2023年高中数学人教版选修 导数及其应用 知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记

1.函数日勺平均变化率是什么？

答：平均变化率为包=筮=/（-2）-/（七）=/（♦+Ax）-/（七）

AxAxx2-XjAx

注1：其中Ax是自变量的变化量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动日勺壬均速度。

2、导函数的概念是什么？

答：函数y=〃x）在X=X。处日勺瞬时变化率是lim竺=lim/。+以卜,则称

Axf0A%Arf0Ax

函数y=f（x）在点x。处可导，并把这个极限叫做y=/（x）在与处日勺导数，记作/1（x0）

或y'U.，即八与）=1皿竽=1而小°+弋一八和）.

3.平均变化率和导数日勺几何意义是什么？

答：函数日勺平均变化率日勺几何意义是割线日勺斜率；函数日勺导数日勺几何意义是切线

日勺斜率。

4导数的I背景是什么？

答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

5、常见时函数导数和积分公式有哪些？

函数导函数不定积分

y=cy'=0—

rx"+i

\xndx=--

y=xneN*)y1=nxn~xJ〃+l

xCxi优

y=a(a>O,awl)y'二优Ina1adx-----

JIna

y=exy'=ex|exdx-ex

y=logx(a>O,awl,x>0)y'=^——

flxlna

171

y=]nxy'=-—ax=Inx

XJX

y=sinxy'=cosxcosxdr=sinx

y=cosxy'=-sinxJsinx<ir=-cosx

6、常见日勺导数和定积分运算公式有哪些?

答:若〃%），g（x）均可导（可积），则有:

和差日勺导数运算"（X）土g（切=/（%）土g（X）

[/(%)・g(x)]=/(x)g(x)土/(x)g(x)

积日勺导数运算

尤其地：0(x)1=。。)

W=/'（x）g（x）-/p）g'（x）（g（x）/0）

4（尤）」[g（切2

商的导数运算

尤其怅岛卜北

复合函数日勺导数£=x：

(其中

微积分基本定理

F1(%)=/(%))

fibpb(*b

J"(x)±人(x)]⑥=[fSx)dx+ff2(x)dx

JaJaJa

和差日勺积分运算

廿甘柏「kf(x)dx=H"/(x)办(左为常数)

尤其地：JaJa

积分的区间可加性(f(x)dx=[f(x)dx+f/(%)小(其中a<c<Z?)

JaJaJc

6.用导数求函数单调区间的环节是什么？

答：①求函数4x）的I导数/'（%）

②令尸（x）＞0,解不等式，得x的范围就是递增区间.

③令尸（x）＜0,解不等式，得x日勺范围，就是递减区间;

注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数_/(x)的极值的环节是什么？

答：(1)确定函数日勺定义域。(2)求函数五x)的导数/(x)

(3)求方程1(x)=0的根

(4)用函数日勺导数为0日勺点，顺次将函数日勺定义区间提成若干小开区间，

并列成表格，检查A。)在方程根左右日勺值日勺符号，假如左正右负，那么/%)在

这个根处获得极大值；假如左负右正，那么人》)在这个根处获得极小值；假如左

右不变化符号，那么加0在这个根处无极值

8.运用导数求函数的最值日勺环节是什么？

答：求“X)在L,同上的最大值与最小值的环节如下：

⑴求/(x)在［a,b］上的I极值；

⑵将“X)的各极值与/(a),/出)比较，其中最大日勺一种是最大值，最小的一

种是最小值。

注：实际问题日勺开区间唯一极值点就是所求日勺最值点；

9.求曲边梯形日勺思想和环节是什么？

答：5割.I近似替代-丽.I取极限|(“以直代曲”日勺思想)

10.定积分日勺性质有哪些？

根据定积分日勺定义，不难得出定积分日勺如下性质：

性质1［\dx=b-a

Ja

性质5若/(%)N0,xe\a.b\,则「/(x)dx20

Ja

①推广：［"(x)±「(x)土土/"(x)W=17；(x)公±［/,(x心±士『/,(x)

JaJaJaJa

②推广：ff(x)dx=f1f(x)dx+f2f(x)dx++ff(x)dx

JaJaJqJck

11定积分的取值状况有哪几种？V

1./尸sinx

O£'、、、"yinx

答：定积分时值也许取正值，也也许取负值，还也许是0.

(1)当对应日勺曲边梯形位于x轴上方时，定积分时值取正值,且等于x轴

上方日勺图形面积;

(2)当对应日勺曲边梯形位于x轴下方时，定

积分日勺值取负值,且等于x轴上方图形面积的相1,,-一■、、尸sinx

反数;

(3)当位于x轴上方日勺曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积

时，定积分日勺值为0,且等于x轴上方图形的面积减去下方日勺图形的面积.

12.物理中常用的微积分知识有哪些？

2r工去0~Zx

答：(1)位移日勺导数为速度，速度的导数为加速度。-1

(2)力的积分为功。

数学选修2-2推理与证明知识点必记

13.归纳推理的定义是什么？

答：从个别事实中推演出7股性日勺结论，像这样的推理一般称为归纳推理。

归纳推理是由部分到擎体,由个别到二筮日勺推理。

14.归纳推理日勺思维过程是什么?

答：大体如图：蛤.而涮」十括.推广」猎涮一船件结论

15.归纳推理日勺特点有哪些？

答：①归纳推理日勺前提是几种已知日勺特殊现象，归纳所得日勺结论是尚属未知日勺

一般现象。

②由归纳推理得到日勺结论具有猜测的性质，结论与否真实，还需通过逻辑证

明和试验检查，因此，它不能作为数学证明的工具。

③归纳推理是一种具有发明性的推理，通过归纳推理的猜测，可以作为深入

研究的起点，协助人们发现问题和提出问题。

16.类比推理日勺定义是什么？

答：根据两个（或两类）对象之间在某些方面日勺相似或相似，推演出它们在其他

方面也相似或相似，这样日勺推理称为类比推理。类比推理是由照到典的推理。

17.类比推理日勺思维过程是什么?

答：如.涮L卜匕鲂「睬相'.堆『推涮新的姑论

18.演绎推理日勺定义是什么？

答：演绎推理是根据已经有日勺事实和对日勺日勺结论（包括定义、公理、定理等）按

照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。

19.演绎推理日勺重要形式是什么？答：三段论

20.“三段论”可以表达为何？

答：①大前题：M是P②小前提：S是M③结论：S是

Po

其中①是大前提，它提供了一种一般性日勺原理；②是小前提，它指出了一种

特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊状况做出日勺判断。

21.什么是直接证明？它包括哪几种证明措施？

答：直接证明是从命题日勺条件或结论出发，根据已知日勺定义、公理、定理，直接

推证结论日勺真实性。直接证明包括综合法和分析法。

22.什么是综合法？

答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不停用必要条件替代前面日勺条

件，直至推出要证日勺结论。

23.什么是分析法？

答：分析法就是从所要证明的结论出发，不停地用充足条件替代前面日勺条件或者

一定成立日勺式子，可称为“由果索因”。

要注意论述的形式：要证A,只要证3,3应是A成立的充足条件.分析法

和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

24什么是间接证明？

答：即反证法：是指从否认日勺结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾，证明结论日勺

否认是错误的I,从而肯定原结论是对日勺的I证明措施。

25.反证法日勺一般环节是什么?

答：(1)假设命题结论不成立，即假设结论日勺背面成立；

(2)从假设出发，通过推理论证，得出矛盾；

(3)从矛盾鉴定假设不对时,即所求证命题对日勺。

26常见日勺“结论词”与“反义词”有哪些?

原结论词反义词原结论词反义词

至少有一种一种也没有对所有的X都成立存在X使不成立

至多有一种至少有两个对任意X不成立存在X使成立

至少有n个至多有n-1个p或q-\p

至多有n个至少有n+1个p且q—।射或—\q

27.反证法的思维措施是什么？答：亚型则反

28.怎样归缪矛盾？

答：(1)与已知条件矛盾;(2)与已经有公理、定理、定义矛盾;(3)

矛盾.

29.数学归纳法(只能证明与亚擎壑有关日勺数学命题)日勺环节是什么？

答：(1)证明：当n取第二种值期eN*)时命题成立;

(2)假设当n=k(左©N*,且行"o)时命题成立，证明当n=k+l时命题也成立.

由(1),(2)可知，命题对于从加开始日勺所有正整数”都对的.

注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题日勺对的性日勺证明。

数学选修2-2数系日勺扩充和复数日勺概念知识点必记

30.复数的概念是什么?

答：形如廿见时数叫做复数，其中i叫虚数单位，。叫实部，b叫虚部，数集

C={a+历|eR}叫做复数集。

规定：a+bi^c+di<^a=cJELb=d,强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相

等。

'实数（6=0）

31.数集时关系有哪些？答：复数Z-她,、/一般虚数（awO）

---［纯虚数（。=0）

32.复数的几何意义是什么？答:复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

33.什么是复平面？

答：根据复数相等日勺定义，任何一种复数2=。+初，都可以由一种有序实数对

（。力）唯一确定。由于有序实数对（。力）与平面直角坐标系中的I点一一对应，因此

复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标

系来表达复数日勺平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。实轴上日勺点都

表达实数,除了原点外，虚轴上日勺点都表达纯虚数。

34.怎样求复数日勺模（绝对值）？

答：与复数z对应日勺向量玄日勺模厂叫做复数z=a+方•日勺模（也叫绝对值）记作

忖剪a+方］。由模的I定义可知：\z\=\a+Z?z|=y/a2+b2

35.复数日勺加、减法运算及几何意义是什么？

答：①复数的I加、减法法则：zx-a+bi^z2-c+di,则4士z2=a土c+（