2023年江苏中考数学大题专练：阅读材料与创新型综合问题（模拟30题）解析版

专题20阅读材料与创新型综合问题（江苏最新模拟30题）

一、解答题

1.（2023・江苏盐城•校联考模拟预测）如图1,对于平面上小于或等于90。的NMON,我们给出如下定义若

点尸在AMON的内部或边上，作PE1OM于点PF1ON于点尸，则将PE+PF称为点尸与NMON的“点角

距”，记作d（/MON,P）.如图2,在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角记为NxOy.

（1）已知点4（4,0）、点B（3,l）,则d（NxOy/）=,d（N久。y,B）=.

（2）若点尸为NxOy内部或边上的动点，且满足d（NXOy,P）=4,在图2中画出点P运动所形成的图形.

（3）如图3与图4,在平面直角坐标系xOy中，射线。T的函数关系式为丫=）（久20）.

①在图3中，点C的坐标为（4,1）,试求d（NxO7,C）的值；

②在图4中，抛物线y=—：x2+2%+c经过4（5,0）,与射线。7交于点。，点。是/,。两点之间的抛物线

上的动点（点。可与H。两点重合），求c的值和当d（N%OT,Q）取最大值时点。的坐标.

【答案】⑴4,4

（2）见解析

（3）①号；②c=|；点0的坐标为（4,|）

【分析】(1)首先根据点4(4,0)到x轴的距离是0,到y轴的距离是4,可得d(NxOy/)；然后根据点B(3,l)

到x轴的距离是1,到y轴的距离是3,求出d(zxOy,B)的值即可；

(2)首先设点P的坐标是Q,y),然后根据d(4xOy,P)=4,可得x+y=4,据此求出点尸运动所形成的图

形即可；

(3)①首先过点C作CE1OT于点E,CFLx轴于点「延长FC交。T于点〃，贝北尸=1,然后根据直线。T

对应的函数关系式为丫=白(％20),求出点〃的坐标为(4,竽)，进而求出CH,OH的值；最后根据相似三角

形判定的方法，判断出△HECsa”FO,再根据相似三角形的性质，即可求出EC的值，据此即可求解；

②首先过点。作QG107于点G,作QHlx轴于点〃，交0T于点K,设点。的坐标为(明九)，其中

3<m<5,则n=—$n2+26+|,然后判断出点K的坐标，以及HK,0K的大小，再判断出Rt△QGK“Rt

△0HK,再根据相似三角形的性质，即可求出QG=W叫；最后求出d(NxOT,Q)的值，根据二次函数最值

的求法，求出当d(/xOT,Q)取最大值时点。的坐标即可.

【详解】(1)解：•.•点力(4,0)至ijx轴的距离是0,到了轴的距离是4,

d(z.xOy,A)=0+4=4,

•・•点B(3,l)到x轴的距离是1,至独轴的距离是3,

•••d&Oy,B)=1+3=4,

故答案为：4；4；

(2)解：设点尸的坐标是(x,y),

"d(zxOy,P)=4,

x+y=4,

二点尸运动所形成的图形是线段y=4—比(OWxW4),如图2所示：

(3)解：①如图3,过点C作CE10T于点E,CF1无轴于点尸，延长FC交。7于点“，则CF=1,

・•・直线0T对应的函数关系式为y=，(x>0),

•・•点打的坐标为(4,筝，

CW=y-l=y,OH=7OF2+FH2=J42+管了=日

,:CE1OT,

:•乙OHF+乙HCE=90°,

又乙OHF+乙HOF=90°,

•­•AHCE=乙HOF,

在和△HF。中，乙HCE=(HOF,乙HEC=^HFO,

:•△HEOAHFO,

EC_HC

~FO-~HO"

3

1D-1O

•••d(乙xOT,C)=了+1=—；

②如图4,过点0作QGJ.OT于点G,作QHlx轴于点“，交。T于点K,

把4(5,0)代入y=—1%2+2%+c,得

-i

--x52+2x5+c=0,

解得C=|.

1,5

•••y=——+2%+2

令一y+2%+|=蓊

解得％1=3,%2=—|，

故点。的横坐标为3,

设点。的坐标为0,71),其中34TH45,

15

贝!］九=--m2+2m+

・••点K的坐标为(rn'm),QK=^m—n,

•••HK=刎,OK=Vo//2+HK2=Jm2+gm)=|m.

-RtAQGK-RtA0HKf

QG_QK

,•南一市’

4

QG^m-n

3m

...QG=^,

・••d(N%OT,Q)=QG+QH

4m—3n

+n

5

42

=—m+—n

42/15\

=—m+—7+2m+/

18

=——mz7+—m+1

=-如-4）2+g,

|<0,3<m<5,

71

.•.当m=4时，d（z久OT,Q）取得最大值为三，

此时，点。的坐标为（4,|）.

【点睛】此题主要考查了二次函数综合题，分类讨论思想的应用，数形结合思想的应用，从已知函数图象

中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；还考查了相似三角形判定的方法和性质的应用,

“点角距”的含义和求法以及二次函数最值的求法，要熟练掌握.

2.（2023・江苏常州•常州市第二十四中学校考模拟预测）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一

个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即力、B分别是图形M和图形N上任意

一点，当2B的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离.

例如，如图1,ABLl2,线段4B的长度称为点4与直线G之间的距离.当⑨出时，线段4B的长度也是A与b

之间的距离.

（1）如图2,在等腰直角三角形B2C中，乙4=90。，=点。为4B边上一点，过点。作。E||8C交4C于点

E.若力B=12,AD=8,则DE与BC之间的距离是

（2）如图3,已知直线上丫=—久+8与双曲线的：，=3%>0）交于4（2即）与8两点，点4与点8之间的距离是

,点。与双曲线Ci之间的距离是；

【拓展】

（3）按规定，住宅小区的外延到高架路的距离不超过80m时，需要在高架路旁修建与高架路相同走向的隔音

屏障（如图4）.有一条“东南一西北”走向的笔直高架路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们

之间的距离小于80m.现以高架路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的平面直角坐标系，此时

高架路所在直线％的函数表达式为'=-x,小区外延所在双曲线C2的函数表达式为丫=学（乂＞0）,那么需

要在高架路旁修建隔音屏障的长度是多少？

【答案】⑴2鱼

（2）4V2,2V6

（3）40米

【分析】（1）过点。作。H1BC于点得出△BDH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出结

果即可；

（2）先根据一次函数解析式求出点4然后再求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，根据两点点距离

公式求出AB的值即可；作FGIIA8,且FG与双曲线只有一个交点，设直线FG的解析式为y=—x+b,求出一

次函数解析式，再求出交点坐标，最后求出。K的值即可；

（3）作直线48|以，设的解析式为y=—久+6,与双曲线y=誓。＞0）交于点4、B,过点。作。P14B

于点P,过点P作PH1久轴于点H,过点力、B分别作直线的垂线4E、BF,垂足为E、F,先求出直线的解

析式，然后求出点48的坐标，根据两点之间距离公式求出4B的长，进而即可得出答案.

【详解】（1）解：如图，过点。作于点

ADB

=90。，AB=AC9

.•・48=45。，

•••DHIBC,

・•.△BD”是等腰直角三角形，

•••DH=^BD,

•・・48=12,AD=8f

・•.BD=AB-AD=12-8=

•­.£)//=^x4=2V2；

故答案为：2V2；

(2)解：把2(2即)代入y=-x+8中，得：机=-2+8=6,

71(2,6),

把4(2,6)代入y=：得：6=1,

k=12,

•••双曲线Cl的解析式为y=?,

联立，得：—x+8=

即/-8x4-12=0,

解得：%i=2,冷=6,

・•・8(6,2),

•••AB=7(2-6)2+(6-2)2=4V2；

如图，作FGII4B,且FG与双曲线y=?只有一个交点，设直线FG的解析式为y=—x+b,

整理得：x2-fax+12=0,

•••△=(—b)2-4x1x12=b2-48=0,

6=4g或6=—4旧(不符合题意，舍去),

直线FG的解析式为y=r+4V3,

由一x+4V3=—,

X

解得：Xi=%2=2V3,

•••K(2色2回

OK=J(2V3)2+(2V3)2=2V6；

故答案为：4vL2V6；

(3)解：如图，作直线AB||〃，设4B的解析式为y=—x+6,与双曲线y=等(乂>0)交于点力、B,过点。

作。P14B于点P,过点P作PH1久轴于点H,过点4B分别作直线的垂线4E、BF,垂足为E、F,

14

则。P=80m,

•.•直线y=—X平分第二、四象限角，

•••NFOH=45°,

•••ZPOW=90°-450=45°,

△P。”是等腰直角三角形，

•••PH=OH=^-OP=40y/2,

■■P(40V2,40V2),

代入y=-x+b,得40鱼=-40V2+b,

解得：b=80V2,

•••y——x+8OV2,

联立得：—x+80V2—

解得：％=30鱼或50匹，

・••^4(3072,5072),伏50隹30金)，

•••AB=J(50V2-30V2)2+(30V2-50V2)2=40,

ABWEF,AEWBF,

■■四边形ZBFE是平行四边形，

AE1EF,

•••四边形力BFE是矩形,

EF=AB=40m,

答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是40米.

【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，两点之间距离公式，矩形的判定和性质，解

题的关键是作出辅助线，熟练掌握两点之间距离公式，准确计算.

3.(2023•江苏淮安・统考一模)【背景】

如图1,矩形力BCD中，AB=4V3,AB<AD,M、N分别是力B、CD的中点，折叠矩形48CD使点4落在MN

上的点K处，折痕为BP.

【操作】

(1)用直尺和圆规在图1中的2。边上作出点P(不写作法，保留作图痕迹);

【应用】

(2)求NBKM的度数和MK的长;

(3)如图2,若点E是直线MN上的一个动点.连接EB,在左侧作等边三角形BEF,连接MF,则MF的最

小值是

图1图2

【拓展】

(4)如图3,若点E是射线KM上的一个动点.将ABEK沿BE翻折，得△BET,延长CB至Q,使BQ=KE,

连接TQ.当△BTQ是直角三角形时，KE的长为多少？请直接写出答案:

【答案】(1)见解析；(2)/.BKM=30°,MK=6；(3)V3；(4)4或6或8或12

【分析】(1)连接4K,分别以4K为圆心，4B长为半径画弧，两弧交于P,B两点，连接PB即为所求.

(2)由折叠可知AB=BK=4b，再证明MK垂直平分2B,得到2K=BK=4B,则△ABK为等边三角形,

得到NBKM==30°,则MK=BK-cos乙BKM=6；

(3)如图所示，取BK中点G,连接EG,MG,由直角三角形斜边上的直线的性质得到BG=MG,则△BMG

为等边三角形.证明三ZiEBG,得到FM=EG,则当GE1MN时，GE有最小值，即MF有最小值，据

此求解即可;

(4)分如图4-1,4-2,4-3,4-4四种情况，分别求出对应的KE的长即可.

【详解】解：（1）如图所示，即为所求;

(2)由折叠可知48=8K=4b，

•・•点M,N分别是AB,CD的中点，

.-.AM=BM,MNA.AB,

・••MK垂直平分48,

.-.AK=BK=AB,

AABK为等边三角形，

:.ABKA=60°,

;.4BKM乙BKA=30°,

在RtZXBMK中，MK=BK-cos^BKM=6；

(3)如图所示，取8K中点G,连接EG,MG,

■：AB=BK,M为AB中点，

：.BM=BG.

•.2BMK=90°,

：.BG=MG=^BK,

.•.△BMG为等边三角形.

••・△BEF为等边三角形，

:.BF=BE,乙EBF=KMBG=6Q°.

：/EBF-4MBE=乙4BG-乙MBE,即NMBF=乙GBE,

：.△FBM三△EBG(SAS),

:.FM=EG,

.•.当GE1MN时，GE有最小值，即MF有最小值，

•••“KE=30。，GK=3BK=^AB=2M

•'EG最小值=&K=®

••.MF的最小值为VI,

故答案为：V3；

(4)如图4-1所示，当N8QT=90°时，T在射线KE上时，此时M点与E点重合,

；.KE=KM=6；

图4-1

如图4-2所示，当“BT=90。时，此时点T与点/重合,

由折叠的性质可得乙=乙KBE=^ABK=30°,

：.ME=^-BM=2,

.-.KE=KM—ME=4；

图4-2

如图4-2所示，当“87=90。时，

由折叠的性质可得EK=ET,乙ETB=^EKB=30。,

：.ET=2EM,

.-.EM+MK=2EM,

・・.EM=MK,

・・.EK=2MK=12；

AD

如图4-4所示，当NQTB=90。时，

-BQ=EK,BQ||EK,

・•・四边形BQEK是平行四边形,

：.QE||BK,乙EQB=^EKB=30。,

由折叠的性质可得4ETB=乙EKB=30°,

；/EQB=乙ETB,

；.E、Q、T、B四点共圆，

；.AQEB=AEBK=90°,

：/EBM=30°,

:.EM若BM=2,

.-.EK=EM+KM=8；

综上所述，当△B7Q是直角三角形时，KE的长为4或6或8或12,

故答案为：4或6或8或12.

【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，圆周角定理，平行四边形的性质与判定，等边三角

形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键.

4.（2023•江苏苏州•苏州工业园区星湾学校校考模拟预测）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互

相垂直的凸四边形叫做”等垂四边形”，如图1,四边形2BCD中，AB=CD、AB1CD,四边形4BCD即为等

垂四边形，其中相等的边4B,CD称为腰，另两边4D,BC称为底.

图1图2

图4

(1)【提出问题】如图2,△4BC与△DEC都是等腰直角三角形.N4CB=NDCE=90。,

135°<zX£C<180°.求证：四边形BDR4是“等垂四边形”;

(2)【拓展探究】如图3,四边形力BCD是"等垂四边形”，力。力BC,点M、N分别是2D,BC的中点，连接

MN.已知腰48=5,求MN的长;

(3)【综合运用】如图4,四边形48CD是“等垂四边形"，AB=CD^4,底BC=9,则较短的底4。长的取值

范围为

【答案】(1)见解析

(2呼

(3)9-472<AD<V65-4

【分析】(1)利用SAS证明△EC4三△DC8得到=AE=BD,延长BD交4E延长线于R4F交

BC于点。，由48。尸=乙4。。，推出NBFO=NBC4=90。，即4E1DB,即可证明四边形BDE2是“等垂四边

形”

(2)连接BD,取BD的中点G,连接GM,GN,延长B4,CD交于点、H,由题意可知CD14B,

28=CD=5,则NCBH+NHCB=90。，由三角形中位线定理得到MG==2.5,GN=*D=2.5,

CD||NG,GM||AB,进一步证明NMGN=90。，则△GNM是等腰直角三角形，即可得到MN=&GN=

5V2

(3)延长BA、CD交于点尸，分别取4。、BC的中点M、N,连接PM、PN、MN,由直角三角形斜边上的中

线的性质得到NP=#B=5,由(2)知，NM*AB=2内由三角形三边的关系得到9—4北

<^£><94-472；由于4D>4P,当CP最小时，BP最大,即此时4P最大，求出当点。与点P重合时，

BP=V65,则此时力2=病一4；即可推出9一4鱼<4DW病一4.

【详解】(1)证明：•・•△28C与△DEC都是等腰直角三角形，

：.CA=CB,CD=CE,ADCE=^ACB=90°,

：.Z.ECA+(BCE=Z-DCB+乙BCE,

.\Z-ECA=Z.DCB,

在△DCB和中，

(CD=CE

\^DCB=^ECA,

ICB=CA

.•.△EC4W2\DC8(SAS),

:.乙CAE=cCBD,AE=BD,

延长BD交4E延长线于尸，力尸交BC于点。，

■■■Z.BOF=Z.AOC,

:/BFO=Z.BCA=90°,即2E1DB,

.•.四边形BDE力是“等垂四边形”；

(2)解：连接BD,取BD的中点G,连接GM,GN,延长BA,CD交于点、H,

•.•四边形4BCD是“等垂四边形”，AD丰BC,

.,.CD1AB,AB=CD=5,

"CBH+乙HCB=90°,

•・•点M,N,G分别是力。，BC,BD的中点，

.-.MG=|XS=2.5,GN=*D=2.5,CD||NG,GM||AB,

:.乙GNB=LC,ADGM=^HBD,GM=GN,

:/MGN=乙MGD+乙NGD=^ABD+ADBC+乙GNB=乙ABD+乙DBC+ZC

=AHBC+Z.HCB=90°,

.•.△GNM是等腰直角三角形，

.-.MN=V2G/V=岁；

(3)解：延长84、CD交于点P,分别取2D、8c的中点M、N,连接PM、PN、MN,

P

■,■^DPA=ABPC=90°,AB=DC=4,BC=9,

.-.MP=^DA,NP=^CB=l，

由(2)知，NM=^-AB=2V2,

■:PN-NM<PM<PN+NM,gp|-2y/2<PM<^+2班，

•••|-2V2<|XD<1+2V2,即9-4四WADW9+4近；

■：AD>AP,

二当点D与点P重合时在Rt△PBC中，由勾股定理得BP=VBC2-CD2=V65,

此时力P=BP-AB=V65-4；

--.9-4V2<AD<V65-4

故答案为：9-4V2</10<V65-4.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质,

勾股定理，三角形三边的关系等等，正确作出辅助线是解题的关键.

5.(2023•江苏苏州・苏州中学校考一模)定义如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为，对

角互余四边形

(1)利用下面哪组图形可以得到一个对角互余四边形(填写序号)

①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个直角三角形；④两个全等三角形

(2)如图1,在对角互余四边形4BCD中，ZD=3O°,5.ACLBC,AC1AD.若BC=1,求四边形力BCD的面

积和周长.

(3)如图2,在四边形4BCD中，连接AC,ABAC=90°,点。是△4CD外接圆的圆心，连接04

乙48c.求证：四边形力BCD是“对角互余四边形”；

(4)在(3)的条件下，如图3,已知4D=a,DC=b,AB=3AC,连接BD,求的值.(结果用带有°,b

的代数式表示)

【答案】⑴①③

(2)周长为6+2g；面积28

(3)见解析

(4)BD2=10a2+9。2

【分析】(1)结合定义来判断，重点是拼成的四边形一对对角互余.

(2)因为4C1BC,ACLAD,所以NACB=/CAD=90。，所以在对角互余四边形4BCD中，只能48+40=90

这样利用含30。直角三角形三边的特殊关系，就可以解决问题；

(3)连接。C,贝1］。2=。。，得出NA0C=2N4DC,进而得出2NADC+2NABC=18。。，即可得出

ZXDC+Z/4BC=9O°；

(4)如图，作NCDF=Z718C,过点C作CE1DF于点E,连AE.得出AC:A8:BC=1:3:715,同理可得

C£:D£:DC=l:3：V10,进而证明△ACEBCD,得出力E=嘿，在RSCDE中，器=2,即可得出

V10DCvio

=10a2+9抉.

【详解】(1)解：①两个等腰三角形底边相等，顶角互余，就可以，故①可以得到一个对角互余四边形；

②等边三角形不成，即使是全等的等边三角形拼成四边形对角和为120。或240。，故②得不到对角互余四边

形；

③两个全等的直角三角形或有一条直角边相等的相似的两个直角三角都可以，故③可以得到一个对角互余

四边形；

④若是两个全等的直角三角形，根据③可以得到一个对角互余四边形，两个一般全等三角形，不成立，

故答案为：①③.

(2)-ACIBC,ACLAD,

：.Z.ACB=Z.CAD=90°,

•・・对角互余四边形/BCD中，4=30。，

・"=60。，

在Rg/BC中，乙4cB=90。，ZB=6O°,BC=1,

.'.AB=2,AC—V3,

在RtZ\ZCO中，4W=90。，ZD=30°,

.,.AD=3,CD=2^3,

'T'^AABC~g,AC,BC=-xV3x1=苧，SAACD~2,AC,AD=-xV3x3二

•••S四边形ABC。=S4ABC+S&ACD=2V3,

四边形/BCO的周长=AB+BC+CD+AD=2+1+2V3+3=6+2g；

(3)连接。C,

图2

-：0A=OC,

：.Z-OAC=Z-OCA=Z.ABC,

-AC=AC,

：.Z-AOC=2/.ADC,

・•.2乙4DC+24ABe=180。,

.・2DC+NZBC=90。，

・•・四边形ZBco是“对角互余四边形”；

(4)如图，作/。。尸=乙48配过点。作CE1DF于点E,连/E.

•・•乙48C+/4DC=90。，

・•.乙4。。+"。/=90。.

22222

：.AD+DE=AE,即层+DE=AE.

•・2BAC=90。,AB=3AC,

：.AC\AB\BC=l:3：V10.

同理可得CE:DE:DC=1:3：V1U.

AC_CE

''~BC~~CD'

,：Z-CDF=Z-ABC,

：.Z.ACB=Z-DCE.

:.乙BCD=乙4cM

.--AACE-ABCD.

AE_AC___1

~BD~~BC~V10,

BD

•.•”E=温

在RSCDE中，好看

3

---DE=^b-

•,序+岛力2=蠕)〔即源+斜2=等

：.BD2=10a2+9炉.

【点睛】此题考查全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股

定理、新定义问题的求解等知识与方法，此题难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键.

6.(2023・江苏无锡・无锡市天一实验学校校考模拟预测)问题提出：已知矩形48CD,点E为AB上的一点,

EF1AB,交BD于点F.将△EBF绕点B顺时针旋转a(0°<a<90。)得到△E'BF',则4?与。尸有怎样的

数量关系.

图1图2图3

【问题探究】

探究一：如图，已知正方形A8CD,点E为4B上的一点，EF1AB,交BD于点F.

(1)如图1,直接写出与的值________;

(2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF,猜想DF与2E的数量关系，并证明你

的结论；

探究二：如图，已知矩形4BCD,点E为力B上的一点，EFLAB,交BD于点F.

如图3,若四边形4BCD为矩形，黑=号,将AEBF绕点B顺时针旋转a(0°<a<90°)得到△E'BF'(E>

F的对应点分别为廿、尸点)，连接4斤、DF',则黑的值是否随着a的变化而变化.若变化，请说明变化情况

若不变，请求出箓的值.

DF,

【一般规律】

如图3,若四边形ABCD为矩形，BC=nMB,其它条件都不变，将△EBF绕点8顺时针旋转a(0°<a<90

。)得到△E'BF',连接2民，DF',请直接写出40与DF的数量关系.

【答案】［问题探究］探究一:(1)V2；(2)DF=V2XF,证明见解柝探究二第=字［一般规律W=VT不病

AE'

【分析】探究一(1)由正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可得解；

(2)由(1)的结论即旋转的性质证明△ABEsaDBF,则喘=器=鱼，即可得到答案；

Z1C/1D

opDTY

探究二证明△BEfsaBAD,得到4=菽=6，由△绕点8顺时针旋转a(0°<a<90°)得到

BF',则乙4BE，=ADB广，BE'=BE,BF'=BF,再证明△DBF,则吟=雾=b，即可得到答案；

AE'

一般规律：同探究二，在Rt△48。中，BD=yJl+m2AB,证明得到黑=需=策1+-2,

MrAD

即可得到结论；

【详解】［问题探究］探究一

(1)•.•BD是正方形4BCD的对角线，

•••/.ABD=45°,BD=V2AB,

EF1AB,

・・・4BEF=90。，

Z.BFE=Z.ABD=45°,

BE=EF,

・•・BF=V2BE

・•.DF=BD-BF=V2AB-y/2BE=&(AB-BE)=42AE

DF「

：.—=-^2

AE

故答案为：V2；

(2)DF=V2AE,

理由：由(1)知，BF=V2BE,BD=42AB,

BFBDr-

"而一布―"，

由旋转知，/-ABE=/.DBF,

■■.AABE-ADBF,

变=吆=77

AEAB

•••DF=AE；

探究二：・••四边形4BCD为矩形,

•••AD=BC=V2AB,

・，.BD=V3AB,

EF1AB,

EF||AD,

•••△BEFFBAD,

BE_BF

：,~BA=~BD

BFBD「

—=—=V3

BEBA

•・・△EBF绕点8顺时针旋转a（0。<a<90。）得到AEZF

・•・乙ABE，=/-DBF,BE'=BE,BF'=BF,

BF'BD「

•••——=—=V3

BE'BA

••.△ABE'〜ADBF，

DF'BD「

•••--=——=v3

AE'BA

即。尸=后£

.迫一叵.

•・DF'~3，

［一般规律］如图3,•・•四边形ZBCD为矩形，

图3

AD=BC=mAB,

•••BD=yjAB2+AD2=yjl+m2AB

EF1AB,

EF||AD,

•••△BEFFBAD,

BE_BF

~BA~~BD

BFBDr------------

而=或="+症，

vAEBF绕点B顺时针旋转a（0。<a<90。）得至必

Z-ABE'=乙DBF,BE'=BE,BF'=BF,

BF'

土、1+小2,

BE'

••.△ABE'DBF',

喘=需="+优，

即。尸=V1+mMF.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质、矩形和正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的综

合运用，解决问题的关键是利用相似比表示线段之间的关系.

7.(2023•江苏苏州•一模)【教材再现】

在初中数学教材中有这样一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.如图1,直

线All%，直线机和直线〃分别与直线人和直线%相交于点/，点、B,点F,点、D,直线加和直线”相交于点

【探究发现】

如图2,在△&孔中，AC=BC=3,NC=90。，点。在边BC上(不与点2,点C重合)，连接力D,点E在

边48上，上EDB=LADC.

(2)当黑=：时，直接写出4。的长;

(3)点/■在射线/C上，连接EE■交线段力。于点G,当CH=1,且=时，直接写出/的值.

【答案】(1)见解析

(2)710

【分析】(1)过点4作4FIICB交DE的延长线于点F,先证明=再由黑=黑可推得黑=半；

/\DrUADAU

(2)作DM14F于点M,先证明△AEFW^BED,得到4F=BD,再证明四边形2CDM是矩形，得

CD^AM^\AF=^BD,可求出CD的长，再由勾股定理求出4。的长；

(3)分两种情况，即点H在线段AC上和点H在线段4C的延长线上，由△2EH三aaE/求出4尸的长，再由

CD求出CD的长，得到BD的长，再由相似三角形的性质求出喘的值，再转化为学的值.

Z/it,AD

【详解】(1)证明：如图2,过点/作”II交DE的延长线于点乩

•••AF||CB,

Z.F=Z.EDB,Z.FAD=Z-ADC,

•••Z.EDB=Z.ADC,

AZ-F=/.FAD,

AD=FD；

./八zi=t

由（1）得B而E=而DE

BE_DE

~AB~~AD；

(2)解：如图3,

由1z①~x/r得=tB而E=而DE，

DE_1

~AD~29

BE1

~AB~29

AE=BE,

vZ-F=乙EDB,Z.EAF=2B,

.*.△AEF=△BED(AAS),

・•.AF=BD；

•・,AD=FD,

AM=FM=^AF,

•••NC=90°,

•••AMAC=180°-zc=90°,

•••AAMD=^MAC=zc=90°,

四边形4CDM是矩形，

CD=AM=\AF=^BD,

■：AC=BC=3,

co=|BC=1,

22

...AD=AMC2+CD2=V3+l=VTo.

(3)解：如图4,

点H在线段AC上，CH=1,

.-.AH=3-1=2,

•・•Z.HAE=乙B,Z,FAE=乙B,

；・CHAE=AFAE,

•••乙AEH=乙BED,^AEF=乙BED,

^AEH=^AEFt

AE=AE,

AEH=△AEF(ASA),

.・.AH=AF=2,

由②得

・•.CD=1,

BD=3-1=2,

AF—BD,

vZ-F=乙EDB,Z.EAF=乙B,

.*.△AEF=△BED(ASA),

AE=BE,

BE1

**'AB~2；

如图5,

AF

点H在线段ac的延长线上，CH=1,

AH=3+1=4,

同理可得・・.△AEH=△AEF(ASA),

AH=AF=4,CD=^AF=2,

••・=3—2=1,

vZ.EDB=ZF,Z-B=Z-EAF,

.-.ABED-AAEFf

BE_BD_1

••~AE~~AF~4f

BE1

综上所述，器的值为覆忌

ADZ5

【点睛】此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、

等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识与方法，解题过程中应注意转化类比、数形结合、分类讨论等

数学思想的运用，此题难度较大，属于考试压轴题.

8.（2023•江苏徐州•校考一模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

⑴操作判断：

操作一：如图1,对折矩形纸片4BCD,使4。与8C重合，得到折痕EF,把纸片展平；

操作二：如图1,在4。上选一点尸，沿2P折叠，使点/落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM,

根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30。的角：（写一个即可）.

（2）迁移探究：

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片4BCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CO于点Q,连接BQ.

①如图2,当点M在EF上时，4MBQ=°,乙CBQ=°；

②如图3,改变点尸在AD上的位置（点尸不与点力,。重合），判断NMBQ与NCBQ的数量关系，并说明理

由.

（3）拓展应用:

在（2）的探究中，已知正方形纸片4BCD的边长为10cm,当FQ=3cm时，直接写出4P的长.

图3

【答案】⑴NABP/PBM/MBC

(2)①15,15②NMBQ=乙CBQ,理由见解析

—、4n20-p.10

(3)AP=可mc或可mc

【分析】⑴根据折叠的性质，得BE/BM,结合矩形的性质得NBME=30。，进而可得

乙ABP=乙PBM=乙MBC=30°；

(2)①根据折叠的性质，可证RSBQM三RtABQC(HL),即可求解，②根据折叠的性质，可证RtABQM三RtABQC

(HL),即可求解；

(3)由(2)可得QM=QC,分两种情况：当点。在点尸的下方时，当点0在点尸的上方时，设

AP=PM=x,分别表示出PD,DQ,PQ,由勾股定理即可求解.

【详解】(1)解：■■■AE^BE^AB,AB=BM,

RF1

•・•乙BEM=90°,sinzBMEB=M—2=

・・.NBME=30。，

・••乙MBE=60°,

•••Z-ABP=乙PBM,

(ABP=乙PBM=乙MBC=30°；

(2)•・•四边形ABC。是正方形

.-.AB=BC,^A=AABC=AC=90°,

由折叠性质得：AB=BM,^PMB=Z.BMQ==90°,

：.BM=BC；

@-：BM=BC,BQ=BQ,

.-.Rt△BQMmRt△BQC(HL),

•••Z.MBQ=Z.CBQ,

•••△M8C=30。,

・••乙MBQ=乙CBQ=15°；

故答案为：15,15；

②乙MBQ=MBQ,理由如下：

•••BM=BC,BQ=BQ

.-.Rt△BQM=Rt△BQC(HL)

AMBQ=ACBQ；

(3)当点。在点尸的下方时，如图，

图3

FQ=3cm,DF=FC=5cm,AB=10cm,

：.QC=CD-DF-FQ=10-5-3=2(cm),DQ=DF+FQ5+3=8(cm),

由(2)可知，QM=QC,

设力P=PM=x,PD=W-x,

：.PD2+DQ2=PQ2,

即(10—K)2+82=(X+2)2,

解得：xly,

：.AP=­cm；

当点0在点尸的上方时，如图,

QC=8cm,DQ=2cm,

由(2)可知，QM=QC,

设4P=PM=x,PD=10—x,

•••PD2+DQ2=PQ2,

即(10—X)2+22；=(久+8)2,

解得：x=与，

：.AP=—cm.

综上：AP=拳:m或学;m.

【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用

是解题的关键.

9.(2023秋・江苏扬州•九年级校考期末)【学习心得】

小雯同学在学习完‘圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问

题变得非常容易.

例女比如图，在aABC中，AB=AC,ABAC=90°,。是ZL4BC外一点，S.AD=AC,求NBDC的度数.若以

点/为圆心，48长为半径作辅助圆04则C,。两点必在04上，NB4C是04的圆心角，NBDC是

的圆周角，则NBDC=45。.

(1)【初步运用】如图，在四边形4BCD中，ABAD=/.BCD=90°,乙BDC=24。,求ABAC的度数；

(2)【方法迁移】如图，已知线段4B和直线1,用直尺和圆规在/上作出所有的点P,使得N4PB=30°(不写

作法，保留作图痕迹)；

AA--------B

(3)【问题拓展】

①如图，已知矩形4BCD,AB=2,BC=m,M为CD上的点.若满足=45。的点M恰好有两个，则根

的取值范围为.

②如图，在△4BC中，NB2C=45。，4。是8C边上的高，且BD=6,CD=2,求4。的长.

A

【答案】(1)皿C=24°

(2)见解析

(3)02<m<V2+l；@AD=4+2V7

【分析】(1)如图所示，取BD中点E,连接AE,CE,则4E=BE=DE=CE=TB。，即可得到/、B、C、D

1

在以E为圆心，押。为半径的圆心，则NBAC=NBDC=24。；

(2)先作等边三角形。48,再以。为圆心，AB的长为半径画弧与直线/的交点即为所求；

(3)①如图所示，在BC上截取一点尸使得BF=B4连接2F,以4F为直径作圆O,过点尸作EF14D交力D

于E,过点。作。G1EF交EF于“交圆。于G,过点G作圆。的切线分别交AD,BC于K、Q,则当BF<m<BQ

时满足题意，据此求解即可；②如图所示，作△ABC的外接圆，过圆心。作。E1BC于E,OF14。于巴

连接。B,OC,0A,则四边形。FDE是矩形，分别求出4F、DF即可得到答案.

【详解】(1)如图所示，取BD中点E,连接AE,CE,

C'、、、_____，

■:^BAD=A.BCD=90°,£为BD的中点，

.-.AE=BE=DE=CE=^BD,

-1

；.)、B、C、。在以E为圆心，声。为半径的圆心,

.•.NBaC=NBDC=24°；

(2)如图所示，Pl、P2即为所求;

Pi

(3)①如图所示，在BC上截取一点尸使得8F=B4连接4F,以4F为直径作圆O,过点尸作EF1力。交2。

于E,过点。作。G1EF交EF于X交圆。于G,过点G作圆。的切线分别交4D,BC于K、Q,则四边形ABFE

为正方形

41'、、、、EKD

•.•四边形ABC。是矩形,

.-./.ABE=90°,

・•.2在圆。上，4F=7AB2+BF2=2vL

.■.OG=OF=V2.

■：OHLEF,

:.FH=^EF=^AB=1,

：.OH=VOF2-OH2=1,

:.GH=OG-OH=^/2-l,

：.BF<m<BQ,

.-.2<m<2+V2-1,即2<小<四+1.

②如图所示，作△ABC的外接圆，过圆心。作。E1BC于E,。F14£＞于p，连接。B,OC,0A,则四边形

OFDE是矩形

A

•••NB2C=45°,

."。。=90。,

在直角△BOC中BC=BD+CD=8,

:.BO=CO=4V2,

♦.♦OE1BC,

...BE=*C=4,

.-.DE=0F=2,OE=DF=yj0B2-BE2=4,

■-AF=7A02—OF2=2V7,

.-.AD=AF+DF=4+2V7.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，直角三角形斜边上的中线，矩形的性质与判定，勾股定

理等等，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键.

10.(2023春•江苏苏州•九年级苏州高新区实验初级中学校考开学考试)如果一个三角形的一个内角等于另

一个内角的2倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，并称这两个角的公共边为底边.

例如：若△A8C中，NH=2NB,则△ABC为以边48为底边的