2024-2025学年沪科版九年级数学上册期末冲刺复习：四类手拉手相似模型（原卷版）

专题13四类手拉手相似模型

目录

解题知识必备..............................................

压轴题型讲练..............................................

类型一、任意三角形..................................................2

类型二、等腰三角形..................................................4

类型三、直角三角形..................................................7

类型四、等边三角形或等腰直角三角形..................................9

压轴能力测评(10题).....................................

X解题知识必备”

"手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的

图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。

1、利用三边证相似三角形

(1)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.

可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.

(2)利用三边成比例判定两个三角形相似时，一定要注意边之间注意的对应关系，主要运用短对短、长对长、

中间对中间的方法找对应边另外要注意两个三角形的先后顺序.

2.利用两边及其夹角判断两个三角形是否相似

(1)如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.

可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.

(2)利用两边及其夹角判断两个三角形是否相似的方法：依据题目给出的条件，若存在一组角对应相等，

则需要判断出该角的两边是否成比例.若成比例，则两个三角形相似；若不成比例，则两个三角形不相似

若存在两组边成比例，则需要判断两边的夹角是否相等.若相等，则两个三角形相似；若不相等，则两个

三角形不相似。

3.利用两角判定两个三角形相似

(1)如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似.

(2)利用两角判定两个三角形相似的方法：如果根据已知条件，在两个三角形中不能直接找出两个角分别

相等，那么可先结合三角形内角和定理、对顶角等知识，设法求出其中一个三角形中的第三个角，再判断

两个三角形中是否有两角分别相等，若有，则两个三角形相似，否则两个三角形不相似。

X压轴题型讲练♦♦

于点入点。在5c边上，求竺的值;

拓展创新：如图（3）,。是VABC内一点，ABAD=ACBD=30°,ZBDC=9Q）,AB=4,AC=2y/3,直

接写出AO的长.

【变式训练1】.在VABC和VADE中，BA=BC,DA=DE,且NAfiC=NADE=(z,点E在VABC的内

部，连接EC,EB,EA和2。，并且ZACE+ZABE=90。.

【观察猜想】

（1）如图①，当&=60。时，线段BD与CE的数量关系为,线段EA,EB,EC的数量关系为

【探究证明】

（2）如图②，当&=90。时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由;

【拓展应用】

（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC=2小,请直接写出VBZ汨的面积.

【变式训练2】.在0ABe中，AB=AC,BBAC=a，点P是她BC外一点，连接BP,将线段8尸绕点尸逆时

针旋转a得到线段PD,连接BD,CD,AP.

观察猜想:

图1图2图3

CD

（1）如图1,当a=6。。时’衣的值为一'直线CO与A尸所成的较小角的度数为

类比探究:

(2)如图2,当a=90。时，求出大的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；

AP

拓展应用：

(3)如图3,当a=90。时，点、E,尸分别为AB,AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A,D,P三

点在一条直线上，BD交PF于点、G,CD交AB于点H.若CZ)=2+也，求的长.

【变式训练3】.(1)尝试探究：如图①，在44BC中，ZACB=90°,ZA=30°,点、E、尸分别是边2C、AC

上的点，且EFI3AB.

①震的值为;

②直线"与直线BE的位置关系为;

(2)类比延伸：如图②，若将图①中的ACEF绕点C顺时针旋转，连接AF,BE,则在旋转的过程中，

请判断黑的值及直线AF与直线3E的位置关系，并说明理由；

BE

(3)拓展运用：若3C=3,CE=2,在旋转过程中，当反瓦歹三点在同一直线上时，请直接写出此时线段

题的长.

类型二、等腰三角形

例.如图1,在VABC中，AB=AC,ZBAC=a,D,E分别为AB,BC边上的点，连接DE,且BD=DE,

将_八跖绕点2在平面内旋转.

图3

图4

An

⑴观察猜想：若々=60。，将二八的绕点8旋转至如图2所示的位置，贝lJ==

CE

An

(2)类比探究：若&=90。将DBE绕点B旋转至如图3所示的位置，求黑的值；

⑶拓展应用：若a=90。，。为的中点，AB=20，如图4,将一DBE绕点8旋转至如图5所示位置

(AD'A-BE'Y请直接写出线段A"的长.

【变式训练L问题发现

图(1),在△043和OCD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB^ZCOD=35°,连接AC,BD交于点、M.

①类的值为______;②NA7WB的度数为_______.

BD

(2)类比探究

图(2),在△OAB和OCD中，ZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=30°,连接AC,交3D的延长线于

Ar

点M,请计算”的值及NAMB的度数；

BD

(3)拓展延伸

在(2)的条件下，若OD=2,AB=8,将OCZ)绕点。在平面内旋转一周.

①当直线DC经过点8且点C在线段3。上时，求AC的长；

②请直接写出运动过程中M点到直线。8距离的最大值.

【变式训练2】.观察猜想

M

图2图3

（1）如图1,在等边VABC中，点M是边BC上任意一点（不含端点B、C）,连接AM,以A"为边作等边」加亚,

连接CN，则/ABC与NACN的数量关系是.

（2）类比探究

如图2,在等边VA3C中，点M是BC延长线上任意一点（不含端点C）,（1）中其它条件不变，（1）中结

论还成立吗？请说明理由.

⑶拓展延伸

如图3,在等腰VABC中，区4=BC,点M是边8C上任意一点（不含端点8、C）,连接A",以A"为边

作等腰使顶角/4AW=NABC.连按CN.试探究—ABC与NACN的数量关系，并说明理由.

【变式训练3].（1）问题发现如图1,在和，OCD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=40°,

连接AC,交于点填空：①辞的值为；②NWB的度数为.

（2）类比探究如图2,在△OAB和OCD中，ZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=30°,连接AC交的

AT

延长线于点请判断C上的值及NWB的度数，并说明理由；

BD

（3）拓展延伸在（2）的条件下，将，OCD绕点。在平面内旋转，AC3n所在直线交于点用,若=

OB=0请直接写出当点A与点。、。在同一条直线上时AD的长.

点A顺时针旋转90。得到AE,连接EC,则线段BD与CE的数量关系是—，位置关系是.

【探究证明】（2）如图2,在Rt.ABC和RtADE中，AB=AC,A。=AE,将，ADE绕点A旋转，当点C,

D,E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；

【拓展延伸】（3）如图3,在Rt3co中，/BCD=90°,BC=2CD=4,将，ACD绕点A顺时针旋转，点C

对应点E,设旋转角NC4E为a(0°<a<360°),当点C,D,E在同一直线时，画出图形，并求出线段8E

的长度.

【变式训练1].如图LAD,3。分别是AASC的内角N5AC、—ABC的平分线，过点A作AE_LAO,

交3D的延长线于点E.

⑴求证：NE=；NC；

(2汝口图2,如果AE=AB,且3。:。£；=2:3,求cosNABC的值;

⑶如果—ABC是锐角，且AABC与AADE相似，求—ABC的度数，并直接写出乎也的值.

【变式训练2】.如图1,在RZ0ABe中，0C=9O°,0A=3O°,8C=1,点。，E分别为AC,8C的中点.S1CDE

绕点C顺时针旋转，设旋转角为a(0。4旗360。)，记直线与直线BE的交点为点P.

(1)如图1,当a=0。时，与BE的数量关系为,与8E的位置关系为；

(2)当0。<族360。时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；

(3)回CQE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中尸点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大

值.

【变式训练3】.某校数学活动小组探究了如下数学问题:

图1

⑴问题发现：如图1,VA3C中，ZBAC=90°,AB=AC.点尸是底边8C上一点，连接AP,以AP为腰

作等腰Rt^APQ,且4PAQ=90。，连接CQ、则8P和CQ的数量关系是.

⑵变式探究：如图2,VA3C中，ZSAC=90°,AB^AC.点尸是腰AB上一点，连接CP,以CP为底边

作等腰Rt^CP。，连接AQ,判断BP和A0的数量关系，并说明理由;

⑶问题解决：如图3,在正方形A8C'。中，点尸是边8c上一点，以。P为边作正方形。PER点0是正方

形。尸两条对角线的交点，连接CQ.若正方形DPEF的边长为M，CQ=y[2,求正方形ABCD的边长.

(1)问题发现：如图1,在等边VABC中，点尸是边3c上任意一点，连接AP,以"为边作等边△AP。，连

接c。，BP与CQ的数量关系是二

(2)变式探究：如图2,在等腰VA2C中，AB=3C,点尸是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△AP。，

使AP=PQ,ZAPQ=ZABC,连接CQ,判断-ABC和4C0的数量关系，并说明理由；

⑶解决问题:如图3,在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF,Q是正方形APEF

的中心，连接C。.若正方形APEF的边长为5,CQ=与,求正方形AD3C的边长.

【变式训练1工在等边VABC中，D为BC边上一点,DEJ.AC”.

(1)如图1,若AB=6,BD=2,求cos/ADE的值；

⑵如图2,线段CD的垂直平分线交DE于F,点G为AD的中点，连接BG,BF,G/，求证：BG=6GF；

⑶如图3,将线段AD绕点。顺时针旋转120。得到线段DM,点、N为3c边上点。右边一动点，连接BM、跖V,

当创取得最小值时，直接写出逛产”的值.

)ABC

【变式训练2】.如图，以VA8C的两边AB、AC分别向外作等边△ABD和等边△ACE,BE与DC交于前P,

已知PA=3,尸3=4,PC=5.

⑴求证：.ADC二一ABE；

⑵求NDPB的度数及BE的长；

⑶若点。、R分别是等边和等边"CE的重心(三边中线的交点)，连接A。、4?、QR,作出图象,

求QR的长.

【变式训练31.某校数学活动小组探究了如下数学问题:

⑴问题发现：如图1,VABC中，ABAC=90°,AB=AC.点尸是底边3c上一点，连接AP,以AP为腰

作等腰RtaAPQ,且/PA。=90。，连接CQ、则和CQ的数量关系是；

(2)变式探究：如图2,VABC中，ZBAC=90°,AB=AC.点尸是腰A3上一点，连接CP,以CP为底边

作等腰Rt^CP。，连接A。，判断3P和A。的数量关系，并说明理由；

⑶问题解决：如图3,在正方形A5CD中，点尸是边2c上一点，以£＞尸为边作正方形。尸所，点。是正方形

DPEF两条对角线的交点，连接CQ.若正方形DPEF的边长为2加，CQ=2应,请直接写出正方形ABCD

的边长.

”压轴能力测评“

1.如图，在等腰RtEIABC中，0ACB=9O°,AB=80.点D,E分别在边AB,AC±,将线段ED绕点E按逆

时针方向旋转90。得到EF,连结BF,BF的中点为G.

图3

(1)当点E与点C重合时.

①如图1,若AD=BD,求BF的长.

②当点D从点A运动到点B时,求点G的运动路径长.

(2)当AE=3,点G在EIDEF一边所在直线上时，求AD的长.

2.如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE,其中AB=AC,AD^AE.

⑴如图1,若SBAC=90。，当C、。、E共线时，的延长线AH3BC交8C于点R则0ACE=；

(2)如图2,连接C。、BE,延长交BC于点R若点尸是BC的中点，S\BAC=SDAE,证明：A£)0C£)；

⑶如图3,延长QC到点M,连接使得0ABM+a4cM=180。，延长ED、交于点N,连接AN,若MAC

=2回Ml。，请写出fflAOM、SDAE它们之间的数量关系，并写出证明过程.

3.如图，VABC和VADE是有公共顶点直角三角形，N54c=NZME=90。，点尸为射线3。，CE的交点.

(1)如图1,若VABC和VADE是等腰直角三角形，求证：CP工BD；

(2)如图2,若NADE=NABC=30。，问：(：L)中的结论是否成立？请说明理由.

(3)在(1)的条件下，AB=4,AD=3,若把VADE绕点A旋转，当/£AC=90。时，请直接写出PB的

长度

4.如图1,在用ABC中，ZACB=90°,AC=BC,在斜边AB上取一点D,过点。作£>E〃5C,交AC于

点E.现将VADE绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置(点。在VABC的内部)，使得ZABD+ZACD=90°.

图1图2图3图4

(1)①求证：ABD-ACE；

②若。=1,BD=y[6,求AD的长；

AT

(2)如图3,将原题中的条件〃AC=BC〃去掉，其它条件不变，*=啜=%设，若CD=LBD=3fAD=4f

ABAD

求左的值；

AF?

(3)如图4,将原题中的条件"NACB=90°”去掉，其它条件不变，若牛=牛=；，设8=相，

ABAD3

BD=n,AD=p,试探究机,，"三者之间满足的等量关系.(直接写出结果，不必写出解答过程)

5.数学课上，老师拿出两块不同大小的含30度角的三角板让同学们在不同位置尝试操作.

(1)如图1摆放，当点。在AB上，点E在上，得知AD=7,DB=1,求CE的长.

(2)如图2,在(1)的条件下，连结C。，求ACD的面积.

(3)如图3摆放,把这同样的两块三角板的直角顶点互相重合放置，小三角板MCN绕着点C旋转，连结40、

BN,当AM_LCM时，求cosNABN的值.

(4)△ACB不变，当△MCN的三边长扩大一倍后，绕点C旋转一周，直线AM与3N交于点请你直

接写出点H所经过的运动路径.

6.(1)【观察发现】如图(1),在.MC,点。是边3c的中点，延长到点E,使AE=AB,连接CE,可

得4。与CE的数量关系是，位置关系是.

(2)【探究迁移】如图(2),在一ABC中，AB=AC,ABAC=90°,点E为平面内一点，将线段EB绕点E

顺时针旋转90。得到线段所，连接3尸，CF,点。为CF的中点，连接DE、AE,试判断DE和AE的数量关

系，并说明理由.

(3)【拓展应用】在(2)的条件下，若AB=AC=5,EB=2,当EF04C时，请直接写出DE的长.

E

7.在VABC中，CA=CB,ZACB=a,点P是平面内不与点A,C重合的任意一点，连接AP,将线段AP

绕点尸逆时针旋转a得到线段DP,连接AD,BD,CP.

⑴观察猜想

如图①，当