2024北京一六六中高一（上）期末数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京一六六中高一（上）期末数学（考试时长：120分钟）一、选择题（每题3分，共10题）1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.若，，则（）A. B. C. D.3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.4.把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是（）A. B. C. D.5.已知，则的大小关系是（）A. B.C. D.6.若，且，则（）A. B. C. D.7.“”是“”成立的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.设函数已知，且，则（）A.1 B.0 C.2 D.9.奇函数在区间上单调递增，且其图象经过点，则不等式的解集为（）A. B. C. D.10.函数中，，为实数集的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断：①函数有奇偶性；②函数为周期函数；③存在无数条直线，与函数的图象无公共点；④若，则；⑤若，则.其中正确判断的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（每题3分，前3后2，共8题）11.函数的定义域是______.12.命题：“，”的否定形式为______；若为真命题，则实数的最大值为______.13.在中，写出不满足命题“若，则”的一组、的值为______，______.14.如图，在平面直角坐标系中，点，，角的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，则阴影区域的面积的最大值为______.15.函数，关于函数的零点情况有下列说法：①当取某些值时，无零点；②当取某些值时，恰有1个零点；③当取某些值时，恰有2个不同的零点；④当取某些值时，恰有3个不同的零点.则正确说法的全部序号为______.三、解答题（共五小题，共55分）16.已知集合，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围；（3）若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由.17.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴.第一象限角的终边与单位圆交于，第二象限角的终边与单位圆交于.（1）求的值；（2）求的面积.（梯形的面积公式）18.已知函数，，.（1）当时，判断函数的奇偶性并证明；（2）当且时，利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增；（3）求证：当且时，方程在内有实数解.19.已知函数，其中，.条件①：函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为；条件②：函数图象关于点对称；条件③：函数图象关于对称.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求：（1）函数的最小正周期；（2）函数在单调递增区间；（3）函数的图象可否由函数的图象经过图象变换得到？如果可以，请设计一系列的图象变换过程，如果不可以，请说明理由.注：如果选择不同条件组合分别解答，按第一个解答计分.20.当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少.（1）按照医嘱，护士给患者甲注射了药品两小时后，患者甲血液中药品的残存量为，求的值；（2）另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射药品和药品，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数）参考值：，.

参考答案一、选择题（每题3分，共10题）1.【答案】D【分析】先求得集合，结合集合的交集的概念与运算，即可求解.【详解】由集合，根据集合交集的定义与运算，可得.故选：D.2.【答案】B【分析】利用诱导公式直接求出即可.【详解】因为，故选：B.3.【答案】B【分析】利用奇偶性的定义和初等函数的单调性逐一判断.【详解】对于A：，则，偶函数，另外当时，，函数单调递减，A错误；对于B：，则，偶函数，另外当时，，函数单调递增，B正确；对于C：，则，奇函数，C错误；对于D：，则，偶函数，另外当时，，函数单调递减，D错误.故选：B.4.【答案】D【分析】设铁丝的一段长度为，则另一段铁丝长为，得到，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】设铁丝的一段长度为，（其中），则另一段铁丝长为，两个正方形的面积之和为，根据题意，可得，当且仅当时，取得最小值，最小值为.故选：D.5.【答案】D【分析】构造指数函数，结合单调性分析即可.【详解】在R上单调递减，，∴；在R上单调递增，，∴；∴故选：D6.【答案】D【分析】先通过求出的范围，进而可得的范围.【详解】，所以，因为，所以，所以根据，可得，所以，则故选：D.7.【答案】B【分析】由题意分别考查充分性和必要性即可求得最终结果.【详解】当时，一定有，即必要性满足；当时，其正切值不存在，所以不满足充分性；所以“”是“”成立的必要不充分条件，故选：B.【点睛】关键点点睛：该题主要考查的是有关充分必要条件的判断，正确解题的关键是要注意正切值不存在的情况.8.【答案】B【分析】根据函数解析式画出大致的函数图像，利用，求出；利用，求出，即可求出，代入函数解析式求解即可.【详解】根据函数解析式，得出函数的大致图像如上图，因为，且，如图可知，由，，所以，又，所以，所以，所以.故选：B9.【答案】D【分析】根据函数的奇偶性与单调性得：，解不等式即可.【详解】因为为奇函数，且，所以；又在区间上单调递增，所以，有，即，解得.故选：D10.【答案】A【分析】根据题意，得到的解析式，作出函数的部分图象，结合图象，可判定①不正确；设是一个大于的周期，结合至多有一个解，可判定②不正确；结合图象和特例，可判定③正确、④不正确；取，得到也是函数的值域，进而可判定⑤不正确.【详解】由，可得，又由，可得，可得函数，对于①中，画出函数在的图象，如图所示，结合图象，可得函数的图象既不关于原点对称，也不关于轴对称，所以函数没有奇偶性，所以①不正确；对于②中，假设函数是周期函数，设是一个大于的周期，则，其中，这表明有无数多个解，但当时，，所以，从而至多有一个解，所以函数不周期函数，所以②不正确；对于③中，结合的图象，可得的图象不是连续的，例如：当时直线与函数没有公共点，所以存在无数条直线，与函数的图象无公共点，所以③正确；对于④中，若，则满足，此时，可得，所以④不正确；对于⑤中，设，则，此时都是函数的值域，则也是函数的值域，而，可得无解，所以函数的值域不是，所以⑤不正确.故选：A.二、填空题（每题3分，前3后2，共8题）11.【答案】【分析】根据函数特征得到不等式组，求出定义域.【详解】由题意得，解得，故定义域为.故答案为：12.【答案】①.：“，”②.0【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定；转化为恒成立，由于，从而求出的取值范围，得到最大值.【详解】：“，”，恒成立，其中，故，即的最大值为0.故答案为：：“，”，013.【答案】①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）【分析】根据得到或，进而可得答案.【详解】在中，若，则或，所以或，不满足命题“若，则”，只需要且即可.故答案为：；（答案不唯一）14.【答案】【分析】连接，当点距离直线最远时，阴影区域的面积的最大值，利用三角形的面积公式和扇形面积公式计算即可.【详解】连接，当点距离直线最远时，阴影区域的面积的最大值，根据圆的几何特征可得此时且，如图：设是的终边，则，所以，则，又，所以阴影区域的面积的最大值为.故答案为：.15.【答案】①②③【分析】画出函数的图象，结合与的交点的横坐标，结合图象和三角函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】画出函数的图象，如图所示，因为，令，即，则函数的零点，即为与的交点的横坐标，对于①中，当时，在上与无公共点，所以①正确；对于②中，当时，在上与只有1个公共点，所以②正确；对于③中，当时，在上与有2个公共点，所以③正确；对于④中，由图象可得，函数与不相邻的两个交点的横坐标间的距离为最小正周期的整数倍，即，因为，可得，所以不存在的值，使得有3个零点，所以④不正确.故答案为：①②③三、解答题（共五小题，共55分）16.【答案】（1）（2）或（3）不可能，理由见解析【分析】（1）先得到，再根据包含关系列不等式求解；（2）直接根据列不等式求解；（3）先得到，再根据包含关系列不等式求解.【小问1详解】若，则，又，所以，解得；【小问2详解】因为，所以或，解得或；【小问3详解】若，，对，都有，则，所以，该不等式无解，故命题：“，都有”为真命题不可能.17.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用任意角的三角函数的定义即可求解；（2）先利用任意角的三角函数定义求出的值，进而求出的值，，再利用两角差的正弦公式求出，再由与的长，利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积．【小问1详解】由题意知，第一象限角的终边与单位圆交于,第二象限角的终边与单位圆交于，所以，，则解得或，且或，因为在第一象限，在第二象限，所以，，所以，，所以；【小问2详解】在单位圆中，因为，，所以，，又，由两角差的正弦公式得，，又，，.18.【答案】（1）为奇函数；证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【分析】（1）先判断定义域是否关于原点对称，在利用判断函数为奇函数；（2）利用定义判断函数的单调性；（3）先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理判断方程在内有实数解.【小问1详解】当时，，，定义域关于原点对称；，即，所以为定义在上的奇函数.【小问2详解】当且时，，当时，设，，因为，所以，，，，所以，即，所以在上单调递增.【小问3详解】当且时，，设，，因为，所以，，，则，，，所以，即，所以在上单调递增；因为，，所以根据零点存在性定理：使；所以当且时，方程在内有实数解.19.【答案】（1）选择①②或①③，最小正周期为；选择②③，无法确定最小正周期；（2）选择①②或①③，单调递增区间为；选择②③，无法求解；（3）选择①②或①③，可先伸缩变换再平移变换，或者先平移变换，再伸缩变换得到解析式；选择②③，不能求解.【分析】（1）选择①②或②③，根据图象相邻的两条对称轴之间的距离为，得到最小正周期；选择②③，设的最小正周期为，则，解得，显然，推导出随着的增大，最小正周期减小且大于0，故无法确定函数的最小正周期；（2）在（1）的基础上，得到函数解析式，从而求出函数的单调递增区间；（3）可先伸缩变换，再平移变换或者先平移变换，后伸缩变换得到.【小问1详解】选择①②，因为函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为；选择①③，因为函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为；选择②③，函数图象关于点对称，函数图象关于对称，设的最小正周期为，则，解得，显然，当时，，因为，所以因为函数图象关于点对称，故，解得，函数图象关于对称，故，解得，故当时，满足要求，可验证得到，当时，，因为，所以，函数图象关于点对称，故，解得，函数图象关于对称，故，解得，显然当时，满足要求，随着的增大，最小正周期减小且大于0，故无法确定函数的最小正周期；【小问2详解】选择①②，因为，所以，故，函数图象关于点对称，故，解得，因为，故只有当时，满足要求，故，令，解得，故单调递增区间为；选择①③，因为，所以，故，函数图象关于对称，故，解得，因为，故只有当时，满足要求，故，令，解得，故单调递增区间为；选择②③，无法确定函数的解析式，故不能求解；【小问3详解】选择①②或①③，函数的图象可先纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将函数图象向左平移个单位长度得到的图象；或者函数的图象先向左平移个单位长度，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得