2025年岳麓版高二数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年岳麓版高二数学下册月考试卷274考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、用数学归纳法证明不等式的过程中；由“k推导k+1”时，不等式的左边增加了（）

A.

B.

C.

D.以上都不对。

2、已知函数若是奇函数，则曲线在点处的切线方程是（）A.B.C.D.3、从n(且n≥2)人中选两人排A，B两个位置，若其中A位置不排甲的排法数为25，则n=()A.3B.4C.5D.64、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A.B.C.D.5、【题文】如图：样本A和B分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为和样本标准差分别为和则（）

A.B.C.D.6、下面是一段演绎推理：

如果直线平行于平面；则这条直线平行于平面内的所有直线；

已知直线平面直线平面

所以直线直线在这个推理中（）A.大前提正确，结论错误B.小前提与结论都是错误的C.大、小前提正确，只有结论错误D.大前提错误，结论错误7、设i

是虚数单位，复数1+ai2鈭�i

为纯虚数，则实数a

为(

)

A.2

B.鈭�2

C.鈭�12

D.12

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)8、某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为___________万元．9、经过椭圆的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则等于____．10、【题文】在△ABC中,若a2+b22,且sinC=则∠C=____11、【题文】已知满足则的最大值为____．12、【题文】已知则_____.来源：高考13、已知向量=（2，-1，1），=（t，1，-1），t∈R，若∥则t=______．14、某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值是______．

评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共36分)22、(本小题满分12分)设函数f（x）=（x＞0且x≠1）.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知2＞xa对任意x∈（0，1）成立，求实数a的取值范围.23、【题文】（本小题满分14分）函数

的图象在y轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为在原点右侧与x轴的第一个交点为Q（）.求：（1）函数的表达式；（2）函数在区间上的对称轴的方程.24、如图，设△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边分别为a，b；c，且角A，B，C成等差数列，a=2，线段AC的垂直平分线分别交线段AB，AC于D，E两点．

（1）若△BCD的面积为求线段CD的长；

（2）若求角A的值．25、如图；一矩形铁皮的长为8m

宽为3m

在四个角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以制成一个无盖的长方体容器，所得容器的容积V(

单位：m3)

是关于截去的小正方形的边长x(

单位：m)

的函数．

(1)

写出关于x(

单位：m)

的函数解析式；

(2)

截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？评卷人得分五、计算题(共3题，共6分)26、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．27、设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．求L的方程；28、解不等式组：．评卷人得分六、综合题(共3题，共12分)29、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．30、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．31、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、B【分析】

当n=k时，左边的代数式为（共k项）

当n=k+1时，左边的代数式为+（共k+1项）

故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果，即为不等式的左边增加的项。

故选B

【解析】【答案】准确写出当n=k时；左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．注意分母及项数的变化．

2、C【分析】试题分析：根据函数是奇函数，所以的图像的对称中心是故有所以即所以有故所求的切线为过点且斜率是的直线，所以方程为故选C.考点：导数的几何意义，曲线在某个点处的切线方程的求法，函数的性质的应用.【解析】【答案】C3、D【分析】【解析】试题分析：从n(且n≥2)人中选两人排A，B两个位置，其中A位置不排甲的排法为分两类，一是不排甲，有种方法，二是将甲排在位置B，再从其余n-1人中选一个排在位置A，有n-1种方法，所以，有+n-1=25，即解得，n=6，n=4（舍去），选D。考点：简单的排列应用问题【解析】【答案】D4、A【分析】【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=故选A．考点：古典概型概率的计算。【解析】【答案】A5、B【分析】【解析】

试题分析：由图易知因为A中的数据较为分散，B中的数据较为集中，所以因此选B。

考点：平均数的概念；标准差的概念。

点评：标准差是用来衡量数据分散程度的量，数据越集中，标准差越小，数据越分散，标准差越大。【解析】【答案】B6、D【分析】【分析】如果直线平行于平面，则这条直线只是与平面内的部分直线平行，而不是所有直线，所以大前提错误，当直线平面直线平面时，直线与直线可能平行，也可能异面，故结论错误，选D.7、A【分析】解：复数1+ai2鈭�i=(1+ai)(2+i)(2鈭�i)(2+i)=2鈭�a+2ai+i5

它是纯虚数，所以a=2

故选A

复数的分子；分母同乘分母的共轭复数；化简后它的实部为0

可求实数a

的值．

本题是基础题，考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．【解析】A

二、填空题(共7题，共14分)8、略

【分析】试题分析：设总销售额为万元，则所以则11时至12时的销售额为万元。考点：频率分布直方图。【解析】【答案】109、略

【分析】

∵椭圆中a=b=1

∴c=1

椭圆的焦点为F（±1；0）

不妨设所作倾斜角为45°的直线l过焦点（1；0），故直线L：y=x-1

联立消去y可得，3x2-4x=0

解方程可得，

代入直线y=x-1可得，y1=-1，

=x1x2+y1y2=

故答案为：

【解析】【答案】由椭圆可求椭圆的焦点为F（±1，0），不妨设所作直线l过焦点（1，0），故可得直线L：y=x-1，联立可求A，B．然后由=x1x2+y1y2；代入可求。

10、略

【分析】【解析】

试题分析：根据余弦定理可知那么当C为钝角时，则有因此题目中给出的不等式说明了角C为钝角，同时sinC=在三角形内，则角C为故答案为

考点：本题主要考查余弦定理和正弦定理的综合解三角形的运用。

点评：解决该试题的关键是分析三边的不等关系，得到角C为钝角，进而得到角C的值，熟练的运用三边的平方关系，确定角的范围很重要。【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

试题分析：画出可行域，找出满足条件的点，利用的几何意义，即可得的最大值为1.

考点：本题考查线性规划的知识。

点评：对于解决线性规划的问题我们的关键点在于分析目标函数。目标函数除了我们常见的这种形式外，还有常见的两种：第一种的几何意义为：过点与点(a,b)直线的斜率。第二种的几何意义为：点与点(a,b)的距离。【解析】【答案】112、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、略

【分析】解：∵∥

∴

解得t=-2．

故答案为：-2．

利用向量共线定理即可得出．

本题考查了向量共线定理，属于基础题．【解析】-214、略

【分析】解：由图知运算规则是对x=2x+1；故。

第一次进入循环体后x=2×1+1=3；n=2

第二次进入循环体后x=2×3+1=7；n=3

第三次进入循环体后x=2×7+1=15；n=4，不满足循环条件，退出循环。

故答案为：15．

由图知；每次进入循环体后，x的值被施加的运算是乘以2加上1，故由此运算规律进行计算，经过4次运算后输出的结果．

本题主要考查了循环结构，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．【解析】15三、作图题(共8题，共16分)15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共36分)22、略

【分析】

（1）f′(x)=-若f′(x)=0,则x=列表如下：所以f(x)的单调增区间为（0,），单调减区间为（1）和（1，+∞）.（2）在2＞xa两边取对数，得ln2＞alnx.由于x∈(0,1)，所以＞①由（1）的结果知，当x∈(0,1)时，f(x)≤f（）=-e.为使①式对所有x∈(0,1)成立，当且仅当＞-e,即a＞-eln2.【解析】略【解析】【答案】23、略

【分析】【解析】：（1）由题意可知

将点代入得：因为所以

即函数的表达式为

（2）由解得：令

由于所以函数上的对称轴的方程为

点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。三角函数的化简通常用到降幂、切化弦、和角差角公式的逆运算。【解析】【答案】：（1）（2）24、略

【分析】

（1）先根据三角形的内角A；B，C成等差数列，求出B的度数，再根据三角的面积公式求出BD，再根据余弦定理即可求出；

（2）若求出∠BDC，即可求角A的值．

本题主要考查余弦定理三角形的面积公式以及等差数列的性质，属于中档题．【解析】解：（1）三角形的内角A；B，C成等差数列；

则有2B=A+C．又A+B+C=180°；

∴B=60°；

∵△BCD的面积为a=2

∴BD•BC•sin60°=

∴BD=

由余弦定理，CD2=BD2+BC2+2BD•BC•cos60°=

∴CD=

（2）△BCD中，∴sin∠BDC=1；

∴∠BDC=90°；∴CD⊥AB；

∵∠A=∠B=．25、略

【分析】

(1)

设小正方形的边长为xcm

则盒子容积为：y=(8鈭�2x)?(3鈭�2x)?x

为三次函数；

(2)

用求导法；可得x=1

时，函数y

取得最大值，此时盒子容积最大．

本题考查了简单的三次函数模型的应用，利用求导法求得三次函数在其定义域上的最值问题，是中档题．【解析】解：(1)

设小正方形的边长为xcm

则x隆脢(0,1.5)

盒子容积为：y=(8鈭�2x)?(3鈭�2x)?x=4x3鈭�22x2+24x

(2)

对y

求导，得y隆盲=12x2鈭�44x+24

令y隆盲=0

得12x2鈭�44x+24=0

解得：x=1x=83(

舍去)

所以，当0<x<1

时，y隆盲>0

函数y

单调递增；当1<x<1.5

时，y隆盲<0

函数y

单调递减；

所以；当x=1

时，函数y

取得最大值6

所以，小正方形的边长为1cm

盒子容积最大，最大值为6cm3

．五、计算题(共3题，共6分)26、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．27、解：所以当x=1时，k=点斜式得直线方程为y＝x－1【分析】【分析】函数的导数这是导函数的除法运算法则28、解：由|x﹣1|＜3解得﹣2＜x＜4；

由＞1得﹣1=＞0；

解得3＜x＜5；

所以，不等式解集为（3，4）．【分析】【分析】根据不等式的解法即可得到结论．六、综合题(共3题，共12分)29、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）30、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=