二=。，

43/一马

所以;+；,矶=0,所以怎《二一弓,

NDL

i3

所以中点弦的方程为^一5=-5(》—i),

所求的直线方程3x+2v-4=0.

22

18.已知/(2,0)和尸(4,3)为双曲线。:表一方=1(°>0,6>0)上两点.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)求双曲线C的离心率及渐近线方程；

(3)若过尸的直线/交。于另一点8,且尸的面积为6,求/的方程.

22

【正确答案】(1)-匕=1

43

(2)离心率为也，渐近线方程为y=±也x

2-2

（3）%=4或9、一10y一6=0或x-2y+2=0或3x-4y=0

【分析】（1）将两点坐标代入双曲线方程，解方程组求出。力,即得答案;

（2）根据双曲线的离心率公式与渐近线的方程求解；

（3）求出直线/尸的方程，及8点到直线N尸的距离d,设5（加,〃），根据条件列出方

程组，求出加，〃得点8的坐标，进而可求直线/的方程.

【小问1详解】

22

•.•/（2,0）和「（4,3）为双曲线。：会一%=1伍〉0,6〉0）上两点，

4,169,广

=1且不一”=1，解得a==

aab

22

.••双曲线C的标准方程为---匕=1.

43

【小问2详解】

a=2,b=A/3,c--xja2+b~—>/7,

.♦•双曲线。的离心率为e=-=-1渐近线方程为y=土也x.

a22

【小问3详解】

a

•.•/（2,0）和P（4,3）,.•.左心=三，

3

**.直线AP的方程为y=—（X—2）,即3x—2y—6=0,

\AP\=J（4-2j+（3-0）2=屈,

又&点到直线AP的距离为d,

S^ABP=-x\AP\xd=-x^l3xd=6,：.d=^^,

2213

\3m-2n-6\12V13

3m-2n-6=±12

13

设5（加,BPm2〃2

-----二1

143

3加一2〃一18二03加一2〃+6=0

1m2n2或J加2“2,

-।---------~।

〔43---------------〔43

m=4[