工学第4章线性系统的根轨迹法2

自动控制原理自动化系第四章线性系统的根轨迹法本章基本内容4-1根轨迹法的基本概念4-2根轨迹绘制的基本法则☑根轨迹法的提出☑根轨迹法☑绘制根轨迹的基本条件☑闭环零、极点和开环零、极点之间的关系☑绘制根轨迹的基本法则☑闭环极点的确定4-3广义根轨迹☑参数根轨迹☑零度根轨迹☑附加开环零点对系统根轨迹的影响本章基本内容4-4系统性能的分析☑闭环零、极点与时间响应☑系统性能的定性分析4-5本章小结4-3广义根轨迹☑参数根轨迹在控制系统中，除根轨迹增益K*以外其它情形下的根轨迹统称为广义根轨迹。如系统的参数根轨迹，开环传递函数中零点个数多于极点个数时的根轨迹，以及零度根轨迹等均可以列入广义根轨迹这个范畴。参数根轨迹指非K参数变化所得到的根轨迹。本节中主要研究系统的参数根轨迹、零度根轨迹和延时系统的根轨迹。绘制参数根轨迹的法则和绘制常规根轨迹的法则完全相同。只要将闭环特征方程4-3广义根轨迹☑参数根轨迹式中，A为除了K以外系统任意的可变参数，Q(s)和P(s)为多项式。即为系统的参数根轨迹方程。利用参数根轨迹可以分析系统中各类参数，如零、极点数值、反馈系数等对系统性能的影响。等效变换成4-3广义根轨迹☑参数根轨迹例4-3-1

设负反馈系统的开环传递函数为试绘制系统关于参数α的根轨迹。解系统的特征方程为变换为即4-3广义根轨迹☑参数根轨迹令K*=4，则根轨迹方程为Gain:16.5Pole:-0.476Damping:1Overshoot(%):0Frequency(rad/sec):0.476会合点当K*=4，α从0变化到∞的根轨迹如右图所示。Gain:1.54Pole:0.00576+1.25iDamping:-0.0046Overshoot(%):101Frequency(rad/sec):1.254-3广义根轨迹☑参数根轨迹令K*=18，则根轨迹方程为Gain:72.6Pole:-0.482Damping:1Overshoot(%):0Frequency(rad/sec):0.482会合点当K*=18，α从0变化到∞的根轨迹如右图所示。Gain:3.74Pole:0.00511+1.95iDamping:-0.00263Overshoot(%):101Frequency(rad/sec):1.95给定不同的K*，可以绘制出关于α从0变化到∞的根轨迹。4-3广义根轨迹☑零度根轨迹有时所研究的控制系统为非最小相位系统或系统为正反馈，不能采用常规根轨迹的绘制法则来绘制系统的根轨迹。主要区别在于其相角遵循0°+2kπ条件，而不是180°+2kπ条件，所以称为零度根轨迹。零度根轨迹的来源有两个方面:⑴非最小相位系统中包含s最高次幂的系数为负的因子；⑵控制系统中包含有正反馈内回路。4-3广义根轨迹☑零度根轨迹G(s)H(s)R(s)C(s)+控制系统的闭环传递函数为控制系统的闭环特征方程为或⑴相角方程⑵模值方程4-3广义根轨迹☑零度根轨迹根轨迹起于开环极点，终于开环零点。☑法则1根轨迹的起点和终点不变！根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限极点数n中的大者相等；根轨迹是连续的并且对称于实轴。☑法则2根轨迹的分支数、对称性和连续性不变由于其相角遵循0°+2kπ条件，所以有部分根轨迹绘制规则进行修改。4-3广义根轨迹☑零度根轨迹不变！当有限极点数n大于开环有限零点数m时，有n-m条根轨迹分支沿着于实轴交角为φa、交点为σa的一组渐进线趋向无穷远处，且☑法则3根轨迹的渐进线变了！实轴上的某一区域，若其右边开环实数零极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。☑法则4根轨迹在实轴上的分布变了偶4-3广义根轨迹☑零度根轨迹两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点,称为根轨迹的分离点（或会合点）。根轨迹的分离点和会合点有两种求法：☑法则5根轨迹的分离点（会合点）和分离角1.分离点和会合点的坐标d是下列方程的解2.分离点和会合点的坐标d是下列方程的解不变!4-3广义根轨迹☑零度根轨迹根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以θpi表示；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以φzi表示。☑法则6根轨迹的起始角和终止角变了！4-3广义根轨迹☑零度根轨迹☑法则7根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交，系统处于临界稳定状态。根轨迹与虚轴的交点有两种求法：1.用劳斯（Routh）判据计算2.将s=jω代入特征方程，令实部和虚部分别为零如果根轨迹与虚轴的交点为一对纯虚根，劳斯表中s1行必然为全零行；如果根轨迹与虚轴的交点多于一对纯虚根，则劳斯表中幂大于1的s奇次行必然为全零行。不变!4-3广义根轨迹☑零度根轨迹序号规则内容与180°规则比较1根轨迹的起点和终点不变2根轨迹的分支数、对称性和连续性不变3根轨迹的渐进线变4根轨迹在实轴上的分布变5根轨迹的分离点和会合点不变6根轨迹的起始角和终止角变7根轨迹与虚轴的交点不变4-3广义根轨迹☑零度根轨迹负反馈系统和正反馈系统的根轨迹图对比负反馈系统正反馈系统4-3广义根轨迹☑零度根轨迹负反馈系统和正反馈系统的根轨迹图对比负反馈系统正反馈系统4-3广义根轨迹☑零度根轨迹负反馈系统和正反馈系统的根轨迹图对比负反馈系统正反馈系统4-3广义根轨迹☑零度根轨迹负反馈系统和正反馈系统的根轨迹图对比负反馈系统正反馈系统4-3广义根轨迹☑零度根轨迹负反馈系统和正反馈系统的根轨迹图对比负反馈系统正反馈系统☑附加开环零点对系统根轨迹的影响在控制系统中，常用附加适当的开环零点来改善系统的性能，通过研究开环零点对系统根轨迹的影响，可以研究附加开环零点对系统响应的影响。⑴附加开环负实数零点使系统的根轨迹图向附加零点方向变形。4-4系统性能的分析☑附加开环零点对系统根轨迹的影响⑴附加开环负实数零点使系统的根轨迹图向附加零点方向变形。附加开环负实数零点使系统的根轨迹图相附加零点方向变形，而且这种影响将随开环零点接近坐标原点的程度而加强。4-4系统性能的分析☑附加开环零点对系统根轨迹的影响⑴附加开环负实数零点使系统的根轨迹图向附加零点方向变形。左半s平面的附加开环零点可以显著改善系统的稳定性。4-4系统性能的分析☑附加开环零点对系统根轨迹的影响左半s平面的附加开环零点可以显著改善系统的稳定性。⑵附加开环复数零点（负实部）使系统的根轨迹图向附加零点方向变形。4-4系统性能的分析☑附加开环零点对系统根轨迹的影响⑶只有当附加开环零点位置选配得当，才能使系统稳定性和动态性能同时改善。4-4系统性能的分析☑附加开环零点对系统根轨迹的影响⑶只有当附加开环零点位置选配得当，才能使系统稳定性和动态性能同时改善。4-4系统性能的分析4-4系统性能的分析☑闭环零、极点与时间响应稳定性如果闭环极点全部位于s左半平面，则系统一定是稳定的，即稳定只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。运动形式如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是单调的。4-4系统性能的分析☑闭环零、极点与时间响应超调量17.8%峰值时间1.71s运动形式如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。4-4系统性能的分析☑闭环零、极点与时间响应超调量超调量主要取决于闭环复数主导极点对应的阻尼比ζ，并与其它闭环零、极点接近坐标原点的程度有关。s1,2=-1±j2s1,2=-1±j2,s=-9s1,2=-1±j2,s=-5s1,2=-1±j2,s=-3s1,2=-1±j2,s=-1s1,2=-1±j2,s=-0.5s=-0.54-4系统性能的分析☑闭环零、极点与时间响应调节时间调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实数绝对值，如果实数极点距虚轴最近，并且它附近没有实数零点，则调节时间主要取决于该实数极点的模值。4-4系统性能的分析☑闭环零、极点与时间响应实数零、极点影响零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；极点增加系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。它们的作用，随着其本身接近坐标原点的程度而加强。4-4系统性能的分析☑闭环零、极点与时间响应偶极子及其处理如果零、极点之间的距离比它们本身模值小一个数量级，则它们就构成了偶极子。远离原点的偶极子，其影响可略；接近原点的偶极子，其影响必须考虑。4-4系统性能的分析☑闭环零、极点与时间响应主导极点在s平面上，最靠近虚轴而附近又无闭环零点的一些闭环极点，对系统性能影响最大，称为主导极点，凡比主导极点的实部大7倍以上的其他闭环零、极点，其影响均可忽略。4-4系统性能的分析☑举例例4-4-1某单位反馈系统的开环传递函数为要求：⑴绘制系统的根轨迹；⑵用根轨迹法确定使系统稳定的K*值范围；⑶用根轨迹法确定使系统的阶跃响应不出现超调的最大取值。解⑴绘制系统的根轨迹分离点整理得解出与虚轴交点闭环系统特征方程为4-4系统性能的分析☑举例⑵用根轨迹法确定使系统稳定的K*值范围令则解得d=-0.4094K*=0.2249从以上计算结果可知，K*稳定范围为⑶用根轨迹法确定使系统的阶跃响应不出现超调的最大取值。依题意，也就是要求分离点处的K*值，可以用幅值条件解得4-4系统性能的分析☑举例例4-4-2某单位反馈系统的开环传递函数为要求：⑴绘制系统的根轨迹；⑵说明随K*值变化系统的阶跃响应的变化情况。解⑴绘制系统的根轨迹分离点整理得解得d=-3.414K*=5.828d=-0.586K*=0.1724-4系统性能的分析☑举例⑵说明随K*值变化系统的阶跃响应的变化情况。d=-3.414K*=5.828d=-0.586K*=0.172①K*在0到0.172之间，系统闭环极点分布在负实轴上，系统的阶跃响应为指数上升，无超调；②K*在0.172到5.828之间，系统闭环极点分布在左半s平面，系统闭环极点是一对共轭复数，系统的阶跃响应有超调；当K*=1时，阻尼比达到最小，系统超调量最大。4-4系统性能的分析☑举例③K*在5.828到∞之间，系统闭环极点分布在负实轴上，系统的阶跃响应为指数上升，无超调。Peakamplitude:1.07Overshoot(%):6.7Attime(sec):2.37⑵说明随K*值变化系统的阶跃响应的变化情况。d=-3.414K*=5.828d=-0.586K*=0.1724-5本章小结☑根轨迹法总体上讲，根轨迹就是用图示的方法描述闭环极点在[s]平面上移动的规律。对于不同参数变化引起的根轨迹的变化，有关文献对根轨迹作了如下分类定义。⑴主要根轨迹⑵辅助根轨迹主要根轨迹指K取所有正值（0≤K<∞）的那一部分根轨迹。辅助根轨迹指K取所有负值（-∞<K≤0）的那一部分根轨迹。⑶根轨迹族根轨迹族指几个参数同时变化所得到的根轨迹。⑷参数根轨迹参数根轨迹指非K参数变化所得到的根轨迹。4-5本章小结☑根轨迹方程G(s)H(s)R(s)C(s)或根轨迹方程⑴相角方程⑵模值方程4-5本章小结☑绘制根轨迹的基本法则序号规则内容1根轨迹的起点和终点2根轨迹的分支数、对称性和连续性3根轨迹的渐进线4根轨迹在实轴上的分布5根轨迹的分离点（会合点）和分离角6根轨迹的起始角和终止角7根轨迹与虚轴的交点4-5本章小结☑广义根轨迹参数根轨迹零度根轨迹参数根轨迹指