九年级数学期末模拟卷（全解全析）（无锡专用）

20242025学年九年级数学上学期期末模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：苏科版九年级上册+九年级下册全部。5．难度系数：0.8。第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一元二次方程的根为（

）A． B．C．， D．，【答案】C【详解】解：∵，∴，∴，，故选：C．2．如果，则＝（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵，∴a=b，∴==．故选C．3．某公司有10名员工，每人年收入数据如下表，则他们年收入数据的众数与中位数分别为（）年收入/万元46810人数/人3421A．4，6 B．6，6 C．4，4 D．6，7【答案】B【详解】解：6出现次数最多，故众数为：6，最中间的2个数为6和6，中位数为．故选：B．4．若关于x的二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【详解】解：由题意知：，解得：且；故选：C．5．将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线，则原抛物线解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：∵抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到的解析式为，∴向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到原抛物线，∴原抛物线的函数解析式为．故选：A．6．已知，它们的面积分别为和，若，则DE的长为（

）A． B．4cm C．9cm D．【答案】B【详解】解：∵，它们的面积分别为和，∴，解得，∵，∴．故选：B．7．若二次函数的图象经过，，三点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：，图象的开口向上，对称轴是直线，关于的对称点是，，，故选：A8．圆锥的高为，母线长为，则它的侧面积是（

）．(结果保留)A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵圆锥的高为，母线长为，∴圆锥底面圆的半径为，∴圆锥的侧面积是，故选：B．9．如图，四边形内接于，且点是优弧的中点，连接，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：连接，如图，点是优弧的中点，，，，，，，，，．故选：D.10．如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，连接，下列选项中的结论错误的是（

）A． B．无论点E在何位置，总有C．若，则线段的最小值为 D．若，的最大值为【答案】D【详解】解：如图所示，连接，∵，，∴，∵点E在矩形内部，∴点E不与点A、点C重合，即，故A正确；如图，过点E分别向矩形各边作垂线段，垂足分别为，设，，，，∴四边形是矩形，四边形，四边形，四边形均是矩形，∴，，，，∴，，∴，故B正确；如图，∵，∴，∴E在以为直径的上，连接交于，当E与重合时，线段的长最小，∵，∴，∵，∴，∴，∴线段CE的最小值为8．故C正确；如图3，∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，延长至F，使，∴，以为边长向矩形内作等边，以O为圆心，为半径作，则点F在优弧上运动，∴当为直径时，即点E在点O处时，最大，最大为直径．故选项D错误．故选：D.第Ⅱ卷二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。11．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则．【答案】3【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根，∴．故答案为：3．12．二次函数的顶点坐标是．【答案】【详解】解：∵抛物线，∴该抛物线的顶点坐标是，故答案为：．13．如图，三点在上，．则．【答案】【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．14．如图，在中，点D、E分别在边上，，，那么．【答案】【详解】解：设上的高为，∵，∴，∴，故答案为：．15．写出一个二次函数，其图像满足：①开口向上：②当时，随的增大而减小．这个二次函数的解析式可以是．【答案】（答案不唯一）【详解】解：根据题意，这个二次函数的解析式可以是．故答案为：（答案不唯一）．16．课堂上，师生一起探究用圆柱形管子的内径去测量球的半径．嘉嘉经过思考找到了测量方法：如图，把球置于圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高，底面内径，球的最高点到瓶底的距离为，则球的半径为．

【答案】【详解】解：如图所示，连接，设圆的半径为，

，，，，，在中，，即，解得：，故答案为：．【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，在圆内利用垂直于弦的直径构造直角三角形是常用的辅助线方法．17．小明沿着坡度为的斜坡坡面上走了，则小明沿垂直方向升高了．【答案】10【详解】解：如图所示：坡度的斜坡向上行走了，，，在中，设，，则由勾股定理可得，即，解得，他距离地面的垂直高度升高了，故答案为：．18．如图，已知是的直径，F是上一点，切于点E，连接交的切线于点C．交的延长线于点D．，，若点G为上一点，则最小值为．【答案】【详解】解：连接，，，∵是的切线，∴，∵，∴，∴，∴，连接，过点作于，过点作交于，过点作交于，

∴，四边形是平行四边形，，，∵，，，，∴当、、在同一直线上（即、重合）时，最短，∵是的切线，∴，∴，，∵，∴，，∴，∴，的最小值为．故答案为：．三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．（8分）计算：(1)；(2)求：中锐角的值．【详解】（1）解：原式．...........................................................4分（2）解：∵，∴，∵∴∴．...........................................................8分20．（8分）解下列一元二次方程：(1)；(2)．【详解】（1）解：∵，∴，∴或，∴，．...........................................................4分（2）解：∵，∴，∴或，∴，．...........................................................8分21．（8分）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且．(1)求证：．(2)若，，求的长．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴；...........................................................4分（2）∵，，∴，∵，，∴，由勾股定理得：．...........................................................8分22．（10分）某中学为了提高同学们的消防意识，增强消防安全，特邀请消防支队到学校开展消防安全讲座和组织实操演习，并在学习结束后开展消防知识竞赛，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：七、八年级竞赛成绩统计表年级平均分中位数众数七年级9八年级8（1）根据以上信息：______，b=______，并将七年级竞赛成绩统计图补充完整．（2）若学校七、八年级共有1300人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上为优秀，请估计七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的人数．【详解】解：（1）∵七年级成绩由高到低排在第13位的是B等级9分，，∵八年级A等级人数最多，故答案为：9，10；七年级成绩C等级人数为：（人），七年级竞赛成绩统计图补充完整如下：...........................................................5分（2）（人），答：估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有780人．...........................................................10分23．（10分）如图，是由转盘和箭头组成的两个装置，装置A，B的转盘分别被分成四、三个面积相等的扇形，装置A上的数字分别是1，2，3，4，装置B上的数字分别是3，4，5，这两个装置除了表面数字不同外，其它构造完全相同．现在分别同时用力转动A，B两个转盘．(1)A转盘指向偶数的概率是．(2)请用列表法或画树状图的方法，求A、B转盘指向的数字之和不小于6的概率．【详解】（1）解：A转盘指向偶数的概率是．故答案为：；...........................................................4分（2）列表如下：1234345674567856789由上图可得出所有等可能的结果有12种，其中A、B转盘指向的数字之和不小于6的情况有9种，则A、B转盘指向的数字之和不小于6的概率是．...........................................................10分24．（10分）如图①，是的直径，点是上一动点，，垂足为，AD上有一点，且．延长交于点，交于点．(1)作图：请用无刻度的直尺和圆规在图①的上作出点（直尺与圆规限用一次）；(2)如图②，若的半径为，求阴影部分的面积．【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，以AB长为半径，用圆规画弧交于点，用直尺连接交AD于点，理由，如图所示，连接，延长AD交于点，∵以点为圆心，以AB长为半径，用圆规画弧交于点，∴，，∵是的直径，，∴，，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴点即为所求点的位置；...........................................................5分（2）解：如图所示，连接交于点，连接，由（1）中可得，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，又∵，∴平行四边形是菱形，∵对角线交于点，∴，在和中，，∴，∴，∴阴影部分的面积为，∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴阴影部分的面积为．...........................................................10分25．（10分）小明与同学一起去郊游，看到一棵大树斜靠在一小土坡上，他想知道树有多长，于是他借来测角仪和卷尺．如图，他在点C处测得树顶端A的仰角为，沿着方向向大树行进到点D，测得A的仰角为，此时，D到大树的底部B的距离为10米，又测得树倾斜角．(1)求的长；(2)求树长．【详解】（1）解：如图，过B作于E，∵，，，∴，，∵米，∴米，∴（米）∴米，答：的长为米．...........................................................5分（2）解：∵，，∴（米），答：树长为米．...........................................................10分26．（10分）水果店王阿姨在水果批发市场以20元的价格购进一种水果，若这种水果的销售量与销售单价元满足如图所示的一次函数关系．(1)求与之间的函数关系式．并在不亏钱的情况下直接写出自变量的取值范围；(2)请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？【详解】（1）解：设一次函数关系式为，由图得：，解得：，一次函数的关系式为；...........................................................5分（2）解：设这种水果的利润为元依题意：，化简、配方得：；∵，∴当时，w取得最大值，即最大值为1100；答：这种水果定价30元时，可获最大利润1100元．...........................................................10分27．（10分）如图1，平行四边形中，，，，点在延长线上且，为半圆的直径且，．如图2，点从点处沿方向运动，带动半圆向左平移，每秒个单位长度，当点与点重合时停止平移．如图3，停止平移后半圆立即绕点逆时针旋转，每秒转动5°，点落在直线上时停止运动，运动时间为秒．

(1)如图1，______；(2)如图2，当半圆与边相切于点，求的长；(3)如图3，当半圆过点，与边交于点，①求平移和旋转过程中扫过的面积；②求的长；(4)直接写出半圆与平行四边形的边相切时的值．（参考数据：，）【详解】（1）如图，连接

在中，∵，，∴故答案为：12．...........................................................2分（2）如图，连接，

∵半圆与边相切于点，∴，∴是的角平分线∵∴故∵∴在中，∴...........................................................4分（3）①连接，，过点作交于点

由题可知，，∴在中，∵，∴又∵∴∴∴∴∴在平移中：在旋转中：②过点作交于点由①可得，∴，∴，∵即解得∴∴...........................................................7分（4）或或当半圆与边相切于点时，当半圆与边相切时，即点与点重合，此时故当半圆与边相切于点时，如图

∵，∴点到直线的距离为6，即此时点与点重合，∴∴∴故综上可得：t的值为1或2或14．...........................................................10分28．（12分）如图1，抛物线经过，两点，作垂直x轴于点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点是抛