2024-2025学年高二年级上册期末复习：数列 十一大题型归纳（基础篇）（含答案）

2024高二上学期期末复习第四章十一大题型归纳（基础篇）

【人教A版（2019）］

4根据数列的前几项写出数列的一个通项公式

（2023下.高二课时练习）数列二一北匕…的通项公式为（

2.（2023上•吉林长春•高二校考期末）在数列1,2,V7,V10,…中，V7U是这个数列的（）

A.第16项B.第24项C.第26项D.第28项

3.（2023下•高二课时练习）写出下面各数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数.

（1）—3,0,3,6,…；

（2）4,—4,4,-4,…；

（3）1,0,1,0,…；

2222

Z.X2-13-14-15-l

4.（2023下.高二课时练习）写出下列数列的一个通项公式.

（1）038,15,24,…;

（2）1,-35-7,9,…;

22-232-342-4

1017

(4)1,11,111,1111,....

题型2X数列的单调性的判断

1.(2023下•广西桂林•高二统考期末)数列｛即｝的通项公式为与=n2+kn,那么">-1”是“｛与｝为递增

数歹！J”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

n

2.(2023下•北京怀柔•高二统考期末)数列｛厮｝的通项公式为an=(n-A)-2(n=1,2,-),若｛厮｝是递增

数列，贝IU的取值范围是()

A.[1,+00)B.(1+log2e,3)

C.(-oo,1+log2e]D.(—oo,3)

3.(2023上•湖北襄阳•高二校考期末)已知数列｛即｝的通项公式为an=l+^(nGN*).

(1)判断数列｛即｝的单调性，并证明你的结论；

(2)若数列｛册｝中存在%=71的项，求n的值.

4.(2023下•上海虹口•高一上外附中校考期末)己知数列的前n项和%=2n2-n+l.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

n

(2)若5=an+2023n-2,求数列｛6„｝的最大项是该数列的第几项；

n

(3)若“=2(an-k)-nan,且数列｛5｝是严格递增数列，求实数k的取值范围.

题型3卜等差数列的基本量的求解

1.(2023上•云南•高二统考期末)已知数列｛%｝是等差数列，且a2+a14=50,a6=19,则为=()

2.(2023下•江西•高二统考期末)在x和y两个实数之间插入n个实数的,a2,a3,-,an,使数列

□，^，(^，^^，…，^，丹为等差数列，那么这个数列的公差为()

3.(2023上•新疆喀什•高二校考阶段练习)在等差数列｛an｝中,

(1)已知的=-1,公差d=4,求期；

(2)已知公差d=-±47=8,求的；

4.(2023上•高二课时练习)在等差数列｛厮｝中,

(1)已知的=—1,d=3,求的0；

(2)已知以=4,a8——4,求d；

(3)已知的=1,d=3,an=2017,求机

等差数列的通项公式

1.(2023上•河南三门峡•高二统考期末)若数列｛册｝满足的=2,an+1-an=1,则数列的通项公式为

CL-fi=()

A.n2+1B.-TI+3D.n+1

2.(2023上•山东济宁•高二统考期末)己知数列｛厮｝为等差数列且的＞0,数列｛/二｝的前几项和为默，

则a九=()

A.n+1B.九十2C.2n-1D.2n+1

3.（2023上•山东青岛•高二校考期末）已知数列｛厮｝中，的=1,厮+1=^^

（1）求证：数列｛^｝是等差数列;

（2）求数列｛an｝的通项公式.

4.（2023上•广东东莞•高二校考期末）已知数列中，a=2,a=2-

rn+1an

（1）证明数列｛油｝是等差数列，并求通项公式厮；

（2）若对任意neN*,都有诏•谓•退…吗Wk-2n成立，求k的取值范围.

由等差数列的前〃项和求通项公式。|

1.（2023下•宁夏吴忠・高一校考期中）已知数列｛厮｝的所有项均为正数，其前几项和为S,且%=；磷+；即-

n42

，.则的通项公式为（）

A.an=2n—1B.an=2n+1

C.an=4n—1D.an=4n+1

2.（2022下•河南•高三校联考阶段练习）已知均为等差数列的｛a"与也｝的前〃项和分别为Sn,6且含=篝

则詈詈的值为（）

b2+b10

3.（2023下•四川雅安•高一统考期末）已知S“是等差数列的前n项和，且％=-2声+15九

（1）求数列｛&J的通项公式；

（2）n为何值时，S”取得最大值并求其最大值.

4.(2023上•湖南衡阳•高二校考期末)已知数列的前〃项和Sn="一4九，nEN*.

(1)证明：数列是等差数列；

(2)已知6n=求数列｛5｝的前n项和.

anan+l

等差数列前〃项和的性质。I

1.(2023下•江西吉安・高二统考期末)记为为等差数列｛a"的前n项和，S2=4,S6=18,则S4=()

A.8B.9C.10D.11

2.(2022・贵州毕节・统考模拟预测)等差数列｛an｝的前n项和为%,若翦=翦+1且%=3,贝女)

A.an=2n+1B.an=n+1

22

C.Sn=2n+nD.Sn=4n—n

3.(2023・高二课时练习)设两个等差数列｛aj也｝的前n项和分别为％、T,已知金=笔，求詈的值.

nrn九+3“5

4.(2022.高二课时练习)设等差数列｛册｝的前〃项和为％.

(1)已知。6=10'S5=5,求$8；

(2)已知S4=2,S9=-6,求S12；

(3)已知。2+。4+。6=—3,。3++。7=6,求$20；

(4)已知S3=6,S6=-8,求S9.

等比数列的基本量的求解。I

1.（2023上•黑龙江牡丹江•高二校考期末）在等比数列｛an｝中，口3=2,a4=4,则首项等于（）

A.2B.1C.-D.-

23

2.（2023下•云南保山•高二统考期末）已知首项为1的等比数列｛%J满足的，。3，。4-2成等差数列，则公比

q=（）

A.—B.——C.2D.—2

22

3.（2023上•高二课时练习）已知数列｛时｝为等比数列.

（1）若％=3,q=—2,求。6；

（2）若=20,a6=160,求的和q；

（3）右质一的=15,%—=6,求的.

4.（2023上•山东济宁•高三校考阶段练习）（1）已知等差数列｛厮｝的通项公式为册=2九-1,求首项的和

公差d.

（2）已知等比数列｛即｝的通项公式为%=3x2"-3,求首项由和公比q.

等比数列的通项公式。I

1.（2023上•湖南岳阳•高二校考竞赛）在数列｛aj中，的=1,即+1=2a„+2,则与为（）

A.3X2n-1B.3X2n-1-2C.4X2n-1-3D.2n-1

2.（2023上•吉林长春•高二校考期末）已知数列｛5｝满足的=1,an+r=2an+3,则。9=（）

A.29—3B.29+3C.210-3D.210+3

3.(2023上•吉林长春•高二校考期末)已知数列｛时｝是首项%=2,%=16的等比数列，设篇=log2Moe

N*).

⑴求数列｛g｝的通项公式；

(2)记”=——，求数列｛c九｝的前71项和立.

bn"n+l

4.(2023上•河北邢台•高二校联考阶段练习)已知｛an｝是各项均为正数的等比数列，的=3,3a3=5a2+36.

(1)求｛%J的通项公式；

(2)设篇=log3an,求数列｛篇｝的前几项和.

由等比数列前〃项和求通项公式。|

1.(2023下•安徽宣城•高二统考期末)等比数列｛。九｝的各项均为实数，其前几项和为%,已知S3=7,S6=63,

则即=()

A.4B.16C.32D.64

2.(2023下•河南南阳•高二校联考期末)已知等比数列｛an｝的前几项和为%,a2=4,3T=8,则与=()

A.16B.8C.6D.2

3.(2023•全国•模拟预测)已知等比数列｛时｝的前71项和为％,S3=3a3=3,各项均为正数的数列仍"的前几

项和为心，满足4*=4律+成.

(1)分别求数列｛时｝和｛勿｝的通项公式;

(2)求数列｛斯+“｝的前n项和.

4.(2023•全国•模拟预测)已知正项数列｛%J的前〃项和为土，且满足且=2皿-1.

an

(1)证明：数列｛an｝为等比数列；

(2)若%—a?=；,垢=三与，数列｛%｝的前"项和为与,证明：l<Tn<l.

45715rl+i3

题型10k等比数列前“项和的性质

1.(2023・全国•统考高考真题)记%为等比数列的前〃项和，若S4=—5,S6=21S2,则S&=().

A.120B.85C.-85D.-120

2.(2023上•陕西宝鸡・高三统考阶段练习)已知等比数列｛厮｝中，%=1,%+%+…+。2l+1=85,a2+

。4+—Ha2k=42,贝必=()

A.2B.3C.4D.5

3.(2022•高二课时练习)在等比数列｛a九｝中，Q=|,5100=150,求g+。4+。6------的值•

4.(2023上・安徽•高三校联考阶段练习)记%为等比数列的前〃项和，Si8=7s6.

(1)若12=12,求S24的值；

(2)若$6>0,求证：51671+6>2s6Tl.

数学归纳法的证明步骤

1.(2023下•北京房山•高二统考期末)用数学归纳法证明(1+1)(2+2)(3+3)-(n+n)=2n-\n2+n)(nE

N*),从n=k到n=k+1,左边需要增加的因式是()

A.2k+1B.2(k+l)C.+1)D.(k+l)(k+l)

2.(2023下•上海•高二期末)用数学归纳法证明(n+l)(n+2)-(n+n)=2"-1-3-(2n-1),从k到k+1,

左边需要增乘的代数式为()

A.2k+1B.2(2k+l)C.—D.—

'7k+1k+1

3.(2023・高二课时练习)用数学归纳法证明/■(>)=1+打打…+击(门是正整数)的过程中，从n=k到

n=k+l时，请写出/(k+1)比/(£)所增加的项.

4.(2023上•高二课时练习)请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误.

(1)设为正整数，求证：2+4+6+—F2n=n2+n+1.

证明：假设当n=k(k为正整数)时等式成立，即有2+4+6+…+2k=l+k+l.

那么当n=k+1时，就有2+4+6+,,,+2k+2(k+1)=+k+1+2(k+1)

=(k+1)2+(k+1)+1.因此，对于任何正整数n等式都成立.

(2)设n为正整数，求证：1+2+22+...+2“-1=2”—1.

证明：①当71=1时，左边=1,右边=1,等式成立.

②假设当几=k(fc>1,k为正整数)时，等式成立，即有l+2+22+...+2J=2k—l,

那么当n=k+1时，由等比数列求和公式，就有1+2+22+...+221+2k=丝0二”=2丘1一1,等式

1—2

也成立.

根据(1)和(2),由数学归纳法可以断定1+2+22+...+2，一】=2"—1对任何正整数71都成立.

2023-2024学年高二上学期期末复习第四章十一大题型归纳（基础篇）

【人教A版（2019）］

4根据数列的前几项写出数列的一个通项公式

1.（2023下•高二课时练习）数列0,-£|,一也|,…的通项公式为（）

A.厮=（一以.冷

B.“（T产黑

C.”（T尸黑

D.

【解题思路】根据规律求得数列的一个通项公式，从而确定正确答案.

【解答过程】数列0,-］彳,一|,|

Hnl-12-13-14-15-1

1+1'2+1'3+1'4+1'5+1'

所以数列的通项公式可以为an=•

故选：C.

2.（2023上•吉林长春•高二校考期末）在数列1,2,V7,V10,V13,…中，彷是这个数列的（）

A.第16项B.第24项C.第26项D.第28项

【解题思路】根据题意求出数列的通项公式，结合通项公式分析求解.

［解答过程］数列可化为a,V3x1+1,73义2+1«3x3+1,J3x4+1,…,

所以即=J3义（71—1）+1—73n—2,

令73n-2=V70,解得n=24,

所以历是这个数列的第24项，

故选：B.

3.（2023下•高二课时练习）写出下面各数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数.

(1)-3,0,3,6,-；

(2)4,—4,4,—4,…;

(3)1,0,1,0,...；

22-l32-l42-l52-l

(4)~'~『丁’.…

【解题思路】利用观察归纳得到数列的通项公式.

【解答过程】⑴数列可记为3x(-1),3x0,3x1,3x2,…，

所以数列的通项公式为%=3(n-2)=3n-6,neN*.

(2)数列的各项符号间隔排列，可用(-1)"】进行调整，

所以数列的通项公式为与=(-l)n+1X4,neN*.

(3)数列的奇数项为1,偶数项为0,

因此数列的通项公式为册=1+('^+1,neN*.

(4)这个数列的前4项分别为甲,。,宁，咚i,

2345

其分母都是序号n加上1，分子都是分母的平方减去1,

所以它的一个通项公式为an=吟三,neN*.

4.(2023下•高二课时练习)写出下列数列的一个通项公式.

(1)0,3,8,15,24,…;

(2)1,-3,5,-7,9,-;

曰3-34,

、，51017

(4)1,11,111,1111....

【解题思路】(1)将给定的5项都加1即为项数的平方特点，即可写出一个通项；

(2)所给5项正负相间，其绝对值为前5个正奇数，由此即可写出一个通项；

(3)分母为项数的平方加1,观察即可写出一个通项；

(4)把所给4项变形，并用10的整数次塞减去1的形式表示出来，观察即可写出一个通项.

【解答过程】(1)观察数列中的数，可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…，所

以它的一个通项公式是=n2-1；

(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一

个通项公式为厮=(-l)n+1(2n-1)；

2

(3)因为5=22+1,10=32+1,17=42+1,所以数列的一个通项公式为册=舄；

(4)原数列的各项可变为打9谭x99谭X99*X9999,...,易知数列9,99,999,9999,的一个通

项公式为1(F-1,所以原数列的一个通项公式为与=[(10"-

题型2■数列的单调性的判断。I

1.(2023下•广西桂林•高二统考期末)数列｛即｝的通项公式为斯=n2+kn,那么“k>-1”是“｛即｝为递增

数歹！J”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】当k>一1时，可得厮+1-册>0,知充分性成立；由数列单调性可知与+1-an>0,从而得

到k>-(2n+1),由此可得k>-3,知必要性不成立，由此可得结论.

【解答过程】当k2—1时，an+i—an=(n+1)2++1)—声—kn=2n+1+k22TI>0,

数列为递增数列，充分性成立；

22

当数列｛即｝为递增数列时，厮+1-an=(n+l)+k(n+1)-n-fcn=2n+1+/c>0,

'''k>—(2n+1)恒成乂，又[—(2TI+l)]max=—(2x1+1)=—3,

k>-3,必要性不成立；

二”>-1”是“｛与｝为递增数列”的充分不必要条件.

故选：A.

2.(2023下•北京怀柔•高二统考期末)数列｛&J的通项公式为册=0-4)•2n(n=1,2,…)，若｛厮｝是递增

数列，则2的取值范围是()

A.[1,+oo)B.(1+log2e,3)

C.(-00,1+log2e]D.(-oo,3)

【解题思路】由题意可得即<即+1对于Vn6N*都成立，化简求解即可求出义的取值范围

【解答过程】因为数列｛%J的通项公式为an=(n-A)-2noi=1,2,-)-且｛&J是递增数列，

所以即<与+1对于Vn£N*都成立，

所以5-2)-2n<(n+1-A)-2"+i对于VneN*都成立，

即n-2<2(TI+1-2)对于VneN*都成立，

所以2<n+2对于VnGN*都成立，

所以4<1+2=3,即4的取值范围是(一8,3),

故选：D.

3.(2023上•湖北襄阳•高二校考期末)已知数列的通项公式为厮=1+eN*).

(1)判断数列｛&J的单调性，并证明你的结论；

(2)若数列｛an｝中存在an=n的项，求n的值.

【解题思路】(1)首先判断｛厮｝是递减数列，再利用作差法证明即可；

(2)依题意可得1+9=m，解方程即可.

71

【解答过程】(1)因为即=1+：(neN*),故数列｛厮｝是递减数列，

证明：数列S/中，即=1+?

则与+1=1+后，

所以与+1—%=(1+后)—(1+§=岛—：=<0，

故数列｛%J是递减数列；

(2)若C1rl=?2,即1+(=71,变形可得"—71—6=0,

解得：n=3或几=一2(舍去)，

故n=3.

4.(2023下•上海虹口•高一上外附中校考期末)已知数列的前几项和%=24—八+1.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

n

(2)若％=an+2023n-2,求数列｛与｝的最大项是该数列的第几项；

n

(3)若％=2(an-k)-nan,且数列｛%｝是严格递增数列，求实数k的取值范围.

【解题思路】(1)利用即与土的关系求通项公式即可；

(2)求出数列｛g｝的通项公式，利用数列的单调性求出最大项；

(3)分离出k,利用数列的单调性求出k的取值范围即可.

22

【解答过程】(1)当n22时，an—Sn—Sn_-^--(2n—n+1)—(2n—5n+4)=4n—3)

当n=1时，%_=S]=2,不满足上式，

故数列的通项公式为即=｛钻土弓,；：2；

(2)由已知得==2+2023-2=2023,

n

当n>2时，bn^an+2023n-2"=4n-3+2023n-=2027n-3-2,

n

-bn=2027—2,则瓦1—瓦。>0,瓦2一瓦i<0，

所以当时，｛%｝单调递增，

%=2027x11-3-211=20246>瓦，

所以数列｛%｝的最大项是该数列的第11项；

(3)由已知得q=2(2-k)-2=2-2k,c2=4(a2-fc)-2a2=10-4fc,

则C2>c「解得k<4,

n+1n

当n22时，cn+1-cn=[2(an+i-/c)-(n+l)an+i]-[2(an-fc)-nan]

=(4n+5)2"-(8n+l)-fc-2n,

】)

要使一%>°，即k<”2r+=(4n+5)一嘿，

设勰=(4n+5)-甯，

则dn+i-dn-(4n+9)--(4n+5)+=4+>0,

所以数列｛勰｝为单调递增数列，即k<(4x1+5)-等=£

综上，实数k的取值范围为(-8,4).

等差数列的基本量的求解

1.（2023上•云南•高二统考期末）已知数列｛%J是等差数列，且。2+的4=50,。6=19,则的=（）

A.3B.4C.7D.8

【解题思路】设等差数列的首项为由,公差为d,可得解方程即可得出答案.

【解答过程】设等差数列｛%J的首项为由,公差为d,

..,_r_•0%+14d=50

・@2+。14—5n0,。6-11Q9.・・（%+5d=i9.

解得:二:，,Qi=4.

g=4

故选:B.

2.（2023下•江西•高二统考期末）在x和y两个实数之间插入n个实数的,a2,a3>…,厮，使数列

□，（^，（^，（^，…，心/）为等差数列，那么这个数列的公差为（）

A.勺B•常D•冷

n

【解题思路】根据等差数列通项公式计算可得.

【解答过程】依题意等差数列｛X,«1，。2,。3,…，麻,/中共有几+2项,

设公差为d,则y=无+[01+2)-l]d,

y-xy-x

所以d=

n+2-1n+l

故选:B.

3.(2023上•新疆喀什•高二校考阶段练习)在等差数列｛册｝中，

(1)已知的=—1,公差d=4,求他；

(2)已知公差d=-%a7=8,求的；

【解题思路】(1)根据等差数列的基本量求解劭即可；

(2)根据等差数列的项与首项之间的关系求解即可得由.

【解答过程】(1)在等差数列｛际｝中，%=-1,公差d=4,

则+7d=-1+7X4=27；

(2)在等差数列中，公差d=—1,a7=8,,

则%=%+6d=%+6X(―1)=%—2=8,故的=10.

4.(2023上•高二课时练习)在等差数列九｝中，

(1)已知的=—1,d=3,求的0；

(2)已知以=4,他=-4,求d；

(3)已知的=1,d=3,an=2017,求儿

【解题思路】(1)根据等差数列通项公式代入计算即可；

(2)根据等差数列通项公式代入计算即可；

(3)根据等差数列通项公式代入计算即可；

【解答过程】(1)由a九=%+(九—l)d知：。1()=%+9d=—1+9X3=26；

(2)因为*=4,CLQ=-4,所以他—。4=(8—4)d=4d,所以(—4)—4=4d,

解得d=-2；

(3)由％i=%+(九—l)d知：2017=l+(n—l)x3=3n—2,解得九=673.

题型4一等差数列的通项公式。I

1.(2023上•河南三门峡•高二统考期末)若数列｛册｝满足的=2,an+1-an=l,则数列｛&J的通项公式为

a九=()

A.n2+lB.-n+3C.^^2D.n+1

2

【解题思路】根据等差数列的定义及通项公式求解.

【解答过程】因为an+i-an=1,

所以｛即｝是以2为首项，1为公差的等差数列，

所以a九=2+(?i-1),1=几+1.

故选：D.

2.（2023上•山东济宁•高二统考期末）已知数列为等差数列且的＞0,数列｛就二｝的前几项和为喘7

则a九=（）

A.几+1B.九+2C.2九一1D.2.71+1

【解题思路】由题意可得］i"1"之】3_2,求出的与公差，根据等差数列的通项公式即可求解.

\.aia2a2a35

【解答过程】由数列的前n项和为一，

kanan+1J2n+l

（_2_=1_

4BI3日nf=3

得上+上=二即匕。3=15,

\ci±ci2a2a35

设公差为d,则%:照解方程得a1=l（负值舍去），d=2.

（（%+d）（Gi+2d）=15

•••an=2n—1.

故选:c.

3.（2023上•山东青岛•高二校考期末）己知数列中，ai=1,%t+i=*丁.

（1）求证：数列痣是等差数列；

（2）求数列｛册｝的通项公式.

【解题思路】（1）根据题意，将原式两边同时取倒数，即可得到证明；

（2）由（1）可得数列｛2｝的通项公式，从而求得数列｛即｝的通项公式.

【解答过程】（1）因为即=1,a=所以工=2+3,即二-一三=3,

n+1aaaa

1+3ann+lnn+ln

所以2=1,即数列［工）是首项为1,公差为3的等差数列.

（2）由（1）可知，数列｛2｝是首项为1,公差为3的等差数列，

所以—=1+（71—1）x3=3TL—2,所以％=---.

Q.fl371—2

4.（2023上•广东东莞•高二校考期末）已知数列｛即｝中，的=2,a=2--.

n+1an

（1）证明数列｛涡｝是等差数列，并求通项公式厮；

（2）若对任意几eN*,都有居•度•试…成工忆•2"成立,求々的取值范围.

【解题思路】（1）根据已知可推出‘：-;=1,又;=1,即可得到;=n，进而求出通项公式;

an+i—1an—1a^—1an—1

（2）经化简可得，k>暗.令g=暗，根据｛?；求出r=2时，6n最大，即可得出k的取值范围.

【解答过程】（1）证明：由已知可得每羊1,'---------J=T-------------------J=*=i,

a九+1一12---------1tin-1tin-1Gn—1an~^-

an

又的=2,所以亡二1，所以数列｛占｝是以1为首项，1为公差的等差数列.

所以---=1+（71—1）x1=M，所以a九—1=-,所以a九=—F1.

CLJI—17171

（）由（）知，a=-+l=—.

21nnn

所以Qi。2a3…=2x|x£x…x誓1=ri+1,所以后•^2,…欣=（九+I）2.

则由后•a外谒…成4k•2n可得,k隆:；：）・对任意九EN*,都成立.

令生=誓，假设数列｛“｝中第r（r£N*）项最大，

（r+l）2r2

---->----2

当,22时则，有《靠：，即H一二二整理可得r—2r—1<0

（r+iy（r+2）zr2>2

-—-2r+1

解得+所以2WrW&+l.

因为r€N*,所以r=2,外=乌字=2

z224

又瓦=2,所以数列｛3｝中第2项最大，即%=然”<3对任意n€N*,都成立.

2'4

所以由kN唁对任意neN*,都成立，可得kN9

2714

由等差数列的前〃项和求通项公式。I

1.（2023下•宁夏吴忠•高一校考期中）已知数列｛%｝的所有项均为正数，其前n项和为分,且S”=\a^+\an-

*则｛口„｝的通项公式为（）

A.an=2n—1B.an=2n+1

C.an=4n—1D.an=4n+1

【解题思路】令几=1,由%=Si=:口亥+：的-：可求得的的值，当几22时，厮=S九一ST可得｛&J是等

42471

差数列，由等差数列的通项公式即可求解.

【解答过程】当九=1时，％.=Si=（嫌+—£整理可得谱—2al—3=0,

解得：ar=3或%=—1,

因为G九>0,所以的=3,

当九之2时，

+

册=S九-Sn_r=-+2-4~\4。九_1+2Q^T-4/4^-4。九一12-2。九一1，

整理可得：W总-12an—2。九_1=。即（Q九+a九一1）（“九—。九-1—2）=0,

a

因为a九+CLn-1>0,所以%i—n-l=2,

所以｛册｝是以的=3为首项，公差为2的等差数列，

所以a九=3+2（九—1）—2.71+1,

故选：B.

2.（2022下•河南•高三校联考阶段练习）已知均为等差数列的｛%｝与也｝的前〃项和分别为%,加且弱=注,

/nn+1

则户等的值为（）

b2+b10

A.-B.-C.-D.-

41067

【解题思路】设％=之九（2几+3）,Tn=kn（n+1）,由劭=$5—54,b6=T6—T5,即可求解结果.

【解答过程】因为菖券=争=詈，又因为*=票，

匕2+匕102匕6匕6Tnn+1

所以可设%=fcn（2n+3）,Tn—kn（n+1）,

则=S5-S4=65k-44fc=21k,b6=T6-T5=42k-30k=12fc

故选：A.

3.（2023下•四川雅安•高一统考期末）己知分是等差数列｛%J的前n项和，且£=一2"+巧九

（1）求数列｛a"的通项公式；

（2）n为何值时，S”取得最大值并求其最大值.

【解题思路】（1）利用公式an=L进行求解；

（2）对%=-2/+15几进行配方，然后结合由几EN*,可以求出％的最大值以及此时打的值.

2

【解答过程】（1）由题意可知：Sn——2n+15n,当九=1时，ar=Sr=—2+15=13,

当?！之2时，an=Sn-^n-i=-2九2+15n—[—2（九-+15（n—1）]=17—4几，

当九=1时，显然成立，.••数列｛七｝的通项公式时=17-4n；

2

(2)Sn=-2n+15n=-2(n-抒+等,

由neN*,则几=4时，取得最大值28,

...当n为4时，5口取得最大值，最大值28.

4.（2023上•湖南衡阳•高二校考期末）己知数列｛厮｝的前w项和无=/-4"，n£N*.

（1）证明：数列｛厮｝是等差数列；

（2）已知6=」一，求数列｛%｝的前n项和.

nanan+l

【解题思路】（1）根据%=n2-4n求出数列｛a"的通项公式即可证明数列是等差数列.

（2）利用裂项相消的方法求数列｛g｝的前〃项和即可.

【解答过程】（1）rSn=1-4n,neN*,①

・,•当71=1时，Qi=S]=­3;

22

当九>2时,Sn_i=（n—l）—4（n-1）=n—6n+5.

由①一②得。九=S九一Sn_x=2n—5.

当九=1时，ar=-3满足上式，

・,・数列｛册｝的通项公式为册=2n-5,nGN*.

••・-%i=2,为常数，

•・•数列是等差数列.

（2）由（1）知如=（2n_5：2n-3）=（（七一六）'

.•・数列｛5｝的前n项和为|3一+沿_3+…+X表-熹）

2\3~2n-3)

4,等差数列前〃项和的性质

1.（2023下•江西吉安・高二统考期末）记无为等差数列｛&J的前n项和，S2=4,S6=18,则S4=（）

A.8B.9C.10D.11

【解题思路】结合等差数列的性质求解即可；

【解答过程】（法一）•••数列｛a"为等差数列,

.•.有S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,

,,,2(S4—S?)=S2+(S6—S4),

解得S4=10,

故选：C.

(法—.)由题意知，S?=2al4——d—4,—6alH——d-18,

解得药,=：，4=I，

S4=4alH——d=10,

故选：C.

2.（2022.贵州毕节.统考模拟预测）等差数列｛即｝的前ri项和为%,若符=粉+1且%=3,贝M）

A.an=2n+1B.an=n+1

22

C.Sn=2n+nD.Sn=4n—n

【解题思路】等差数列前〃项和无构成的数列｛手｝为等差数列，公差为原数列公差的一半.

【解答过程】设｛即｝的公差为儿

・；Sn=na1+d

•S九.TI—1jdd

••­=a〕H----，d=—•71+01-----，

n12212

即｛1｝为等差数列，公差为2

n2

S20201知7=1=d=2,

2020

故。九=2n+1,Sn=混3+:+1)=荏2+2九.

故选：A.

3.（2023.高二课时练习）设两个等差数列｛册｝,也｝的前几项和分别为％、Tn,已知m="，求詈的值.

Tn九+305

【解题思路】根据等差数列前九项和性质有金=含萼=沁=臂即可得解.

795（匕1+匕9）2X2t，5外

【解答过程】由题意得?=”^=泛=詈

丁9+匕9）/2外如

所以詈=§=.

。57912

4.（2022.高二课时练习）设等差数列｛&J的前〃项和为％.

(1)已知。6=10,5,5=5,求$8；

(2)已知S4=2,S9=-6,求S12；

(3)已知。2+。4+。6=—3,。3+。5+。7=6，求$20；

(4)已知S3=6,S6=-8,求S9.

【解题思路】(1)利用等差数列通项公式和前几项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出S8.

(2)由等差数列的前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，继而求出S12.

(3)利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出S2o.

(4)由等差数列｛七｝中S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,能求出S,

【解答过程】(1)•.•等差数列｛即｝中，-6=10,$5=5,

怒=%+5d=10

｛S5=5a1+d=5'

解得Qi=-5,d=3.

58=8%+等4=-40+84=44.

(2)•.•等差数列｛册｝中,54=2,S9=-6,

6

,[4的+6d=2的

，，，5

(9a1+36d=-6即倚jd二7

V15

解得%=12x标誓x(一台=—号.

(3),等差数列｛%｝中，口2+口4+。6=-3，的+。5+。7=6,

+d+cii+34+。1+5d=-3

+2d+a1+4d+%+6d=6

解得的=-10,d=3,

•••S20=20al+生fd=-200+570=370.

(4)•,•等差数列｛七｝中，S3=6,56=-8,

S3,S6T3,S9-5