2024-2025学年高二年级上册期末复习：解答题压轴题十七大题型专练（范围：第四、五章）（含答案）

2024-2025学年高二上学期期末复习解答题压轴题十七大题型专练（范

围：第四、五章）

【人教A版（2019）］

根据数列的递推公式求数列的项、通项公式

1.（2024高二下•全国•专题练习）已知数列九｝中，的=2,且九（几+l）（a九+1—。九）=一1.其中几EN*,求

数列｛。九｝的通项公式；

2.（2004•全国•高考真题）已知数列｛&J中，的=1,且。2土=。21-1+。2左+1=+3勺其中k=

1,23….

（1）求的，。5；

（2）求｛&J的通项公式.

3.（23-24高二下•江西萍乡•期中）已知数列｛an｝（neN*）的前n项和为目,且满足的=2,厮=右5„.

（1）求的，。3的值；

⑵试猜想伍九｝的通项公式，并证明.

4.（23-24高二下•全国•课后作业）已知数列｛。九｝满足的=3,an+1=2an+1.

⑴试写出该数列的前5项；

(2)若刈=厮+1，写出｛4｝的通项公式;

⑶根据(2)写出的通项公式.

题型2卜'、求数列的最大项、最小项

5.(23-24高二下•辽宁・期末)已知数列｛a“｝满足的=1,an+1=3%,-2n+1.

(1)计算a2,a3,猜想｛厮｝的通项公式并加以证明；

(2)设g=襄，求使数列｛与｝取得最大值时«的值.

6.(23-24高二上.湖北武汉•期末)已知数列｛a“｝的前几项和%=24—72+2.

(1)求数列｛%J的通项公式；

(2)若%=厮+100n-2n,求数列｛加｝的最大项是该数列的第几项.

n

7.(23-24高二上.江苏.期中)已知数列｛即｝的前〃项和为先,Sn=2+3.

(1)求数列｛厮｝的通项公式与；

“2

(2)若数列｛.｝满足：垢=晟，求数列｛与｝的最大项.

8.(23-24高二•全国•课后作业)在数列｛时｝中，an=(n+1)-(n6N*).

(1)求证：数列先递增后递减；

(2)求数列｛厮｝中的最大项.

等差数列的判定与证明。|

9.(24-25高三上•新疆塔城•期中)已知数列｛。„｝的首项为的=：,且满足an+i+2厮+1。„-厮=。・

(1)证明数列｛工｝为等差数列，并求｛an｝的通项公式；

an

(2)求数列｛&1azi+1｝的前〃项和％.

10.(24-25高二上•全国•课后作业)已知正项数列｛a九｝满足厮九+2+an+1an=2an+2an+1an+2an+2an,

且a1—1,。2=

⑴判断数歹W-2)是否为等差数列，并说明理由；

lGn+1

⑵求数列｛⑥J的通项公式.

11.(23-24高二下.海南.期末)已知各项均不为零的数列｛册｝满足：5=lf3an+1an+an+1-an=0.

(1)证明｛看｝是等差数列，并求｛an｝的通项公式；

(2)记数列｛aan+i｝的前n项和为S”，证明：；<S<

n4n3

12.(23-24高二下•云南昆明•阶段练习)已知数列｛&J满足：的=1,a2=4,an+2=2an+1-an+2.

(1)证明：｛斯+i-是等差数列，并求｛即｝的通项公式；

(2)设勾=斯+巴，若数列｛,｝是递增数列，求实数k的取值范围.

题型41等比数列的判定与证明

13.(24-25高二上•江苏苏州•期中)已知数列SJ｛b｝满足且的=|，瓦=一

⑴求。3；

(2)证明数列｛厮-n-卦是等比数列，并求与.

14.(23-24高三下•全国•开学考试)设数列｛即｝的前〃项和%,%=4,限］=&丁+：(S-1).

271—1n

(1)证明：数歹u｛矢y是等比数列；

(2)求｛a九｝的通项公式.

15.(24-25高二上•全国•课后作业)已知数列｛a九｝中，ar=l,a2=2,2an=an+2一an+1.

(l)^a3,a4,a5,并猜想｛an｝的通项公式(不需证明)；

(2)证明：数列｛an+i+an｝是等比数列.

an

16.(2024高二•全国•专题练习)已知数列｛厮｝和｛篇｝满足％.=九n+i=^an+n—4,bn=(—l)(an-3n+

21),其中；l为常数，”为正整数.

(1)证明：对任意实数；I,数列｛5｝不是等比数列；

(2)试判断数列｛b｝是否为等比数列.

等差、等比数列的综合应用

17.(2024・四川绵阳•三模)已知首项为1的等差数列｛厮｝满足：ai,a2,a3+1成等比数歹U.

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)若数列｛%｝满足：aMn+a2%T+-+aMi=3n—l,求数列｛%｝的前几项和心.

18.(23-24高二上•四川成都・期末)已知递增数列｛即｝和｛b｝分别为等差数列和等比数列，且的=3b.,a4=

2b2，Q7=力3，+力2=6

(1)求数列｛时｝和｛bn｝的通项公式;

(2)若%=也,证明：1■■cn—~~7-

19.(23-24高二上・江苏苏州•期中)已知等差数列｛而｝的前n项和为%,公差d力。，且S3+Ss=50,%,

a4,的3成等比数列.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)设｛合｝是首项为1,公比为3的等比数列，

①求数列｛%｝的前n项和"；

②若不等式久篇~Sn+2/<0对一切nGN*恒成立，求实数2的最大值.

20.(23-24高三下•重庆•阶段练习)己知等差数列｛册｝和等比数列面｝满足：的=2,瓦=1,a2+a3=10,

b2b3=~CL4.

(1)求数列｛an｝,｛%｝的通项公式;

(2)设数列｛cn｝是数列｛aj和数列｛垢｝的相同项从小到大组成的新数列，S”是数列｛%｝的前"项和，求S”，并

判断％是否为数列｛an｝中的项(不必说明理由)?

数列的求和。|

21.(24-25高三上•河北邢台・期中)已知数列｛即｝的前n项和为幻,且4sli=(2n+l)an+1.

(1)求的通项公式；

(2)若%=厮・G),求数列｛%｝的前n项和取.

22.(23-24高三上.云南.阶段练习)已知数列满足：y+g+g+-+^=n(n€N*),数列也｝满

50

足%=an+2'

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)求打+b?H—+d9.

23.(24-25高二上•上海•期中)设%是等差数列｛&J的前几项和，且％二层+九，其中九EN,n>1.

(1)求｛%J的通项公式；

⑵求数列｛熹二｝的前几项和Hn

24.(24-25高二上•福建莆田•期中)已知正项等差数列｛%J满足：a1=1且的,。3,2<17—1成等比数歹

(1)求数列｛an｝的通项公式：

(2)若数列｛即｝为递增数列，数列｛篇｝满足：bn=2%neN*,求数列｛厮+,｝的前几项和鼎.

数列不等式。|

25.(24-25高二上•山东•期中)已知数列｛an｝的首项的=1,且满足即+i=六.

(1)求证：数歹曜+1｝为等比数列；

(2)若数列｛斯｝的前n项和为配，求证：Sn<2.

26.(24-25高三上•重庆•阶段练习)已知数列的前71项和为分,满足2Sn+i-S”=2,由=1.

(1)求｛5｝的通项公式；

(2)若数列｛6｝,｛5｝满足6=-21oga,c=殳当｛5｝的前几项和为取,若不等式%-2>2%对一切正整

nn2nnan

数n恒成立，求2的取值范围.

27.(24-25高三上•山东济宁•期中)已知数列｛册｝的前n项和为%,2ati=5^+2,(n£/V*).

(1)求数列｛an｝的通项公式；

⑵记”=log2an，数列｛最｝的前几项和为％,若关于n的不等式n(2-6)等恒成立，求实数4的取值范

围.

28.(23-24高二下•安徽•期中)已知数列｛厮｝的前"项和为上,满足O-l)Sn_i-(n-3)Sn=2aw，n>2,

G]—1.

(1)求数列｛SJ的通项公式；

(2)若数歹啮｝的前〃项和为加证明：当几会时金・丁小平.

数学归纳法的应用。।

29.(23-24高二上.全国•课后作业)用数学归纳法证明：

(1)1+3+5+…+(2建—1)=n2(n6N+)；

2

(2)1x4+2x7+3xl0+…+n(3n+1)=n(n+l)(nGN+).

30.（23-24高三•全国•对口高考）是否存在正整数m使得/（n）=（2n+7）-3n+9对任意正整数九都能被小整

除，若存在，求出最大的a的值，并证明你的结论.若不存在说明理由.

31.（23-24高二下•北京房山•期中）已知数列｛即｝中，的=0且tin+i=

2~an

⑴求数列5｝的第2,3,4项;

（2）根据（1）的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.

32.（23-24高二・全国•随堂练习）证明：凸“边形的内角和等于（九一N3,neN*）.

题型9、新情景、新定义下的数列问题

33.（24-25高三上•上海•期中）已知数列｛册｝,若｛%+an+J为等比数列，则称具有性质P.

(1)若数列｛an｝具有性质P,且ai=a2=l,a3=3,求的的值；

(2)若刈=2n+(-1严，判断并证明数列初„｝是否具有性质P；

(3)设q+C2+…+d="+几，数列｛%｝具有性质P,其中由=1,d3-d2-cr,d2+d3-c2,试求数列

｛%｝的通项公式.

34.(24-25高三上•福建福州•期中)已知数列4:的42,…,an,从中选取第G项、第％项....第嘲项

m

(ii<i2<<im：22),称新数列a£,…，气”为A的长度为rn的子列.记N(4)为A所有不同子列的个

数，例如对于A：1,0,0,长度为2的子列有1,0和0,0,长度为3的子列有1,0,0,所以N(2)=3.

(1)对于数列A：2,0,2,4,写出A的长度为3的全部子列，并求NQ4)；

(2)对于数列A%a2,…,an(n>3),8:an,ar,C'0,ar—a2,%—%,…，即—an,判断N(4),N(B),N(C)

的大小关系，并说明理由；

(3)对于整数ri,fc(l<k<n-1且n>3),数列Aa1,…,即满足七G[0,l｝(i=1,2,“・,几)和<21+a24---F

an-k,求N(4)的最小值.

35.(24-25高三上•河北邢台・期中)已知m6N*,m25,定义：数列共有m项，对任意eN*,iW

j<m),存在七(七GN*,k]<m),使得(2吗=aki，或存在电血6N*,/c2<m),使得务=%,则称数列｛即｝

为“封闭数列”.

⑴若册=n(l<n<10,neN*),判断数列｛an｝是否为“封闭数列”；

(2)已知递增数列的,2,a3,8,as为“封闭数列“，求的,a3,a5；

(3)已知数列｛a"单调递增，且为“封闭数列”，若的21,证明：｛切｝是等比数列.

36.(24-25高二上•福建漳州•期中)若数列｛厮｝满足a"1-成=p(n为正整数，p为常数)，则称数列｛厮｝为

等方差数列，p为公方差.

(1)已知数列｛久"，｛%｝的通项公式分别为：%n=V^TT,%=3心1,判断上述两个数列是否为等方差数列,

并说明理由；

(2)若数列｛a"既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列｛&J为常数列.

(3)若数列｛厮｝是首项为1,公方差为2的等方差数列，在(1)的条件下，在也与旅+1之间依次插入数列｛磷｝中

的上项构成新数列｛0｝：yi，忧，y2,aj,aj,y3,畸，aj,aj,y4,...，求数列｛%｝中前30项的和乙。.

问题

37.(24-25高二上•全国•课后作业)已知函数f(x)=/一4x+3.

(1)求曲线y=/O)上任意一点(xoJOo))处的切线斜率；

(2)求曲线y=/(久)在点(3,/(3))处的切线方程.

38.(23-24高二下.江苏常州•阶段练习)已知函数/(%)=—x3+x+i,gQ)=e-2x+i.

(1)求曲线y=/(久)过点(1,1)处的切线；

(2)若曲线y=/(x)在点(1,1)处的切线与曲线y=g(K)在x=t(tGR)处的切线平行，求t的值.

39.(24-25高三上•广西南宁•开学考试)已知函数fO)=(4x+l)ex,曲线y=/(*)在(0力(0))处的切线为

直线I.

(1)求直线/的方程；

(2)求函数/(X)在闭区间上的最值.

40.(24-25高三上•山西朔州•阶段练习)已知函数门>)=/一3元

(1)求函数/(%)在区间卜2,|］上的值域；

(2)曲线y=/(%)在点P(m,/On))处的切线也是曲线y=4%2-。的切线，求实数a的取值范围.

题型111函数的单调性问题O|

41.(24-25高三上•河南•期中)已知函数/(%)=2%sin%+(%2+a)cosx—a(aGR).

⑴求/(%)的图象在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若f(x)在区间(0,2上单调递减，求a的取值范围.

42.(24-25高三上•广东•阶段练习)已知f0)=alnx+1+久

(1)当刈=1时，求f(%)的单调区间;

(2)若当1>2时/(%)为单调递增函数，求实数a的取值范围.

43.(24-25高三上•广东广州•阶段练习)已知函数/(%)=Inx+x2—ax.

⑴若f(%)在区间(0,e］单调递增，求〃的取值范围；

(2)讨论f(%)的单调性.

44.(24-25高三上•山东烟台•期中)已知函数/(%)=e?%+(a—2)e*—a%.

⑴当a=2时，求过点(0,0)且与函数f(%)图象相切的直线方程；

(2)当a<0时，讨论函数/(%)的单调性.

题型12卜函数单调性、极值与最值的综合应用

45.(24-25高三上・贵州贵阳•阶段练习)已知函数/(%)=%ex

(1)求函数在点(1,/(1))处的切线方程

(2)求函数在［-2,1］上的极值和最值

46.(24-25高三上•贵州黔西•阶段练习)已知函数/(%)=a/+一无(见匕£〃)，且当％=1时，/(%)有

极值

6

(1)求函数/(X)的解析式；

(2)若对于区间［-3,3］上任意两个自变量的值的,*2,有IfQi)-〃*2)13c,求实数c的最小值.

47.(2024・全国•模拟预测)已知x=-1是函数f(x)=的极小值点.

(1)求f(x)的单调性；

(2)讨论/■(>)在区间［m,ni+逐］的最大值.

48.(24-25高三上•甘肃天水•阶段练习)已知函数/(%)=x2—(2a+l)x+a\nx,aER.

(1)若a=0,求曲线y=/(%)在点P(2,f(2))处的切线方程.

(2)若f(%)在久=1处取得极值，求/(%)的极值.

⑶若/(%)在［l,e］上的最小值为-2a,求a的取值范围.

题型13N利用导数研究函数的零点(方程的根)

49.(24-25高三上・北京海淀•期中)已知函数f(x)=aln(久一a)+”-(2a+l);c,a>0.

⑴若/⑶在x=4处取得极大值，求/(4)的值；

(2)求f(x)的零点个数.

50.(23-24高二下•四川遂宁•阶段练习)已知函数/(%)=%34-2ax2+bx+a—1在％=—1处取得极值0,

其中a,Z)ER.

⑴求a,b的值;

(2)当％E[-1,2]时，方程/(%)=k有两个不等实数根，求实数左的取值范围.

51.(2024.湖南郴州.模拟预测)已知函数/(%)=2aln%+-Q+2)%,其中口为常数.

(1)当a>0时，试讨论/(%)的单调性；

(2)若函数/(%)有两个不相等的零点%1，g，

(i)求a的取值范围；

(ii)证明：+也>生

52.(24-25高三上•四川成都•阶段练习)已知函数/(%)=若，其中e为自然对数的底数.

(1)当。=1时，求/(%)的单调区间；

(2)若方程/(%)=1有两个不同的根%

(i)求a的取值范围；

(ii)证明：好+蟾>2.

题型14、利用导数证明不等式

53.(24-25高三上•河南•阶段练习)已知函数/(%)=(%+a)e%+l(aeR).

(1)若f(%)N0恒成立，求实数a的取值范围；

(2)证明：当%>0时,xee%>e(ex-1).

54.(24-25高三上•湖北•期中)已知函数/'(x)=-[J+4万-21nx(aeR).

(1)若。=3,求/1(%)极值;

(2)求函数人久)的单调区间；

x

(3)若函数/(%)有两个极值点不，x2(i<x2)>求证：2fo—+/(x2)>9-31n2.

55.(24-25高三上•江苏•阶段练习)已知函数f⑺=x\nx+t在点(l,f(1))处的切线经过原点.

⑴求f的值；

(2)若存在不<x2,使得/Qi)=f(x2),求证：xrx2<2；

(3)证明：f(x)+xcosx<ex.

56.(24-25高三上•安徽合肥•阶段练习)已知函数/⑺=x(2-Inx)

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)求函数八久)在(e2,f(e2))处切线方程；

(3)若/(x)=m有两解%i，x2,且久】<%2，求证：2e<*i+x2<e2.

题型15R、利用导数研究恒成立、存在性问题

57.(24-25高三上•江苏南通・期中)已知函数/(X)的导函数为尸Q),且/(久)=e'T+]r(1)产+1.

(1)求函数/(%)在点(1)(1))处的切线方程；

(2)若对于任意的久G[-1,2],>771%恒成立，求实数m的取值范围.

58.(24-25高三上•北京•期中)已知函数/(%)=(2%+l)ln%—一2%.

⑴求/(%)的单调区间；

⑵若关于%的不等式尸(%)<-%+a有解，求实数a的取值范围.

59.(24-25高三上•福建龙岩•期中)已知函数/(%)=|ax2—(2a+l)x+21nx+4a(a>0).

(1)求/(%)的单调区间；

(2)设gO)=%2-2%,若对任意%1G(o,2],均存在第2e(0,2],使得/Cq)<g(%2)，求实数a的取值范围.

60.(24-25高三上•全国•阶段练习)已知函数/(%)=2k%2—41n%,g(%)=ln,其中久E(0,e],fc>0.

(1)若y=/O)+票％在％=1处取得极值，求/c的值；

⑵讨论函数/(%)的单调性：

(3)若对任意%1，久2€(。汽],当k>1时，不等式/(%i)>g(%2)+4恒成立，求k的取值范围.

题型16'利用导数研究双变量问题

61.(24-25高三上•云南•阶段练习)已知函数/(%)=e*—卜2+。％+Q.

⑴若/(%)为增函数，求。的取值范围；

(2)若/(%)有两个极值点%1，%2,证明：%1+%2<。.

62.(23-24高二下.广东揭阳.阶段练习)设函数/(%)=In%+%2—ax(aER).

(1)当a=3时，求函数/(%)的单调区间；

(2)若函数/(%)有两个极值点%1/2，且%16(0,1]，求/(%1)-/(%2)的最小值.

63.(23-24高二下.福建福州•期中)已知函数/(、)=4%——am%(a>0)

(1)当a=3时，讨论函数/(%)的单调性.

(2)若/(%)有两个极值点<%2)

①求。的取值范围

②证明:/(%!)+/(%2)<10—Ina

64.(24-25高三上•全国•阶段练习)已知函数/(%)=aln]—%—a.

(1)讨论f(%)的单调性;

(2)若第<%2)是f(%)的两个零点，

①求Q的取值范围；

②求证：f<0(/(%)为函数f(%)的导函数).

题型17导数中的新定义问题

65.(23-24高二下•甘肃临夏•期末)给出定义：设/0)是函数y=/(x)的导函数，/'(x)是函数r(%)的导

函数，若方程/'0)=0有实数解x=x°,则称(a/(久0))为函数y=/(x)的“拐点”.已知函数/(>)=/—

4ax2—3a2x+2.

⑴若(4/(4))是函数/(%)的“拐点”，求〃的值和函数/(%)的单调区间；

(2)若函数/(%)的“拐点”在y轴右侧，讨论/(%)的零点个数.

66.(24-25高三上•内蒙古赤峰•阶段练习)若函数/(%)在［见切上存在第1，久2(。VV%2Vb),使得广(乙)=

牛£竺，，(久2)=牛改，则称/(久)是［a,切上的“双中值函数”，其中与,亚称为“久)在［a，切上的中值点.

⑴判断函数/0)=/一3%2+1是否是［-1,3］上的“双中值函数”，并说明理由；

(2)已知函数/(%)=|%2一xlnx一ax,存在7n>n>0,使得f(TH)=/(n),且f(%)是阿上的“双中值函数”,

xlfx2是/(%)在［弭zn］上的中值点.

①求a的取值范围；

②证明：%i+x2>a+2.

67.（23-24高二下•江苏南京•期中）设函数g（x）在区间。上可导，g'（x）为函数。（久）的导函数.若g'（x）是D上

的减函数，则称久久）为。上的“上凸函数”；反之，若或久）为D上的“上凸函数"，贝叼'（久）是。上的减函数.

⑴判断函数/⑴=2xcosx-1在（0印上是否为“上凸函数”，并说明理由；

（2）若函数八（久）=-|x3+|ax2-axlnx+a久是其定义域上的“上凸函数"，求a的取值范围；

68.（23-24高三下.重庆.期中）若函数/（%）在定义域内存在两个不同的数比1，冷，同时满足/（与）=/（右），

且“X）在点01/3））,（上）3））处的切线斜率相同，则称/O）为“切合函数”

⑴证明:/（X）=X3-2尤为“切合函数”;

2

（2）若g（%）=xlnx-x+a%为“切合函数”，并设满足条件的两个数为久L%2・

（i）求证：xrx2<

（ii）求证：（a+I）2/%2—Vxix2<--

2024-2025学年高二上学期期末复习解答题压轴题十七大题型专练（范

围：第四、五章）

【人教A版（2019）］

根据数列的递推公式求数列的项、通项公式

1.（2024高二下•全国•专题练习）已知数列｛a九｝中，的=2,且荏（九+1）（。九+1-。九）=一1.其中九eN*,求

数列的通项公式；

【解题思路】方法一,由已知可得即-厮+】=-==-利用累加法求通项；方法二,由已知可得

an+i-^=an-^,所以｛厮―；｝是常数列，得解.

【解答过程】(法一)由题意知，即―与+1=嵩=；一荒，

1=a

则册-—an~~2=：一：，

71-±7l1Z

累加得：CL^—ctn=1—7且九—2，又=2,

故a九=1+，而的=2符合上式，

故\/几GN,ct=1H—.

nn

(法二)由题意知，Cl—0九+i=——~=--------7,贝必九+1-----7=an--，

n“n(n+l)nn+1‘十，n+1"n

所以a九一；=an-i=…=%_：=L

所以。九—1+—.

2k=2k-1+(-D"，21=

2.(2004•全国•高考真题)已知数列｛a九｝中，ar=1,且a。。上++3上，其中(=

1,23….

(1)求的，。5；

(2)求｛&J的通项公式.

【解题思路】(1)代入序数，逐项计算即可求得的，。5；

2k+1=fck1-a

(2)根据。a2k+3k=a2k_r+(-l)+3,可得的上+2k-i=(-1)"+3”，

再由。2心1一a2k-3=+3^1利用累加法即可求得。2k+1，再求。2上即可得解.

【解答过程】(1)。2=@1+(—1)1=1—1=0，

◎3=。2+31=3,

04=03+(—1)2=4,

@5=。4+32=13,

所以。3=3,。5=13；

(2)由。2k+1=a2k+3'=a2k-1+(-1)'+3”,

所以。2上+1-a2k-l=(-l)k+3上,

同理。2上-1-a2k-3=(-1尸+3f

又。3—=3+(-1),

所以(@2上+1-a2k-l)+Ca2k-1-。2上-3)+…(。3-al)

=(3fc+3上-1+…+3)+[(-l)fc+(-1)火一1+•••+(-1)]

所以。2k+1一=I(3,-1)+1[(-1)"-1],

ofc+1-1

于是。2忆+1=+-1，

kofc-1kofc1fe

于是a2k=«2fc-i+(-l)+l(-1)心1-1+(-l)=y+|(-l)-1，

｛aj的通项公式为：

n+1

Q-—1n-1

当n为奇数时，an=y-+：(-l)'-l；

n

当n为偶数时，厮=3+*-1”—1.

3.(23-24高二下•江西萍乡•期中)已知数列｛an｝(neN*)的前n项和为%,且满足的=2,即=后5n.

⑴求az，。?的值；

(2)试猜想｛an｝的通项公式，并证明.

【解题思路】(1)由数列的递推式，分别令几=1和n=2,计算可得所求值；

(2)猜想an=2zi(neN*),由数列的递推式和数列的恒等式，可得证明.

【解答过程】(1)由题知，a?=|52=|(的+。2),解得。2=4,

同理，CI3=|53=|(。1+a2+。3)，解得。3=6；

(2)由(1)可猜想an=2n(neN*),证明如下：

已知厮=京5小当nN2时，有%-5„_1=京5小

化简得(n-l)Sn=(n+DSNT,即2=二，

5n-1n-1

_SfiSfi-iSfi_2S4S3S2_7i+ln,Tt-1543_(n+l)'7i

SiSfi-iSfi-2^n-3S3S2S]n~1n~2.n-33212

又Qi=Si=2,故S九=n(n+1),

2

则厮=彘1$71=2n(n>2),

当n=1时，上式仍成立，则a”=2n(neN*).

4.(23-24高二下•全国•课后作业)已知数列｛%J满足％_=3,an+1-2an+1.

(1)试写出该数列的前5项；

(2)若%=即+1,写出｛既｝的通项公式;

⑶根据(2)写出｛an｝的通项公式.

【解题思路】(1)由递推公式直接计算即可；

(2)构造法证明｛%｝为等比数列，从而写出通项公式即可;

(3)由(2)可知与+1=%,即可求得a%

【解答过程】(1)因为an+i=2%,+1,a1=3,

所以—2al+1=7,a3—2a2+1—15,

。4=2a3+1=31,=2a4+1=63.

(2)因为册+1=2^+1,所以两边同时加1得：

a九+i+1=2(1n+2=2(a九+1),

所以%ill=2,即空±1=2,

an+1bn

所以｛如｝是以瓦=%+1=4为首项，2为公比的等比数歹U.

n-1n+1

所以6n=4x2=2.

n+1

(3)由(2)可知：bn=4x2^=2.

n+1n+1

所以a0+1=2,所以an=2-1.

题型2X求数列的最大项、最小项

5.(23-24高二下•辽宁・期末)已知数列｛册｝满足的=1,%+1=3ctn—2n+l.

(1)计算。2，。3,猜想以"的通项公式并加以证明；

(2)设g=黑，求使数列｛%｝取得最大值时«的值•

【解题思路】(1)根据递推关系得到前三项，猜想通项并利用新数列的关系加以证明;

(2)写出数列｛.｝的通项公式，利用誓=g(l+》3>o,可求〃的取值范围.

【解答过程】(1)由题意得。2=3x1-2x1+1=2,613=3x2—2x2+1=3,猜想％l=n,

式子与+1=3an—2n+1可化为an+i-(n+1)=3(an-n),

因为a1—1=0,所以的i—n—0,

因此数列｛即｝的通项公式为即=n,得证.

⑵由%=需得％=奈“+]=曙,所以筌=久1+沪

若41+；)3>1,当且仅当n〈泰6(2,3)成立，贝IJ,

当14几工2时，bn+1>bn,

当九>3时，bn+1<bn,

故n=3时，6n取最大值/=1.

6.(23-24高二上•湖北武汉•期末)已知数列｛&J的前〃项和Sn=21一n+2.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

n

(2)若%=an+100n-2,求数列｛篇｝的最大项是该数列的第几项.

【解题思路】(1)根据%,=5.—Sn_!(n>2)求通项即可；

(2)根据厮得到勾，然后列不等式求最大项即可.

【解答过程】(1)当n=l时，a[=Si=3,不满足上式，

22

当n>2时，an—Sn—Sn-i=(2n—n+1)—(2n—5n+4)=4n—3,

故数列的通项公式为a”=L2'

(2)由已知得瓦=3+100—2=101,

nnn

当九>2时，bn=an+100n-2=4n-3+lOOn-2=104n-3—2,

nn+1

皿伸>bn+1gfl04n-3-2>104(n+1)-3-2

n-1

lbn>bn_J(104n-3-2">104(n-1)-3-2,

4r2n>104

^S1104>2-1,即0n。7,

所以当nN2,｛匾｝的最大项为第7项，

又历=104x7-3-27=597>

所以数列｛%｝的最大项是该数列的第7项.

n

7.(23-24高二上.江苏•期中)已知数列｛册｝的前〃项和为无,Sn=2+3.

(1)求数列｛an｝的通项公式an；

(2)若数列｛.｝满足：b=~,求数列｛.｝的最大项.

nan

【解题思路】(1)根据厮=1<求出通项公式；

⑵求出瓦=3当7122时，计算出年担=乂工+1丫，萼=2>1,当nN3时，争<1,从而得到数列也｝

的最大项.

【解答过程】(1)Sn=2"+3中，令兀=1得的=2+3=5,

当n>2时，a”=5皿-Sn_1=2"+3-2“T-3=2“T,

其中21T=0H5,

a

^n=[2n-l~^2

(2)当n=1时，br

at5

“2

当n22时，bn^—>0,

则%+1=(n+l)22"T=，z+2n+i=i1丫

J2

bn2nn2nz2\nJ

当n=2时，普=2>1,

b28

当n23时，-+1<-,-fi+l)2<-x—<1,故步<1,

n32\n/29bn

故几22时，｛g｝的最大项为/=J,

又出>瓦，故数列｛%｝的最大项为3=

8.(23-24高二•全国•课后作业)在数列｛&J中，厮=5+1)•瑞)”(neN*).

求证：数列｛｝先递增后递减；

(1)an

(2)求数列｛厮｝中的最大项.

【解题思路】(1)由于为>0,所以分别由旦>l(n22),上=l(n22)和旦<l(nN2)求出所对应

an-lan-lan-l

的九的范围，从而可证得结论，

(2)由(1)可得他=。9是数列的最大项

【解答过程】(1)证明：因为a九>0,令0n>1(几—2),

an-i

即空蛔->1，整理得W>U,解得九<9,即当n<9时，W>1.

九n9

(2)an-i

同理，令H=1(九22),

«n-l

即当n=9时,a8=ag.

令上<2),得n>9,

an-l

即当n>9时，工<1.

an-l

综上，数列｛a九｝从第1项到第8项递增，从第9项起递减，即数列先递增后递减.

由(知，a(jia>a(jiEN*),

(2)1)a8>nGyv*),9n

故他=a9=充是数列中的最大项.

等差数列的判定与证明

9.（24-25高三上•新疆塔城•期中）已知数列｛%J的首项为的=：,且满足%+1+2（^+1%,-斯=。-

（1）证明数列｛2｝为等差数列，并求｛an｝的通项公式；

an

（2）求数列｛a九册+J的前〃项和S%

【解题思路】（1）根据给定条件，利用等差数列定义推理得证，再求出通项公式.

（2）由（1）的结论，利用裂项相消法计算即得.

【解过程】（1）由。九+1+2a九+ia九—=0，=得a九H0,贝—a?i+i=2a九&i+i，于是・--—=2,

3।an+lan

所以数歹吟｝是首项看=3,公差为2的等差数歹U，

—=3+2(九-1)=2.71+1,所以Q九=---.

2TI+1

1

（2）由（1）知。九@„+1———)>

(2九+1)(2?1+3)2v2n+l2n+37

1.1111、I〉1、n

所以%=*（一__________1——।_____1——

557271+12n+37-213_271+3,-6n+9*

a

10.(24-25高二上•全国•课后作业)已知正项数列｛a九｝满足%1+1&1+2+CLn+in=2an+2an+1an+2an+2an,

且^口1—1,=7

（1）判断数列［上-三）是否为等差数列，并说明理由;

lan+1a，nJ

（2）求数列的通项公式.

【解题思路】（1）根据题意，化简得到（二——---）=2,即可证得数列f--是等差数

an+2an+lan+lanlGn+1an^

列；

（2）由（1）可得」——--2n+l,结合累加法，求得上—工="—1,即可求解.

a?i+lananai

【解答过程】（1）由正项数列｛%J满足a九+1厮+2+an+1an=2an+2an+1an+2an+2an,

可得工+」_=2+:一,即二------=----+2,

anan+2an+lan+2an+ian+lan

BP(—-----)=2,

an+2an+lan+lan

又由a】=l,a2=%可得郎一己=3,

故数列--工）是首项为3，公差为2的等差数列.

5+1a/

(2)由(1)可得一^----=—----+(n—1)-2=2n+1.

an+lana2ai

所以工—2_=3,工—2=5,…，二一一-=2n-l,

a2aia3a2anan-l

将以上式子累加，可得上—工=3+5+…+2九-1=（3+2，T）（n-D="一1,

an%2

可得（=小，所以an=+.

11.（23-24高二下•海南•期末）已知各项均不为零的数列｛即｝满足：的=l,3an+1an+an+1-an=0.

（1）证明｛熹｝是等差数列，并求｛a“｝的通项公式；

（2）记数列｛斯斯+1｝的前n项和为%,证明：；<S<i

4n3

【解题思路】（1）通过构造法，利用等差数列的定义和等差数列的概念求解｛an｝通项公式.

（2）通过裂项法求解Sn,并结合数列的单调性求证不等式.

【解答过程】（1）因为％1K0,故由3an+ian+与+1-a”=0,

可得工_2_=3,

an+ian

又工=1,所以是以1为首项，3为公差的等差数列，

所以—=1+3（?1—1）=371—29故%；=---.

an3n—2

（2）易得即即+1=即-2篙+1）=1（/一七）'

所以S九=+a2a3+…+071071+1

3k4/\47/\3n-23n+1/J

3\3n+1/

易知/（几）=1一士在71GN*时是递增的，所以［<f（n）<1,

371+14

因此台s11cq.

12.（23-24高二下•云南昆明•阶段练习）已知数列｛厮｝满足：a1=1,a2=4,an+2-2an+1-an+2.

（1）证明：｛即+i-即｝是等差数列，并求｛an｝的通项公式；

（2）设“=即+工，若数列｛6n｝是递增数列，求实数k的取值范围.

an

【解题思路】（1）根据条件，利用等差数列定义，即可证明结果，利用等差数列的通项公式得到即+1-即=

2n+l,再利用累加法，即可求出结果；

（2）由（1）得%="+工，再利用数列｛%｝是递增数列，得到k<5+1）2/对neN*恒成立，即可求出

结果.

aa

【解答过程】(1)因为Q九+2=2a九+i—an+2»所以。九+2—n+i~(%i+i—n)=2。n+1—an+2—2an+1+

an=2为常数，

又%-%=3,所以数列｛册+1-册｝是公差为2,首项为3的等差数列.

所以a九+1—an=3+(?1—1)X2=2n+1,

当?1之2时,(a九—CLn-i)+(Qn_1—C^n-2)+…+(。2—。1)=2(72—1)+1+2(71—2)+1+…+2X1+1,

所以G九—=几2—1,又％=1,所以^=71.2,又几=1,满足册=九2,

所以数列｛%｝的通项公式为册=H2.

(2)由⑴知砥="+2，因为数列｛与｝是递增数列，

22e

所以加+1—%=O+I)+玩为-(n+工)=(2n+1)[1一(二2n21>°，对九N*恒成立，

得到kV到+1)2/对7teN*恒成立，所以k<4.

题型4